Gute Kalküle der AL und Pl bestehen neben den Ableitungsregeln aus Axiomen, die selbst log. Wahrheiten (Tautologien) sind, d.h. die Axiome selbst sind bei jeder Belegung der Einzelaussagen bereits wahr. Daher kann man bei korrekter Ableitung auch immer nur wahre Aussagen mit diesen Kalkülen schließen.
Kalküle der Mathematik bestehen offenbar aber aus Axiomen, die nicht log. wahr sind, zB sind die Peano-Axiome Nr. 1 ("Null ist eine nat. Zahl") oder Nr. 2 ("Jede nat. Zahl hat einen Nachfolger, der ebenfalls nat. Zahl ist") kontigent und werden erst durch willentliches Postulat als "wahr" angenommen. Daher scheint es, als ob die Ableitungen in der Mathematik nicht die gleiche Qualität haben, wie in AL- und PL-Kalkülen. Stimmt das?
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Verständnisfrage zur Wirkweise der Mathematik
-
Siggi
Re: Verständnisfrage zur Wirkweise der Mathematik
@Pippen,
ich verstehe nicht alles, was Du hinterfragst. Aus Deiner Sicht als Mathematiker scheint es richtig zu sein oder eben nicht.
Ich denke und befürchte auch, dass sich alle Prozesse in der Natur und wie auch im Universum sich nicht mal eben so einfach in Mathe-Formeln ausdrücken lassen können.
Nehmen wir mal die Zahl 13... was fällt Dir dazu ein? Und wenn wir mal das Universum in Dreiecke unterteilen, garnichtmal so schlecht, da besteht eine höhere Ordnung, ggf. oder auch nicht. Ich weiss auchnicht, schreib lieber etwas dazu in meinem Topic,oder habe ich Dich missverstanden?
lg
Siggi
ich verstehe nicht alles, was Du hinterfragst. Aus Deiner Sicht als Mathematiker scheint es richtig zu sein oder eben nicht.
Ich denke und befürchte auch, dass sich alle Prozesse in der Natur und wie auch im Universum sich nicht mal eben so einfach in Mathe-Formeln ausdrücken lassen können.
Nehmen wir mal die Zahl 13... was fällt Dir dazu ein? Und wenn wir mal das Universum in Dreiecke unterteilen, garnichtmal so schlecht, da besteht eine höhere Ordnung, ggf. oder auch nicht. Ich weiss auchnicht, schreib lieber etwas dazu in meinem Topic,oder habe ich Dich missverstanden?
lg
Siggi
Re: Verständnisfrage zur Wirkweise der Mathematik
Pippen, das hängt einfach davon ab, was du mit deiner mathematischen Sprache formulieren möchtest.
Wenn dir die Prädikatenlogik ausreicht, dann kannst du ein beweisbar konsistentes Axiomensystem zugrundelegen.
Wenn du jedoch Rechnen möchtest, also Arithmekit betreiben, dann benötigst du ein Axiomensystem, von dem wir seit Hilbert und insbs. Gödel wissen, dass
1) seine Konsistenz entweder unbeweisbar ist, oder dass es tatsächlich inkonsistent d.h. selbst-widersprüchlich ist (*)
2) es unvollständig ist (**)
(*) bedeutet, dass wenn du einen Konsistenzbeweis gefunden hast, dieser automatisch die Inkonsistenz impliziert, d.h. dass auch Sätze wie "1 = 2" beweisbar wären.
(**) bedeutet, dass unter Voraussetzung der Konsistenz (*) gezeigt werden kann, dass das Axiomensystem zu Formulierung von Sätzen zulässt, die als wahr erkannt, jedoch nicht bewiesen werden können.
D.h. ja, du hast recht.
Wenn dir die Prädikatenlogik ausreicht, dann kannst du ein beweisbar konsistentes Axiomensystem zugrundelegen.
Wenn du jedoch Rechnen möchtest, also Arithmekit betreiben, dann benötigst du ein Axiomensystem, von dem wir seit Hilbert und insbs. Gödel wissen, dass
1) seine Konsistenz entweder unbeweisbar ist, oder dass es tatsächlich inkonsistent d.h. selbst-widersprüchlich ist (*)
2) es unvollständig ist (**)
(*) bedeutet, dass wenn du einen Konsistenzbeweis gefunden hast, dieser automatisch die Inkonsistenz impliziert, d.h. dass auch Sätze wie "1 = 2" beweisbar wären.
(**) bedeutet, dass unter Voraussetzung der Konsistenz (*) gezeigt werden kann, dass das Axiomensystem zu Formulierung von Sätzen zulässt, die als wahr erkannt, jedoch nicht bewiesen werden können.
D.h. ja, du hast recht.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper