Beweis der Abzählbarkeit reeller Zahlen?

[Skeltek]

Warum ignorierst du eigentlich immer diese Argumentation:

Angenommen, die Diagonalzahl läge in der Liste. Daraus folgt, dass sie an irgendeiner (endlichen) Stelle steht. Nennen wir diese Stelle N. Nach Konstruktion der Diagonalzahl wissen wir aber, dass sie sich an der N-ten Nachkommastelle von der Zahl unterscheidet, die in der Liste an Stelle N steht. Widerspruch.
Also muss die Annahme falsch gewesen sein. Diese war, dass die Diagonalzahl in der Liste liegt.

?

Kann man ihm nicht übel nehmen; so klar ausgedrückt war es nur an einer Stelle, und zwar von dir.
Allerdings muss man zugestehen, dass es schwer nachzuvollziehen ist am Anfang bevor man sichn icht ersteinmal eine Weile damit beschäfftigt hat oder dann bei der Diskussionsflut eine Kernaussage schnell mal übersehen wird.
Ein numerischer Ziffernunterschied bedeutet ja auch nicht immer zwangsläufig eine Wertdifferenz. In manchen Fällen unterscheiden sich sogar alle Ziffern und es stellt dieselbe Zahl dar(Cantor benutzt 4er und 5er, da passiert das nicht so leicht).

[Pippen]

ME sollte man überhaupt den Begriff "unendlich" aus der Mathematik streichen. Was gewinnt man damit im Unterschied zum Begriff der Beliebigkeit? Ob die Menge IN nun "unendlich viele" oder "beliebig viele" Elemente hat, kommt doch aufs Gleiche raus. Auch ob der Grenzwert gegen "unendlich" oder "beliebig weit" läuft, kommt auf das gleich raus. Wo genau braucht man den Begriff "unendlich", wo ein "beliebig" nicht ausreichen würde?

[Skeltek]

Folgender Beitrag ist nur meine persönliche Interpretation nach Jahre langem gelegentlichem Wissen-Aufschnappens. Ich editiere ihn bei Vorschlägen gerne und schließe nicht aus dass ich frisch nach dem Aufwachen Denkfehler gemacht habe ^^

Seit Weierstraß wird die Vorstellung und Argumentation einer niemals endenden Bewegung in eine Richtung nicht mehr verwendet.
Unendlich hat sich in dieser Form als Begleiter des Epsilon(nicht als sein Gegenteil) fast fest eingebürgert.

Wo man zuvor bei Grenzwertbetrachtungen(z.B. mit dem Grenzwert Null, Endlich oder Unendlich) mit nie endenden Bewegungen argumentiert hat, führte Weierstrass zum ersten mal die Epsilonnotation ein.
Für endliche Grenzwerte mussten diese in einem "beliebig kleinen" Gebiet liegen; dass unendlich nicht als Grenzwert akzeptiert wird ist auf Weierstrass zurückzuführen, da er diesen explizit ausschließt um einige seiner Argumentationen zu erleichtern(z.B. Satz von Weierstraß, der eine Beschränkung des Intervalls fordert; nach Weierstraß müssen Grenzwerte endlich sein bzw in einem beschränkten Gebiet liegen).
Er änderte damit die Vorstellung von Größenrelationen(Multiplikative Ansicht; Relation zwischen zwei Folgegliedern der Folge) zwischen zwei Zahlen mehr auf eine Intervallvorstellung(Additive Ansicht; Differenz zwischen zwei endlichen Zahlen).
Durch die angelernte mathematische Intuition wird von vielen mittlerweile Unendlich nicht mehr als Grenzwert betrachtet, auf den sich eine Folge zubewegt, sondern als aktual unendlich hoher Wert(wie die Null in der Epsilon-Umgebung/beliebige klein). Leider ist es durch die Fokusierung auf die Addition statt Multiplikation schwierig unendlich noch als Grenzwert aufzufassen(man kann keinen Epsilonschlauch um unendlich ziehen; der Schlauch wäre nicht begrenzt).

Bei einem Körper sind multiplikativ betrachtet unendlich und Null gleichwertige Grenzwerte(sozusagen an der "1" gespiegelt), die zwar Inverse voneinander sind aber nicht realiserier- oder konstruierbar. Additiv betrachtet ist die Null realisierbar, aber Unendlich nicht.
Obwohl man jedoch weiß, dass man bei der multiplikativen abelsche Gruppe die Null und Unendlich ausgeschlossen hat, tut man trotzdem so, als wären sowohl Null als auch Unendlich tatsächlich Werte, da man zwanghaft versucht die von der Addition übernommene unbewusst erlernte Intuition auf Unendlich zu übertragen.

Du hast recht, man sollte statt mit "unendlich" lieber mit "beliebig groß" arbeiten, wie man es bei der Null mit der Epsilon-Umgebung mit "beliebig klein" gewohnt ist.
Allerdings ist die Vorstellung einer immerwährenden "Bewegung" in Richtung "größer" sprachlich schwerer auszudrücken.
Man macht halt lieber n->unendlich statt e^r->unendlich; mit eben allen Implikationen.

Weierstrass wählte eben den leichteren Weg und stellte damit relativ früh die Mathematik auf ein halbwegs stabiles Fundament das sich schnell als Standard etablieren konnte weil es im Vergleich sehr leicht verständlich und relativ leicht handhabbar war. Es ist auch für praktische Zwecke einfacher umzusetzen.

[tomS]

ME sollte man überhaupt den Begriff "unendlich" aus der Mathematik streichen. Was gewinnt man damit im Unterschied zum Begriff der Beliebigkeit? Ob die Menge IN nun "unendlich viele" oder "beliebig viele" Elemente hat, kommt doch aufs Gleiche raus. Auch ob der Grenzwert gegen "unendlich" oder "beliebig weit" läuft, kommt auf das gleich raus. Wo genau braucht man den Begriff "unendlich", wo ein "beliebig" nicht ausreichen würde?

Ich habe schon vor langer Zeit gesagt, dass du m.E. einem intuitionistischen Standpunkt vertrittst.

Ist nicht weit verbreitet, aber auch nicht verboten.

Nur: du hast gerade mal eine erste Idee entwickelt, was es mit dem unendlichen auf sich hat; du hast noch große Probleme mit den Beweisführungen. Lass' dir doch mit deiner Bewertung Zeit, bis du die Mathematik besser verstanden hast.

[seeker]

ME sollte man überhaupt den Begriff "unendlich" aus der Mathematik streichen.

Ich habe auch schon ähnlich mit der Unendlichkeit gehadert.
Im Moment bin ich dem versönlicher eingestellt.

Der Grund ist folgender:

Man könnte sagen, dass die Existenz bzw. Verwendung der Unendlichkeit eine Zusatzannahme im Sinne einer Entität sei.
Insofern diese Zusatzannahme unnötig ist wäre sie dann im Sinne von Ockhams Rasiermesser wegzulassen.

Umgekehrt könnte man aber auch folgendermaßen argumentieren:
Zur Herstellung einer Endlichkeit bedarf es einer zusätzlichen begrenzenden Regel/Definition, die aus Unendlichem erst Endliches macht, dieses auf endliche Bereiche begrenzt.
Insofern diese Regel als eine Entität gesehen werden kann und insofern sie dann als Zusatzannahme unnötig ist, ist sie im Sinne von Ockhams Rasiermesser wegzulassen.

...womit dann in den Einzelfällen die endlichen Mengen auf dem Prüfstand stünden (statt den unendlichen Mengen): Man müsste dann stets fragen, ob in dem jeweiligen Szenario die begrenzende Zusatz-Regel "Endlichkeit" nötig ist.


Wenn man diese Dualität sieht, dann kann man zu dem Schluss kommen, dass aus dieser Situation heraus am besten auf Basis der Nützlichkeit bzw. des Pragmatismus zu entscheiden ist, ob man (aktuale) Unendlichkeiten in der Mathematik verwenden sollte oder nicht.

Da sich im Moment das Konzept der aktualen Unendlichkeit aber aus Sicht der meisten Leute immer noch als nützlich erweist, sollte man es zurzeit auch weiter verweden.
Allerdings könnte man sich darüber unterhalten, ob man "Unendlichkeit" vielleicht durch ein besseres Wort, besonders im allg. Sprachgebrauch ersetzen könnte und ob sich evtl. noch etwas bessere Definitionen dafür finden lassen.


@Skeltek: Schöner, Beitrag, der mich manche Dinge klarer erkennen lässt!


Grüße
seeker

[Pippen]

Kann jmd. darlegen, wie sich in der Mathematiksprache "beliebig" und "unendlich" unterscheiden? Sind zB die folgenden Aussagen math. identisch: "Es gibt unendlich viele nat. Zahlen" und "Es gibt beliebig viele nat. Zahlen"; "Eine Linie hat unendliche viele Punkte" und "Eine Linie hat beliebig viele Punkte"?

Ich würde nämlich gern hier mitnehmen, dass bei Mengen/Klassen/Konstruktionen ohne Maximum Beliebigkeit und Unendlichkeit Synonyme sind (falls das stimmt). Bei Mengen mit Maximum, zB der Menge der ersten 10 nat. Zahlen, wäre der Unterschied ja offensichtlich.

[Skeltek]

@Pippen:
Für jedes beliebige n das man wählt, hat die Linie mehr Punkte. Das n ist beliebig groß, aber endlich. Damit drückt man aus, dass es z.B. größer oder kleiner ist als jede beliebige endliche Zahl.

Wenn du sagst: Eine Linie hat beliebig viele Punkte, ergibt das grammatisch keinen Sinn: Sie hat genau einen Punkt, zwei Punkte, siebzehn Punkte usw, oder je nachdem wie man will.
Beliebig groß oder klein bedeutet ja, dass der Wert beliebig, aber endlich ist. Danach vergleicht man die tatsächliche Anzahl der Punkte mit diesem beliebigen Wert.

Unendlich sagt nur aus, dass es mehr ist als beliebig viele.
Trotzdem gilt: beliebig viele<unendlich
Der Ausdruck ist nicht gleich unendlich, er macht auch nur im Vergleich einen Sinn.

[seeker]

Ja. Deshalb ist "beliebig" dafür nicht ein so geignetes Wort.
"Beliebig viele" ist ein zwar frei wählbarer aber stets konkreter Wert, "unendlich viele" nicht, es ist kein konkreter Wert.
Man könnte statt "unendlich viele" aber m. E. auch "(prinzipiell) unbekannt viele" oder "unbestimmt viele" oder "unbegrenzt viele" sagen.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Man könnte statt "unendlich viele" aber ..."unbegrenzt viele" sagen.

Das Wort unbeschränkt wird ja bereits auch benutzt. Nicht endend bzw nicht endlich viele wäre auch möglich, aber das ist zu nahe dran an der tatsächlichen Bedeutung ^^

[Pippen]

@Pippen:
Für jedes beliebige n das man wählt, hat die Linie mehr Punkte. Das n ist beliebig groß, aber endlich. Damit drückt man aus, dass es z.B. größer oder kleiner ist als jede beliebige endliche Zahl.

Wenn du sagst: Eine Linie hat beliebig viele Punkte, ergibt das grammatisch keinen Sinn: Sie hat genau einen Punkt, zwei Punkte, siebzehn Punkte usw, oder je nachdem wie man will.
Beliebig groß oder klein bedeutet ja, dass der Wert beliebig, aber endlich ist. Danach vergleicht man die tatsächliche Anzahl der Punkte mit diesem beliebigen Wert.

Unendlich sagt nur aus, dass es mehr ist als beliebig viele.
Trotzdem gilt: beliebig viele<unendlich
Der Ausdruck ist nicht gleich unendlich, er macht auch nur im Vergleich einen Sinn.

Gegenbeispiel: Sei n € IR. Dann könnte ich in n eine beliebige reelle Zahl einsetzen und wir wissen, dass dort ziemliche viele Zahlen nicht-endlich sind. "Beliebig" referiert mE darauf, dass aus einer Menge jedes ihrer Elemente ausgewählt werden kann. Wenn eine Menge nun kein Maximalelement kennt, also "unendlich" ist, dann gibt es da auch "beliebig viele" Elemente, ansonsten gäbe es nur x-viele Elemente. D.h. wenn eine Menge beliebig viele Elemente x enthält, dann ist sie unendlich und umgekehrt, d.h. beliebig viel = unendlich, nicht aber: beliebig = unendlich (weil das von der Ausgangsmenge abhängt)!

[tomS]

Deine Schlussfolgerung bzgl. des maximalen Elementes ist nicht korrekt. Z.B. enthält das endliche Intervall [0,1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen.

Ansonsten leidet die Diskussion unter mangelnder Exaktheit und fehlenden Definitionen.

Eine Menge X enthält unendlich viele Elemente genau dann, wenn keine Bijektion B auf eine endliche Menge M existiert.

Sei M eine endliche Menge mit n = |M|, d.h. n ist die Mächtigkeit der Menge M. Für endliche Mengen ist n eine natürliche Zahl. Sei X eine Menge, deren Mächtigkeit unbekannt ist. Sei B eine Bijektion zwischen M und X.

Wenn ein derartiges B existiert, dann ist X endlich. Wenn (beweisbar) kein derartiges B existiert, dann ist X unendlich. Genau so geht man mit allen weiteren Mächtigkeiten um. Insbs. funktioniert so auch Cantors Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Die (angenommene) vollständige Liste reeller Zahlen ist nichts weiter als die Bijektion B zwischen den natürlichen Zahlen N und den reellen Zahlen R. Da eine derartige Liste bzw. Bijektion beweisbar (!) nicht existiert (siehe Widerspruchsbeweis oben) entspricht die Mächtigkeit von R nicht der von N. Und da trivialerweise N Teilmenge von R ist, gilt |R| > |N|, d.h. die Mächtigkeit von R ist echt größer als die von N.

Die "Folge von Mächtigkeiten" ist nach oben unbeschränkt, denn man kann zu jeder beliebigen (unendlichen) Menge X deren Potenzmenge Y = P(X) konstruieren und beweisen, dass keine Bijektion B zwischen X und Y existiert, dass also |Y| > |X| gelten muss.

[Pippen]

@toms: Die Frage ist mittlerweile folgende und ich mache es mal an einem Bsp. deutlich: Wir nehmen n Weihnachtsmänner an (n € N). Kann man nun sagen, dass man damit unendlich viele Weihnachtsmänner annimmt? Ich meine ja, das folgt daraus. ME muss man nicht extra das Unendlich-Zeichen einführen, wenn man unendlich viele Weihnachtsmänner annehmen will.

[tomS]

Wir nehmen n Weihnachtsmänner an (n € N).

Gut. D.h. dass es potentiell unendlich viele Weihnachtsmänner geben kann, wenn dein n beliebig gewählt werden darf. Der Mathematiker schreibt dafür "n aus N, n beliebig".

Kann man nun sagen, dass man damit unendlich viele Weihnachtsmänner annimmt?

Nicht so einfach.

Dein n ist beliebig. Aber für jede einzelne Wahl von n ist n selbst endlich. D.h. für jede einzelne Wahl reden wir von endlich vielen Weihnachtsmännern. Allerdings ist die prinzipielle Beschränkung auf endlich viele Weihnachtsmänner nicht zulässig, denn prinzipiell endlich viele Weihnachtsmänner würde bedeuten, dass es ein endliches m gibt, so dass n nie größer sein darf als m; m ist dabei zunächst beliebig. Nun war jedoch auch unser n beliebig, d.h. wir können für jedes beliebige m ein n=m+1 wählen, so dass n eben doch größer ist als m. Und dies können wir für jedes beliebige m tun, d.h.: wir prüfen für alle m aus N, ob dieses m die maximal erlaubte Anzahl von Weihnachtsmännern sein darf. Für jedes m aus N setzen wir unser n gleich m+1 oder größer und erhalten dadurch einen Widerspruch. Also gibt es kein m, das die Maximalzahl von Weihnachtsmännern festlegt.

Was genau ist denn nun der Widerspruch? Ganz einfach, es ist die Annahme, dass einerseits "n aus N, n beliebig" und anderseits "für ein beliebiges m aus N gelte ~ n>m" (~ bedeutet "nicht"). D.h. die Annahmen "n beliebig" und "m beliebig mit n nicht größer m" widersprechen sich.

Wenn du also auf n beliebig bestehst, darfst du n nicht mittels m einschränken. Damit ist potentiell eine beliebig große Anzahl an Weihnachtsmännern zulässig, die jedoch für jede konkrete Wahl endlich ist.

Wenn du umgekehrt n mittels m einschränken möchtest, dann ist n nicht mehr beliebig aus N, sondern nur noch beliebig aus {0,1,...,m}. Und damit ist n sicher für jede konkrete Wahl von m wieder endlich.

[breaker]

Pippen hat doch gar keine Menge definiert.

Eine Menge mit n Weihnachtsmännern ist für jedes n endlich, da bijektiv auf die Menge {1,2,...,n} abbildbar.
Was soll jetzt die unendliche Menge sein?

[tomS]

Pippen setzt eine Menge von n Weihnachtsmännern an. Dann stellt er die Frage, ob man damit unendlich viele Weihnachtsmänner annimmt. Das ist zunächst mal falsch, da n endlich ist. Allerdings soll n auch beliebig sein, und damit kann man für kein endliches m behaupten, dass m eine obere Schranke für n darstellt. Damit ist n potentiell unendlich, in jedem konkreten Fall für ein spezielles n jedoch endlich.

[Pippen]

Pippen setzt eine Menge von n Weihnachtsmännern an. Dann stellt er die Frage, ob man damit unendlich viele Weihnachtsmänner annimmt. Allerdings soll n auch beliebig sein, und damit kann man für kein endliches m behaupten, dass m eine obere Schranke für n darstellt. Damit ist n potentiell unendlich, in jedem konkreten Fall für ein spezielles n jedoch endlich.

Genau das meine ich ja. Ich habe mit n Weihnachtsmännern eine (potentiell) unendliche Menge. Die Begründung von tomS entspricht genau meinen Vorstellungen und natürlich beschränke ich n nicht auf ein Maximum m. Ich kann übrigens die Menge recht schnell aktuell unendlich machen, wenn ich zusätzlich annehme, dass eine theoretische Turingmaschine sofort alle n € N für 'n' (mit Indizes gelistet) durchprobieren und notieren könnte. Dann wäre aus der potentiellen Unendlichkeit eine aktuelle geworden, ohne dass sich etwas geändert hätte, weil die Zusatzannahme rein imaginär/im logischen Raum erfolgt. Deshalb ist für mich "beliebig" bei offenen Mengen (also solchen wo es kein Maximal- bzw. Letztelement gibt) mit "unendlich" gleichbedeutend. Und haben es die Griechen nicht auch so gemacht? Die haben doch gerade nicht von Unendlichkeit gesprochen, sondern davon, dass es eine "beliebig vergrößerbare Menge" wäre (oder so ähnlich).

Ein ähnliches Problem habe ich nämlich auch gerade in der Diskussion um das Grim Reaper (Sensenmann) Paradoxon. Dort sollen um 11am+1/n unendlich viele GR's Fred töten. Einige meinen, dass das so nicht klappt, weil da unendlich vorkommt und man damit nicht rechnen kann, während ich das ganze elegant umformulieren würde in: um 11am+1/n sollen n GR Fred töten, also kommt der erste um 11am+1/1, kann da aber Fred nicht töten, weil der zweite bereits 11am+1/2 da war und Fred somit schon tot sein würde und so kann Fred von keinem GR getötet werden. Da brauche ich mich mit Unendlichkeiten nicht herumzuplagen, weil ich Unendlichkeit durch die Beliebigkeit substituiere. Die Frage ist, ob das klappt und ich sehe keinen Grund warum es nicht klappt und kein Gegenbeispiel.

[tomS]

Noch ein paar kleine Korrekturen:

Eine Turingmaschine kann das Geforderte nicht leisten, da sie unendlich lange benötigt, um unendlich viele Zahlen zu prüfen.

Und natürlich sind "unendlich" und "beliebig" nicht gleichbedeutend - ich denke, das geht aus meiner Argumentation hervor! Eine beliebige natürliche Zahl ist immer endlich. Beide Begriffe haben im Falle einer unendlichen Menge viel miteinander zu tun - aber eben in der o.g. Art und Weise - und damit sind die beiden Begriffe nicht gleichbedeutend.

[Pippen]

Noch ein paar kleine Korrekturen:

Eine Turingmaschine kann das Geforderte nicht leisten, da sie unendlich lange benötigt, um unendlich viele Zahlen zu prüfen.

Ok, dann nimm halt Gott^^.

Noch etwas: Steht nicht zB bei der Funktion: f(x)= 1/n die Variable 'n' für eine beliebige Zahl aus IN und damit für alle (unendlich vielen) Zahlen aus IN?

[breaker]

Sicher, dass du f(x) schreiben wolltest und nicht f(n)?

n steht meiner bescheidenen Ansicht nach immer für eine Zahl.

[Skeltek]

Wenn man sagt eine Zahl könne beliebig viele Nachkomma-Ziffern haben stimmt das so nur halb.
Die Dezimaldarstellung der Zahl hat lediglich endlich oder endlich viele(egal ob man will oder nicht). Man kann das ja nicht auf Wunsch festlegen.
Natürlich kann man eine Zahl auswählen, die bereits unendlich viele Ziffern hat; die nicht-endende Flut an Ziffern ist nicht eine direkte Folge des Wunsches.

Ein "beliebiges n" ist meiner Meinung nach immer endlich bzw eine ganz bestimmte Zahl.

[tomS]

Noch ein paar kleine Korrekturen:

Eine Turingmaschine kann das Geforderte nicht leisten, da sie unendlich lange benötigt, um unendlich viele Zahlen zu prüfen.

Ok, dann nimm halt Gott^^.

Noch etwas: Steht nicht zB bei der Funktion: f(x)= 1/n die Variable 'n' für eine beliebige Zahl aus IN und damit für alle (unendlich vielen) Zahlen aus IN?

Erstens hatten wir das schon mal. Und zweitens folgt aus dem Hinschreiben von f(n) = 1/n noch nicht, dass du bereits eine Turingmaschine hättest, die das auch berechnet und ausgibt.

[Pippen]

Und zweitens folgt aus dem Hinschreiben von f(n) = 1/n noch nicht, dass du bereits eine Turingmaschine hättest, die das auch berechnet und ausgibt.

Natürlich steht 'n' nur für eine natürliche Zahl. Aber da wir in 'n' alle möglichen Zahlen einsetzen können - wir können ja beliebig viele nacheinander einsetzen - können wir letztlich alle einsetzen und daraus folgt: wenn IN eine unendliche Menge ist, dann könnten wir für 'n' unendlich viele nat. Zahlen einsetzen und damit würde 'n' nicht nur für eine beliebige nat. Zahl stehen, sondern für beliebig viele beliebige nat. Zahlen!

[breaker]

...und?

Warum hängst du dich so an Schreibweisen auf? Die Formel f(n)=1/n ist nur eine kürzere Schreibweise für den Satz
"Die Funktion f bildet natürliche Zahlen auf ihren Kehrwert ab."

Man könnte alle mathematischen Aussagen ohne Symbole formulieren, aber dadurch wäre das Ganze deutlich komplizierter. Kurzschreibweisen haben keine mathematische Bedeutung.

[tomS]

breaker hat recht;

in "f(n) = 1/n" steht n für genau eine Zahl;
in "für alle n aus N: f(n) = 1/n" steht n für unendlich viele Zahlen

und nochmal: aus einer kompakten endlichen Schreibweise folgt noch kein (endlicher) Algorithmus; es gibt Beispiele von reellen Zahlen, für die eine formale, kompakte, endliche Schreibweise existiert, von denen jedoch beweisbar (!) keine einzige Nachkommastelle berechenbar ist

[Pippen]

in "für alle n aus N: f(n) = 1/n" steht n für unendlich viele Zahlen

Das ist genau mein Punkt. Mit der o.g. Formel hat man unendlich viele Zahlen in die Funktion gebracht (und damit unendlich viele Zuordnungen), ohne je das Unendlichzeichen (die horizontale Acht) nutzen zu müssen. MaW: Wenn in einem Paradox unendliche viele Sensenmänner jmd. töten sollen, dann kann man dafür auch schreiben: n Sensenmänner (n € N, für alle n aus N). IdR wird nämlich der Zusatz "für alle n aus N" ohnehin implizit angenommen werden, so zB bei der Funktion 1/n.

es gibt Beispiele von reellen Zahlen, für die eine formale, kompakte, endliche Schreibweise existiert, von denen jedoch beweisbar (!) keine einzige Nachkommastelle berechenbar ist

Interessant. Was wäre so eine reelle Zahl?