Übung zum Beweis gerader Zahlen

[Pippen]

Behauptung: Es gilt für alle geraden Zahlen: Sie ergeben durch 2 geteilt wieder eine nat. Zahl.

Beweis: Sei n eine nat. Zahl. Da gerade Zahlen durch 2 geteilt werden können müssen, kann n mit 2 multipliziert werden, was 2n ergibt. Wenn man 2n durch 2 teilt, dann ergibt das wieder n - eine nat. Zahl laut Annahme.

Mein Problem: Wie genau und aus welchen Axiomen ergibt sich, dass 2n/2 = n sein muss?

[tomS]

Deine Argumentation geht irgendwie im Kreis.

Definition: eine natürliche Zahl n heißt gerade, wenn eine andere natürliche Zahl m existiert, so dass n = 2m gilt.

Behauptung: eine gerade Zahl kann ohne Rest durch 2 dividiert werden.

Zu beweisen: für jedes n = 2m existiert ein q, so dass gilt: n/2 = q; bzw. 2m/2 = q (und natürlich m = q).

[Pippen]

Ja, das ist ein Fehler. Man braucht nicht zu beweisen, dass jede gerade Zahl ohne Rest durch 2 teilbar ist, weil sich das direkt aus ihrer Definition ergibt. Umso wichtiger ist, ob 2n/2 = n gilt und wie genau man das beweisen würde^^.

[breaker]

Dazu musst du dir zunächst klar machen, was die Definition der beiden Seiten der Gleichung ist:
Wie ist 2n/2 definiert?

[Pippen]

Dazu musst du dir zunächst klar machen, was die Definition der beiden Seiten der Gleichung ist:
Wie ist 2n/2 definiert?

Als Multiplikation: x * 2 = 2n? Aber aus welchem Axiom ergibt sich das? Und wie beweist man letztendlich, dass x = n ist?

[breaker]

Reicht es dir, wenn wir die Körperaxiome für die reellen Zahlen zugrunde legen?

[Pippen]

Reicht es dir, wenn wir die Körperaxiome für die reellen Zahlen zugrunde legen?

Ja, ok. Wichtig ist mir nur, dass man schön sieht, wie man mit irgendeinem dieser Axiome beginnt und dann Schritt für Schritt zeigt, wie man zur Lösung kommt.

[breaker]

OK.

Körperaxiome sagen:

1. Es gibt eine Multiplikation (x,y) → x•y und eine Summe (x,y) → x+y

2. Es gibt eine multiplikative Einheit, genannt 1, die x•1=x für alle x erfüllt.

3. Jede Zahl y hat ein Inverses, d.h. es gibt eine Zahl x, sodass y•x=1.

Nun definieren wir allgemein:
(i) Die Summe 1+1 nennen wir 2.

(ii) Zu irgendeiner reellen Zahl z ist z/2 die Lösung der Gleichung 2•x = z

Daran sieht man nun leider, dass es nichts zu beweisen gibt, weil die Aussage 2•(z/2)=z trivial aus der Definition folgt.

Man kann aber die folgende ebenso interessante Aufgaben stellen:
Zeige, dass die Gleichung 2•x = z eine Lösung hat
Zeige, dass z/2 + z/2 = z.

[Pippen]

@breaker: Ich habe da was übersehen. Wir wollen ja zeigen, dass jede gerade Zahl geteilt durch 2 wieder eine nat. Zahl ergibt. Da brauchen wir doch irgendwas mit IN, oder? Bringen da die Körperaxiome überhaupt was?

OK.

Körperaxiome sagen:

1. Es gibt eine Multiplikation (x,y) → x•y und eine Summe (x,y) → x+y

2. Es gibt eine multiplikative Einheit, genannt 1, die x•1=x für alle x erfüllt.

3. Jede Zahl y hat ein Inverses, d.h. es gibt eine Zahl x, sodass y•x=1.

Nun definieren wir allgemein:
(i) Die Summe 1+1 nennen wir 2.

(ii) Zu irgendeiner reellen Zahl z ist x/2 die Lösung der Gleichung 2•x = z

Daran sieht man nun leider, dass es nichts zu beweisen gibt, weil die Aussage 2•(x/2)=z trivial aus der Definition folgt.

Die letzte Zeile verstehe ich nicht. Wieso kannst du x/2 aus (ii) -das habe ich übrigens geändert, ich hoffe das ist richtig - unten so einfach in die Gleichung für x einsetzen?

[breaker]

Neinnein, das soll schon ein z und kein x sein.

Lass mich mal die Definition in Worten - statt Zeichen - formulieren:

(ii) Zu einer reellen Zahl z ist z/2 definiert als diejenige reelle Zahl, die mit 2 multipliziert, z ergibt.

Aus dieser Definition ist unmittelbar klar, dass 2•z/2 = z sein muss, weil z/2 ja gerade definiert war, als die Zahl, die mit 2 multipliziert z ergibt.

[Pippen]

Neinnein, das soll schon ein z und kein x sein.

Lass mich mal die Definition in Worten - statt Zeichen - formulieren:

(ii) Zu einer reellen Zahl z ist z/2 definiert als diejenige reelle Zahl, die mit 2 multipliziert, z ergibt.

Aus dieser Definition ist unmittelbar klar, dass 2•z/2 = z sein muss, weil z/2 ja gerade definiert war, als die Zahl, die mit 2 multipliziert z ergibt.

Aha. Aber ist es nicht komisch, dass wir "2 * z/2 = z" nur definieren und nicht (aus den Axiomen und ohne zusätzlich zu definieren) beweisen können?

[breaker]

Naja, du kannst z/2 auch irgendwie anders definieren, dann hast du was zu beweisen. Mir ist aber spontan keine andere sinnvolle Definition eingefallen.
Irgendwo muss man anfangen.