Beweis, dass 1/n den Grenzwert 0 hat

[Pippen]

Wie beweist man, dass die Folge 1/n, also "1, 1/2, 1/3, 1/4,...", gegen Null als Grenzwert läuft? Kann jmd. diesen Beweis einem Laien erklären (Verständnis von Epsilon und dessen Funktion ist gegeben)?

[tomS]

Du zeigst, dass zu jedem beliebige epsilon > 0 ein entsprechenden N (als Funktion von epsilon) existiert, für das 1/N < epsilon gilt, und für das alle weiteren Folgenglieder mit n > N ebenfalls kleiner als dieses gewählte epsilon sind. Da epsilon beliebig ist, kannst DU es beliebig klein wählen, d.h. so nahe bei Null wie gewünscht. Dann werden ab dem jeweiligen N immer alle, d.h. unendlich viele Folgenglieder in dem Intervall [0,epsilon] liegen. Dieses Intervall geht per Konstruktion gegen Null, weil DU epsilon gegen Null gehen lässt (das musst du nicht zeigen, das ist deine Konstruktion).

Damit hast du gezeigt, dass ein Häufungspunkt der Folge vorliegt, und dass dieser Häufungspunkt im Intervall liegt (genauer: mit seiner linken Grenze zusammenfällt). Das ist aber gerade die Definition für Konvergenz sowie für die Existenz eines Grenzwertes. Da du also gezeigt hast, dass das Verhalten der Folge mit der Definition von Konvergenz übereinstimmt, liegt Konvergenz vor.

[Pippen]

Du zeigst, dass zu jedem beliebige epsilon > 0 ein entsprechenden N (als Funktion von epsilon) existiert, für das 1/N < epsilon gilt, und für das alle weiteren Folgenglieder mit n > N ebenfalls kleiner als dieses gewählte epsilon sind.

Genau, aber wie zeige ich, dass es zu jedem beliebigen epsilon ein entsprechendes N geben muss, so dass gilt: 1/N < epsilon (um nur mal diesen Schritt herauszupicken)?

[tomS]

Sei epsilon gegeben.
Sei N gesucht, wobei 1/N < epsilon gelten soll.

Definiere X = 1/epsilon und N = [X + 1][down]+[/down], wobei mit [...][down]+[/down] das Aufrunden auf die nächste ganze Zahl gemeint ist.

Nun ist 1/N = 1/[X + 1][down]+[/down] = 1/[1/epsilon + 1][down]+[/down] < 1/(1/epsilon) = epsilon.
Also gilt 1/N < epsilon.
q.e.d.

[Skeltek]

wobei epsilon < 1/N gelten soll.

Anders rum.
1/N < epsilon
Rest stimmt

[tomS]

Danke, hab's oben korrigiert.

[Pippen]

Danke, habe den Beweis sogar fast auf Anhieb verstanden^^.

[tomS]

Prima