Beweis der Abzählbarkeit reeller Zahlen?

[tomS]

Eine Zahl, die man definieren jedoch nicht berechnen kann, ist die Chaitin-Konstante.

Eine Zahl, die eine Eigenschaft fast aller reellen Zahlen x beschreibt, ohne dass man eine einzige Zahl x mit dieser Eigenschaft explizit kennt, ist die Khinchin-Konstante.

[Pippen]

Im Prinzip ist ja auch Pi oder V2 eine Zahl, die man definieren, aber nicht berechnen kann, oder? Ich hatte schon gedacht, dass diese Chaitin-Konstante sogar noch "irrationaler" wäre als die irrationalen Zahlen.

Stimmst du dem ersten Absatz meines Vorbeitrages zu?

[breaker]

Im Prinzip ist ja auch Pi oder V2 eine Zahl, die man definieren, aber nicht berechnen kann, oder? Ich hatte schon gedacht, dass diese Chaitin-Konstante sogar noch "irrationaler" wäre als die irrationalen Zahlen.

Für π und √2 gibt es Formeln, mit deren Hilfe beliebig viele Nachkommastellen der Zahl berechnen kann. Für die Chaitin-Konstante nicht.

[seeker]

http://de.wikipedia.org/wiki/Chaitinsche_Konstante

Hmm... kann man da überhaupt noch von einer Zahl sprechen und insbes. von einer Zahl, die konkret sein soll und existierend?
Über was man nicht reden kann, darüber soll man schweigen?

Grüße
seeker

[Pippen]

Im Prinzip ist ja auch Pi oder V2 eine Zahl, die man definieren, aber nicht berechnen kann, oder? Ich hatte schon gedacht, dass diese Chaitin-Konstante sogar noch "irrationaler" wäre als die irrationalen Zahlen.

Für π und √2 gibt es Formeln, mit deren Hilfe beliebig viele Nachkommastellen der Zahl berechnen kann. Für die Chaitin-Konstante nicht.

Doch, siehe die wikipedia-Verlinkung, da gibt es sehr wohl eine Berechnungsvorschrift. Dass man dann schon die ersten Stellen nicht sicher berechnen kann, weil spätere Berechnungen auf diese Stellen rückwirkenden Einfluss haben, spielt keine Rolle. Wenn man zwei reelle Zahlen miteinander (im Deziamalsystem) addiert, dann hat man das Gleiche Problem, weil diese Zahlen unendlich lang sind und man daher nie weiß, wie die Überträge auf vorhergehende Stellen sich auswirken.

[breaker]

Dass man dann schon die ersten Stellen nicht sicher berechnen kann, weil spätere Berechnungen auf diese Stellen rückwirkenden Einfluss haben, spielt keine Rolle.

Doch, das spielt sehr wohl eine Rolle. Das ist genau der Unterschied.

Wenn man zwei reelle Zahlen miteinander (im Deziamalsystem) addiert, dann hat man das Gleiche Problem, weil diese Zahlen unendlich lang sind und man daher nie weiß, wie die Überträge auf vorhergehende Stellen sich auswirken.

Das ist nicht richtig:
Wir nehmen zwei Zahlen
a=0,a[down]1[/down]a[down]2[/down]a[down]3[/down]a[down]4[/down]...
b=0,b[down]1[/down]b[down]2[/down]b[down]3[/down]b[down]4[/down]...

Wir wissen sicher, dass 0,000a[down]4[/down]a[down]5[/down]... kleiner ist, als 0,001, genau so wie 0,000b[down]4[/down]b[down]5[/down]...
Seien nun A=0,a[down]1[/down]a[down]2[/down]a[down]3[/down] und B=0,b[down]1[/down]b[down]2[/down]b[down]3[/down]. A und B sind also Näherungen für a und b.
Berechne nun:
|a+b-(A+B)|=|(a-A)+(b-B)|=|0,000a[down]4[/down]a[down]5[/down]...+0,000b[down]4[/down]b[down]5[/down]...|≤0,002.

Also kann ich sicher sein, dass die ersten beiden Dezimalstellen von a+b und A+B übereinstimmen. Wenn ich A und B länger mache, kann ich den Fehler beliebig verkleinern.

[tomS]

Hmm... kann man da überhaupt noch von einer Zahl sprechen und insbes. von einer Zahl, die konkret sein soll und existierend?
Über was man nicht reden kann, darüber soll man schweigen?

Netter Nachsatz, der mir zu denken geben muss ;-)

Im Ernst, sagen wir mal so: um eine Zahl konkret zu benennen, muss man sie irgendwie beschreiben, mittels einer Formel, eines Algorithmus, einer textuellen Beschreibung, einer geometrischen Konstruktion, ... All diese Beschreibungen sind letztlich abzählbar. Die reellen Zahlen sind jedoch überabzählbar. D.h. dass fast alle reellen Zahlen in keiner dieser Weisen irgendwie beschreibbar sind.

Und breaker hat natürlich recht.

[Skeltek]

Wir wissen sicher, dass 0,000a[down]4[/down]a[down]5[/down]... kleiner ist, als 0,001, genau so wie 0,000b[down]4[/down]b[down]5[/down]...

Wie willst du feststellen, daß a[down]1[/down] bis a[down]3[/down] = 0 sind? Du brauchst dafür die restlichen Ziffern

[breaker]

Wie willst du feststellen, daß a1 bis a3 = 0 sind? Du brauchst dafür die restlichen Ziffern

Nein, braucht man nicht.

[Pippen]

2,3
2,7
---
5,0

Um darauf zu kommen, muss man zuerst mit der letzten Stelle losaddieren. Nur dann merkt man den Übertrag von 3+7. Wie soll das mit unendlichen Zahlen gehen, bei denen du eben nicht "hinten" anfangen kannst?

[breaker]

Ich habs doch oben vorgerechnet. Wo ist das Problem?
Dein Beispiel ist kein Gegenbeispiel zu meiner Rechnung.

[seeker]

Ein Übertrag beim Addieren zweier Zahlen kann sich maximal auf eine Stelle vorher auswirken, als eine "+1". Nur wenn dort eine 9 steht wirkt es sich auf zwei Stellen vorher aus, usw.
D.h.: In den meisten Fällen ergibt sich kein Problem (bzw. muss man nur so viele Nachkommastellen herausfinden bis ein Nicht-Neuner als Ziffer auftaucht).

Beispiel:

Ich kenne von zwei irrationalen Zahlen die ersten 5 Nachkommastellen:

0,76845... + 0,77998... = 1,54843...

Im schlimmsten Fall kommen bei den "..." jetzt erst einmal 1 Million Neuner (unendlich viele können es nicht sein, sonst ist es keine irrationale Zahl).
Es ergibt sich:

0,76845999... + 0,77998999... = 1,54844998...

D.h.: Die ersten 4 Nachkommastellen der Summe sind hier fixiert, sobald ich bei den beiden Summanden die ersten fünf Nachkommastellen kenne, egal was da weiter hinten noch bei den Summanden kommen mag (usw.).

Grüße
seeker

[seeker]

Im Ernst, sagen wir mal so: um eine Zahl konkret zu benennen, muss man sie irgendwie beschreiben, mittels einer Formel, eines Algorithmus, einer textuellen Beschreibung, einer geometrischen Konstruktion, ... All diese Beschreibungen sind letztlich abzählbar. Die reellen Zahlen sind jedoch überabzählbar. D.h. dass fast alle reellen Zahlen in keiner dieser Weisen irgendwie beschreibbar sind.

Interessante Einsicht! Da hast du Recht!
Ist es nicht irgendwie verrückt, dass man in der doch so rationalen Wissenschaft Mathematik irrationale Zahlen (also Nicht-Rationales, ist der Name hier nicht Programm?) zulässt?

Aber wenn ich die Dinge mal wieder herumdrehe (was ich ja gerne tue ) und sage, dass in meiner Zahlenmenge "R" alle Zahlen existieren, die ich nicht explizit ausschließe (anstatt zu fordern, dass ich alle Zahlen darin explizit konstruieren können muss), dann habe kein Problem mehr damit, denn anzugeben, was meine Menge alles nicht enthalten darf, fällt sehr viel leichter: Der Rest ist dann "R".
So herum gesehen macht es dann wieder Sinn. Zwei Seiten...

Grüße
seeker

[Skeltek]

Mein letzter Beitrag im Stochastik Thread passt ganz gut dazu, leider kann ich es gerade nicht in Worte fassen es darauf zu übertragen...

[tomS]

@seeker: ich habe da auch kein Problem damit; für mich ist R eine Abstraktion, die gewisse Eigenschaften und Strukturen hat, wodurch sie eindeutig definiert werden kann; die Elemente "erben" dann gewisse Eigenschafen von R.

Ich sehe das ganze sozusagen als Top-Down-Ansatz. Ich muss nicht alles bottom-up konstruieren, damit es (in einem abstrakten Sinn) existiert.

[seeker]

Top-Down-Ansatz... Ja, natürlich!!
Prima! Auch das sind hilfreiche Gedanken für mich!

Ja, man sollte öfter mal Abstand vom "objektbezogenen Denken" nehmen und die Dinge auch mal "strukturbezogen" betrachten.

Grüße
seeker