Mengen mit mehreren gleichen Elementen...

[Pippen]

sind keine Mengen, also zB A = {1,2,2,4} wäre keine Menge.

1. Woraus ergibt sich das? (Axiom?)
2. Wäre das eine Klasse?

[Skeltek]

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa M = {blau, gelb, rot}, wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird. Das heißt es gilt beispielsweise {blau, rot, gelb} = {blau, gelb, rot} = {blau, blau, gelb, rot}.[3]

http://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)

Die leere Menge ist in jeder Menga übrigens mehrfach vorhanden, bzw beliebig oft. Jetzt kann man sich drum streiten ob die Potenzmenge der leeren Menge überabzählbar ist ^^
Das ist sie natürlich nicht. Das mehrfache Vorkommen eines Elementes kann man auch so interpretieren, dass das Element nur einmal vorhanden ist, aber z.B. doppelte Chance hat gezogen zu werden, wobei sich ohne zurücklegen lediglich die Ziehungschance verkleinert.

sind keine Mengen, also zB A = {1,2,2,4} wäre keine Menge.

Kannst du da deine Quelle angeben? Das wäre mir neu.

[tomS]

sind keine Mengen, also zB A = {1,2,2,4} wäre keine Menge.

1. Woraus ergibt sich das? (Axiom?)
2. Wäre das eine Klasse?

Ich weiß nicht, ob ich das "keine Menge" nennen würde.

Wenn die beiden Elemente "2" in irgendeiner Form unterscheidbar sind, dann sind sie verschieden. Das sollte z.B. durch einen Index gekennzeichnet werden. Wenn die beiden Elemente "2" jedoch absolut identisch sind, dann sind sie ein und das selbe Element, andernfalls kommt man in Schwierigkeiten, und zwar rein logisch.

Schau dir mal folgendes an:

{1,2,2,4} \ {2}: welches Element "2" nimmst du weg? enthält die Differenzmenge noch das Element "2"?

Ich denke, i.A. gilt folgendes:

( M \ {x} ) ∩ {x} = ∅

Dabei müssen wir nichts über M und x voraussetzen. Das ist wichtig, denn es gibt ja viele Mengen, deren Elemente wir nicht explizit hinschreiben und einzeln anschauen können, um zu prüfen, ob sie nun Elemente sind. Nehmen wir Zahlen, für deren Bestimmung kein endlicher Algorithmus existiert. Die Menge dieser Zahlen ist eine Teilmenge der reellen Zahlen, wir können jedoch keine einzige davon in irgendeiner Form hinschreiben, und wir können auch nicht feststellen, ob wir die selbe Zahl zweimal in der Menge haben. In deinem Fall laufen wir also in Probleme, und zwar unabhängig davon, wie wir das Gebilde A nennen.

[Analytiker]

Mengen mit mehreren gleichen Elementen sind Multimengen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Multimenge

Gruß
Analytiker

[Pippen]

Schau dir mal folgendes an:

{1,2,2,4} \ {2}: welches Element "2" nimmst du weg? enthält die Differenzmenge noch das Element "2"?

Ich denke, i.A. gilt folgendes:

( M \ {x} ) ∩ {x} = ∅

Ja, dann verstehe ich es, denn das klappt nicht, wenn eine Menge mehrere gleiche/identische Elemente enthält. Kann jmd. zeigen, wie sich "( M \ {x} ) ∩ {x}) = ∅" auf ZFC zurückführen lässt oder woher weiß man, dass das so gilt (auch wenn es intuitiv natürlich leicht nachzuvollziehen ist)?

Noch eine etwas leichtere Frage in diesem Zusammmenhang: Ich habe gelesen, dass für leere Mengen gilt: "Für alle x, x € ∅, P(x)" ist immer wahr. Kann man das beweisen?

[Skeltek]

Guten Morgen
Der Kontext des Symbols \ wird schlicht definiert und auf die eine oder andere Art festgelegt.
Was eine Menge und was ein Element sein soll ist in der Regel einfach zu definieren, wobei hier eigene Erfahrungen einfließen wie z.B. ob eine Menge selbst ein Element sein darf oder ob es Ordnungsrelationen zwischen unterschiedlich "hoch" eingestuften Mengen geben soll.
Sprich: Wenn die Mengen Äste sind und die Elemente Zweige wären, dürften sich nur vom Baumstamm gleich entfernte Äste in derselben Mengenklasse befinden?

In welchem Kontext die verschiedenen Objekte der unterschiedlichen Mengenlehren stehen, kann viel vielfältiger sein. Die Beantwortung deiner Frage hängt schlicht von der betrachteten Mengenlehre ab.