Stochastische Grundsatzfrage(n)

[Pippen]

Es geht dabei nicht um einen konkreten Fall, sondern darum, dass die Distribution aller möglichen Kombinationen (Kopf/Zahl) bei n Würfen mit steigendem n ein kontinuierlich stärker ausgeprägtes Maximum bei 1/2 aufweist.

Ok, dann nennen wir es Maximum statt Grenzwert. Man Einwand gilt auch dafür. Die Aussage: "Die Distribution aller möglichen Kombinationen (Kopf/Zahl) bei n Würfen mit steigendem n weist ein kontinuierlich stärker ausgeprägtes Maximum bei 1/2 auf" ist falsch, weil in dem möglichen Fallbeispiel unendlich vieler Kopfwürfe die Aussage falsch wäre und sie diesen Fall nicht ausschließt. Sie ist eine Allaussage, die gerade nicht für alle Fälle gilt (was mein Gegenbeispiel beweist).

Die Aussage müsste eigentlich so lauten: "Die Distribution aller möglichen Kombinationen (Kopf/Zahl) bei n Würfen mit steigendem n weist ein kontinuierlich stärker ausgeprägtes Maximum bei 1/2 auf, soweit alles halbwegs normal läuft" und gerade der letzte Passus ist unmöglich math. so zu formulieren, dass dabei keine Trivialität oder Unterbestimmtheit rauskommt.

[breaker]

Es geht dabei nicht um einen konkreten Fall, sondern darum, dass die Distribution aller möglichen Kombinationen (Kopf/Zahl) bei n Würfen mit steigendem n ein kontinuierlich stärker ausgeprägtes Maximum bei 1/2 aufweist.

Ok, dann nennen wir es Maximum statt Grenzwert. Man Einwand gilt auch dafür. Die Aussage: "Die Distribution aller möglichen Kombinationen (Kopf/Zahl) bei n Würfen mit steigendem n weist ein kontinuierlich stärker ausgeprägtes Maximum bei 1/2 auf" ist falsch, weil in dem möglichen Fallbeispiel unendlich vieler Kopfwürfe die Aussage falsch wäre und sie diesen Fall nicht ausschließt. Sie ist eine Allaussage, die gerade nicht für alle Fälle gilt (was mein Gegenbeispiel beweist).

Die Aussage müsste eigentlich so lauten: "Die Distribution aller möglichen Kombinationen (Kopf/Zahl) bei n Würfen mit steigendem n weist ein kontinuierlich stärker ausgeprägtes Maximum bei 1/2 auf, soweit alles halbwegs normal läuft" und gerade der letzte Passus ist unmöglich math. so zu formulieren, dass dabei keine Trivialität oder Unterbestimmtheit rauskommt.

Nein, du hast irgendwie Positroniums Aussage nicht richtig gelesen. Er sagt nur, dass es mehr Verteilungen von Kopf/Zahl gibt, bei denen die relative Häufigkeit von Kopf nahe an 1/2 ist. Zum Beispiel gibt es nur eine einzige Verteilung, bei der die relative Häufigkeit 0 ist (nämlich immer Zahl). Das ist ganz schön wenig.

[positronium]

Ich sehe es so, dass bei der Grenzwertbetrachtung n->unendlich auch dieser eine Sonderfall (und sein Gegenteil, also immer Zahl statt immer Kopf) gegen unendlich unwahrscheinlich wird. Es läuft auch durch den gegenteiligen Fall immer auf den Mittelwert hinaus.
Überhaupt stellt sich die Frage, wie mit den unendlich often Würfen umzugehen ist. Es gibt ja dann eine unendlich grosse Ereignismenge. - Das ist mir eigentlich zu theoretisch; bei einer sehr grossen Zahl Würfe, ist das aber schon richtig:

Die Aussage: "Die Distribution aller möglichen Kombinationen (Kopf/Zahl) bei n Würfen mit steigendem n weist ein kontinuierlich stärker ausgeprägtes Maximum bei 1/2 auf" ...

Das sagt ja nicht aus, dass bei beispielsweise 10^1000 Würfen niemals 10^1000 x Kopf auftreten kann. Wenn man sich diese Distribution als Gauss-Verteilung vorstellt, heisst das vielmehr, dass diese immer höher und schmaler wird, je grösser die Zahl der Würfe ist.

[Pippen]

Das sagt ja nicht aus, dass bei beispielsweise 10^1000 Würfen niemals 10^1000 x Kopf auftreten kann. Wenn man sich diese Distribution als Gauss-Verteilung vorstellt, heisst das vielmehr, dass diese immer höher und schmaler wird, je grösser die Zahl der Würfe ist.

Hier wird doch eine Allaussage gemacht, die lautet: Für alle Fälle gilt: Je mehr Würfe, desto näher kommt man an irgendeinen bestimmten Wert, zB 0,5 beim Münzwurf. Wenn aber bei 10^10 Würfen 10^10 Kopf, bei 10^1000 Würfen 10^1000 Kopf und bei 10^10000 Würfen 10^10000 Kopf rauskäme, dann wäre diese Aussage offensichtlich falsch sein. Die math. Aussage muss dem Rechnung tragen, sonst ist sie eine empirische (widerlegbare) Aussage.

[Skeltek]

Trägt man auf eine Funktion f(x)[down]n[/down] die Anzahl an Würfeln ab, deren Ergebnissdurchschnitt nach n-maligem würfeln im Durchschnitt y beträgt, so hast du für n->unendlich eine punktweise Konvergenz.
Versuche mal einem Grundschüler den Unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz zu erklären. Deshalb wurde und wird einem dieser Satz in der Schule eingeprägt und haftet noch lange an.

[positronium]

Hier wird doch eine Allaussage gemacht, ...

Nein. Das heisst nur, dass die Wahrscheinlichkeit im Mittel in Richtung Gleichverteilung geht.
Ich schreibe es einmal binär mit k=0 und z=1:

0
1

00
01 10
11

000
001 010 100
011 101 110
111

0000
0001 0010 0100 1000
0011 0101 0110 1001 1010 1100
0111 1011 1101 1110
1111

00000
00001 00010 00100 01000 10000
00011 00101 00110 01001 01010 01100 10001 10010 10100 11000
00111 01011 01101 01110 10011 10101 10110 11001 11010 11100
01111 10111 11011 11101 11110
11111

Ist doch klar: Ergebnisse, bei denen mehr Gleichverteilung vorliegt, sind häufiger, und je grösser die Zahl möglicher Ergebnisse wird, desto unwahrscheinlicher werden die nur-Zahl- bzw. nur-Kopf-Würfe.
Und wenn man jetzt z.B. hierfür

0000
0001 0010 0100 1000
0011 0101 0110 1001 1010 1100
0111 1011 1101 1110
1111

alle Fälle betrachtet, sieht man anhand der Symmetrie, dass wieder alles auf den Mittelwert 1/2 hinaus läuft, also
0000 zu 1111 -> 1/2
0001 zu 1110 -> 1/2
usw.

[Skeltek]

Du vergisst die Permutationen und Querverknüfungen der verschiedenen Listen.
ALLE Elemente die mit 1 beginnen, fangen unten in dem ersten Graph an.
ALLE Elemente der Teilklasse davon(eigentlich 1/32 von unendlich vielen) die in der letzten Liste mit 1000 symbolisiert sind, sind von ganz unten (1) nach fast ganz oben(1000) gewandert. Sie haben nicht der "endlichen großen Zahl" gehorcht.
Die Anzahl der Würfel, die nach dem ersten Element immer nur noch 0 würfeln nimmt einen immer kleineren Anteil ein, wird aber selbst für unendlich viele Würfe nicht exakt Null.

Das "Gesetz der großen Zahl" ist ein Spruch, der Wischiwaschi in der schulischen Mittelstufe eine ungefähre Tendenz anzudeuten versucht; mathematisch formell ist das aber Quatsch.
Das funktioniert nur in der Praxis, weil man in der Realität nur eine abzählbar endliche Anzahl an Würfeln und Würfen hat.

[positronium]

Du vergisst die Permutationen und Querverknüfungen der verschiedenen Listen.

Das sind Histogramme für einmal werfen, zweimal werfen usw., geordnet nach der Anzahl der Würfe mit Ergebnis 1=Zahl, also hat man für jede Zeile das Verhältnis Kopf/Zahl.

[Pippen]

Das heisst nur, dass die Wahrscheinlichkeit im Mittel in Richtung Gleichverteilung geht.

Das ist doch die Allaussage: Die Wahrscheinlichkeit geht im Mittel in Richtung Gleichverteilung. Jetzt stell dir vor, auf der ganzen Welt würden auf einmal nur noch 6er gewürfelt. Das wäre empirisch möglich. Dann wäre deine o.g. Aussage doch widerlegt, weil dann im Mittel keine Gleichverteilung mehr vorläge, sondern nur noch eine Extremverteilung (nämlich alles 6en). Ist das nicht komisch, dass eine math. Aussage durch die Wirklichkeit widerlegt werden könnte?

[positronium]

Das heisst nur, dass die Wahrscheinlichkeit im Mittel in Richtung Gleichverteilung geht.

Das ist doch die Allaussage: Die Wahrscheinlichkeit geht im Mittel in Richtung Gleichverteilung. Jetzt stell dir vor, auf der ganzen Welt würden auf einmal nur noch 6er gewürfelt.

Warum sollte das so sein? Das würde der Annahme widersprechen, dass alle sechs Seiten des Würfels gleich wahrscheinlich auftreten.

[Pippen]

Das heisst nur, dass die Wahrscheinlichkeit im Mittel in Richtung Gleichverteilung geht.

Das ist doch die Allaussage: Die Wahrscheinlichkeit geht im Mittel in Richtung Gleichverteilung. Jetzt stell dir vor, auf der ganzen Welt würden auf einmal nur noch 6er gewürfelt.

Warum sollte das so sein? Das würde der Annahme widersprechen, dass alle sechs Seiten des Würfels gleich wahrscheinlich auftreten.

Man muss mE unterscheiden zwischen der Wahrscheinlichkeit und der Tatsache. Man kann ruhig annehmen, dass alle 6 Würfelseiten gleichwahrscheinlich gewürfelt werden. Deshalb kann es dennoch passieren, dass einmal über viele Wurfserien hinweg nur 6er geworfen werden. Das würde mE der Annahme nicht widersprechen. Die Wahrscheinlichkeit, 1 Mrd. mal hintereinander eine 6 zu würfeln ist klein, aber nicht null, d.h. es kann einmal passieren und wenn das geschähe, was wäre dann mit dem Gesetz der großen Zahlen? Was würde der Mathematiker in diesem Augenblick dem Spieler entgegnen, der ihn vorwurfsvoll anschaut und darauf hinweist, er hätte sich auf das Gesetz der großen Zahlen verlassen und eine Mrd. sei ja wohl groß genug...?

[Skeltek]

Das bedeutet dass von 2^10000 Würfeln sich ziemlich genau die Hälfte beim nächsten Wurf vom Durchschnitt entfernt statt darauf zuzugehen.

[positronium]

Leider weiss ich nicht, wie ich das noch besser formulieren könnte. Es ist halt so, dass selbst wenn jemand 100x eine 6 würfelt, es genau so wahrscheinlich ist, dass dieser (oder jemand anderes; ist ja egal) 100x die 1, die 2 oder... würfelt. Das gleicht sich aus, und ist extrem unwahrscheinlich, nämlich 1/6¹⁰⁰. Entsprechend ist es sehr wahrscheinlich eine andere Folge zu würfeln, eben (6¹⁰⁰-1)/6¹⁰⁰ bzw. auf nicht reine 1er, 2er usw. bezogen: (6¹⁰⁰-6)/6¹⁰⁰.

[tomS]

Was würde der Mathematiker in diesem Augenblick dem Spieler entgegnen, der ihn vorwurfsvoll anschaut und darauf hinweist, er hätte sich auf das Gesetz der großen Zahlen verlassen und eine Mrd. sei ja wohl groß genug...?

Dass eine Mrd. halt eben nicht groß genug ist.

[Pippen]

Was würde der Mathematiker in diesem Augenblick dem Spieler entgegnen, der ihn vorwurfsvoll anschaut und darauf hinweist, er hätte sich auf das Gesetz der großen Zahlen verlassen und eine Mrd. sei ja wohl groß genug...?

Dass eine Mrd. halt eben nicht groß genug ist.

So sehe ich das auch. Dann gilt das Gesetz der großen Zahlen so oder so, denn entweder es sagt die Häufigkeit für eine Wurfserie korrekt voraus oder es sagt sie nicht korrekt voraus nicht und in letzterem Fall kann man immer sagen: du musst noch mehr würfeln, dann gleich es sich schon aus. Kann man das so sagen?