Unendliches Universum & Stochastik

[Skeltek]

Selbststabilisierend ist so ein Wort...
ist es nicht eher so, daß alles zerfällt, nur das das was wir als stabil wahrnehmen die stabilste Form des Zerfallsprozesses darstellt?
Ein Strudel ist auch nicht viel mehr als der Zerfallsprozess der vorher gefüllten Badewanne.
Selbst wenn Naturgesetze oder ähnliches ständiger Veränderung unterworfen wären, würden sie trotzdem einige Zeit brauchen um sich zu verändern. Wir haben nur Glück, daß die Veränderung im Vergleich zu unserer Lebensspanne relativ lang ist.

[seeker]

Ach so.
Ich denke die einfachste Regel die du einführen kannst ist, wenn du nur in einem einzigen Aspekt (unter den unzählbaren Freiheitsgraden) ein einziges "Ja/Nein" auftauchen lässt, aber alles andere unberührt lässt. Das müsste die einfachste und erste denkbare Struktur sein: in allem völlig zufällig/frei, bis auf eine einzige Sache/duale Eigenschaft, die festgelegt ist.

Selbststabilisierend ist so ein Wort...

Ja, das wird noch äußerst schwer sein das zu erfassen und zu formulieren. Schließlich gibt es in dem worüber wir hier reden auch noch keine Zeit in dem Sinne.
Das Ding, das wir brauchen muss sich ab einem geweissen Punkt quasi seine eigene Zeit in sich selbst erschaffen und auch nicht für immer stabil sein, nur innerhalb der selbstgeschaffenen Zeit.

Ich weiß, das ist alles höchst spekulativ... aber manchmal mache ich mir halt gerne solche Gedanken und habe Freude daran.
Was dabei herauskommen kann ist natürlich nicht viel mehr als eine Geschichte, die man vielleicht plausibel finden kann, vielleicht auch nicht.
Aber auch das ist etwas wert, denn es kann einem als Mensch eine gewisse Orientierung bieten, wie man die Welt denn sehen will und es kann auch zu weiteren Ideen führen.

Grüße
seeker

[Pippen]

Ok, dann erstmal noch abstrakter: Wir haben eine Urne mit unendlich vielen durchnummerierten Kugeln. Jemand zieht daraus unendlich oft Kugeln (und legt sie anschließend zurück, falls das eine Rolle spielt). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Kugel 666 zu ziehen?

Ich bin mir nicht sicher, ob es überhaupt mathematisch möglich ist, ein geeignetes widerspruchsfreies Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer unendlichen Menge zu definieren. Zumindest existiert sicher keine Gleichverteilung!

D.h. es ist mathematisch nicht möglich, auf den natürlichen Zahlen n = 1, 2, 3, ... eine Wahrscheinlichkeit p (1), p(2), p(3), ... so einzuführen, dass p(1) = p(2) = p(3) = ... gilt. Auch die Aussage p(n) = 0 für alle n ist sinnlos, da die Summe über alle p(n) ja wieder Eins ergeben muss.

Wenn du etwas anderen als eine Gleichverteilung möchtest, dann kannst du das sicher konstruieren, allerdings gibt es wohl keine "natürliche" Wahl. Eine Gleichverteilung kannst du jedoch nicht konstruieren, d.h. streng genommen ist die Frage sinnlos.

Hm...wie kommt dann dieser Artikel zu der Behauptung, dass sich in einem unendlichen Universum alle erdenklichen Zustände realisieren? http://www.fromquarkstoquasars.com/what ... -universe/

[tomS]

Ich verstehe nicht, was das miteinander zu tun hat.

[Pippen]

Ich verstehe nicht, was das miteinander zu tun hat.

Mein Beispiel der Urne mit unendlich vielen Kugeln und unendlich vielen Zügen sollte ein unendlich großes und altes U. simulieren...die Frage bei dieser Urne wäre: wird jede Kugel einmal gezogen? Ein unendlich großes, aber nur endlich altes Universum würde ich als Urne mit unendlich vielen Kugeln und nur x-Zügen modellieren. Da wäre klar, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Kugel k immer gegen 0 laufen würde. Wieso kommt man dann auf die Idee, dass in einem zeitlich endlich, aber räumlich unendlichen Universum - analog dem Infinite-Monkey-Theorem - höchstwahrscheinlich jeder erdenkliche Zustand auftreten wird?

[tomS]

OK, bleiben wir bei der Urne mit endlich oder unendlich vielen Kugeln, die mit 1,2,3... durchnumeriert sind. Nimm' an, dass die Kugeln unterschiedliche Größe haben und dass die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel zu ziehen, irgendwie mit der Größe der Kugel zusammenhängt.

Z.B. könnten unendlich viele Kugeln eine Poisson-verteilte Größe und damit entsprechend eine Poisson-verteilte Wahrscheinlichkeit haben. Warum jetzt physikalisch gerade die Poisson-Verteilung realisiert sein soll, ist eine andere Frage; das kann die Matghematik so nicht beantworten, dazu bräuchte man ein konkretes physikalisches Modell, das eben eine derartige Verteilung voraussagt (Poisson ist nur ein Beispiel; andere Verteilungen wären ebenfalls denkbar).

http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung

Was auch denkbar wäre, dass unendlich viele Kugeln eine identische Größe hätten. In diesem Fall ist es aber nicht möglich, der Größe eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen; das ist mathematisch einfach nicht definierbar!! Für endlich viele Kugel 1,2,...,N, also n ϵ [1,N] bekommst du richtigerweise die Wahrscheinlichkeiten p[down]n[/down] = 1/N. Für unendlich viele Kugel n ϵ [1,∞[ wäre die Wahrscheinlichkeiten p[down]n[/down] = 0; und daraus lässt sich kein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß ableiten.

D.h. dass die triviale Annahme der Gleichverteilung mathematisch schlichtweg nicht existiert, und dass man demnach daraus auch nichts folgern kann. Eine physikalische Theorie müsste also eine andere Verteilung vorhersagen oder man bräuchte ein physikalisches Argument für eine bestimmte Verteilung. Solange so ein Argument nicht vorliegt, kann man ebenfalls nichts aussagen. Dieses sogenannte "Maßproblem" tritt im Umfeld von Parallel- und Multiversen immer wieder auf und ist heute grundsätzlich nicht gelöst. Speziell für die Gleichverteilung ist es mathematisch beweisbar unlösbar. Und daher halte ich Spekulationen, die aus dieser Ecke stammen zwar grundsätzlich für interessant aber teilweise auch für unredlich. Insbs. muss man in diesem Zusammenhang immer auf die o.g. ungelösten Probleme hinweisen.

[Pippen]

Was auch denkbar wäre, dass unendlich viele Kugeln eine identische Größe hätten. In diesem Fall ist es aber nicht möglich, der Größe eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen; das ist mathematisch einfach nicht definierbar!! Für endlich viele Kugel 1,2,...,N, also n ϵ [1,N] bekommst du richtigerweise die Wahrscheinlichkeiten p[down]n[/down] = 1/N. Für unendlich viele Kugel n ϵ [1,∞[ wäre die Wahrscheinlichkeiten p[down]n[/down] = 0; und daraus lässt sich kein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß ableiten.

Genau das leuchtet mir überhaupt nicht ein. Bei unendlich vielen Kugeln wäre die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Kugel x pro Zug: P(x)=1/n. Da in n jede beliebige Zahl einsetzbar wäre, kann man sich 1/n als Folge denken, die bekanntlich gegen 0 läuft, also P(x)=0. Nun schauen wir uns an, was hinsichtlich x passiert, wenn wir aus der Urne mit unendlich vielen Kugeln unendlich oft ziehen. Dann gilt: P(x)= 1/n * 1/n * .... (wobei ich jetzt gar nicht weiß, ob man da die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addiert oder multipliziert). Da wir bereits 1/n = 0 "gesetzt" haben wird schnell klar, dass auch in diesem Fall P(x)=0 sein muss, denn 0*0*0*... ist immer 0. Das passt doch alles (auch intuitiv), finde ich. Auf unser unendliches Universum übertragen würde gelten: Kein konkretes Ereignis wäre wahrscheinlich, d.h. prognostizierbar, egal wie alt es wäre. Damit könnte man eben nicht mehr sagen, dass in einem unendlichen Universum auch irgendwo wahrscheinlich eine Zweierde existieren wird, in der ich rote Haare habe. Genau das wird aber immer wieder behauptet. Wo mache ich da einen Denkfehler oder machen ihn die anderen oder haben wir beide Recht?

[tomS]

Nein, das passt nicht.

Für endliches N wäre alles OK, die Wsk. wäre 1/N, die Summe über alle N wäre N * 1/N = 1, so wie das für Wsks. sein muss.

Für unendliches N muss man zuerst den Grenzübergang an gegen ∞ tatsächlich durchführen; damit ist die Wsk. 0; und damit wäre die Summe über alle N eben ∞ * 0, und das ist undefiniert. So würden Wahrscheinlichkeitsmaße definiert werden, aber wenn die Summe über alle N nicht eindeutig wieder 1 ergibt, dann ist das eben kein Wahrscheinlichkeitsmaß, es existiert kein Wahrscheinlichkeitsbegriff, du hast letztlich diese Eigenschaften zerstört.

Nimm ein Flugzeug, montiere die Flügel ab und schraube Kufen dran. Dann darfst du das Ding nicht mehr Flugzeug nennen, weil es keines mehr ist (die Mathematiker sind sehr streng, eine Gleichverteilung auf einer unendlichen Menge ist nicht definiert)

[seeker]

Der Punkt ist doch:
Wenn es nicht definiert ist, dann ist es sozusagen frei: Es kann alles sein.
Das heißt, dass du zwar keine konkreten Wahrscheinlichkeiten angeben kannst aber auf der anderen Seite auch keine ausschließen kannst.
Wenn du nichts ausschließen kannst, dann ist alles möglich... und das gibt dann Freiheiten für allerlei mögliche Annahmen bzw. Spekulationen.

Grüße
seeker

[breaker]

Der Punkt ist aber, dass eine Gleichverteilung ausgeschlossen IST.

Es ist doch ganz einfach: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben, denn die Wahrscheinlichkeit, dass IRGENDWAS passiert, muss 1 sein. Das ist sicherlich eine notwendige Bedingung an eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, denn offenbar passiert andauernd irgendetwas.
Wenn alle Wahrscheinlichkeiten 0 sind, ist das aber nicht der Fall.

[tomS]

Der Punkt ist doch:
Wenn es nicht definiert ist, dann ist es sozusagen frei: Es kann alles sein.
Das heißt, dass du zwar keine konkreten Wahrscheinlichkeiten angeben kannst aber auf der anderen Seite auch keine ausschließen kannst.

Es kann nicht alles sein. Und ich kann und muss etwas ausschließen: die Gleichverteilung.

Und ja, man kann Spekulieren, aber das ist eben keine Wissenschaft.

[seeker]

Wenn ich dieser Argumentation folge, dann komme ich zu dem Schluss, dass es unmöglich ist aus der Menge N zufällig eine Zahl zu ziehen.
Sehe ich das richtig?

Im Übrigen ist es doch für das Problem von Pippen zweitrangig ob das eine Gleichverteilung ist oder irgendeine andere Verteilung oder ob die Verteilung selbst zufällig ist, also unbestimmt...

Grüße
seeker

[breaker]

Naja, wenn man eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung nimmt, als die Gleichverteilung, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Einzelereignis nicht mehr Null. Das löst dann schon einen Teil des Problems.
Allerdings ergibt sich dadurch eben das Problem, dass man nicht weiß, welche Verteilung man nehmen soll.

[tomS]

Wenn ich dieser Argumentation folge, dann komme ich zu dem Schluss, dass es unmöglich ist aus der Menge N zufällig eine Zahl zu ziehen.

..., dass es unmöglich ist aus der Menge N zufällig gleichverteilt eine Zahl zu ziehen.

Im Übrigen ist es doch für das Problem von Pippen zweitrangig ob das eine Gleichverteilung ist oder irgendeine andere Verteilung ...

entweder gibt es eine "natürliche" Wahl der Verteilung, oder eine Theorie, aus der die Verteilung folgt; andernfalls wäre es Willkür

[seeker]

Ja. Irgendeine Verteilung muss existieren - und sei sie selbst unbestimmt.
Wäre es anders, also könnte man grundsätzlich aus N nicht zufällig eine Zahl ziehen, dann ergäbe sich nämlich die Schlussfolgerung, dass das Universum entweder nicht unendlich sein kann, da wir ja wissen, dass mit uns eine Möglichkeit gewählt wurde oder dass unsere verwirklichte Möglichkeit nicht zufällig sein kann.

Dass das alles Spekulation ist, auf was Pippen da hinaus will ist eh klar und habe ich auch von Anfang an so gesagt.

Es ist ein Unterschied, wenn ich sage "etwas ist nicht definierbar bzw. unbestimmt" oder wenn ich sage "etwas existiert nicht".
"Unbestimmt" bedeutet, so wie ich es verstehe: Es ist nicht bestimmbar, also: Es ist kann nichts ausgeschlossen werden.
Und hier: Es ist ausgeschlossen eine Gleichverteilung zu definieren. Damit ist aber nicht ausgeschlossen, dass ich, wenn ich tatsächlich unendlich oft zöge, doch jede Zahl genau 1x treffen würde. Eine Wahrscheinlichkeitsaussage determiniert eine tatsächliche Wahl ja nur dann, wenn das Wahrscheinlichkeitsmaß für ein bestimmtes einzelnes Ergebnis genau 1 oder 0 ist - und zwar definierbar.
Wenn wir hier aber zu dem Wahrscheinlichkeitsmaß exakt 0 für jede Zahl kommen, dann kann etwas mit unserem Vorgehen nicht stimmen, denn dann kommen wir in die besagte paradoxe Situation.

Grüße
seeker

[Pippen]

Es ist doch ganz einfach: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben, denn die Wahrscheinlichkeit, dass IRGENDWAS passiert, muss 1 sein. Das ist sicherlich eine notwendige Bedingung an eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, denn offenbar passiert andauernd irgendetwas.
Wenn alle Wahrscheinlichkeiten 0 sind, ist das aber nicht der Fall.

Aha, stimmt. Es stünde ja aufgrund Kolmogorov's Axiomen fest, dass die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu Kugelziehung von zB 666 gleich 1- P(666) wäre. Da P(666) = 1/n = 0 müsste irgendeine Kugel außer 666 sicher gezogen werden. Das kann aber nicht sein, denn jede Kugel außer 666 hat ihrerseits die Ziehungswahrscheinlichkeit 0 und zusammen ergibt das eben nicht 1. Gut. Das hieße aber, dass bei jedem Zufallsexperiment mit unendlich großer Ereignismenge keine Wahrscheinlichkeitstheorie definiert wäre, oder? Wieso gibt's dann das Infinite-Monkey-Theorem und dieses Borel-Cantelli-Lemma?

Mir fällt dazu schonmal ein, 1/n nicht Null sein zu lassen, sondern eine infinitisemale Zahl (in diesem Zahlenbereich wäre zB 0,999... kleiner als 1). Dann müsste man die Wahrscheinlichkeiten berechnen können, oder?

Zweiter Punkt: Wenn da die Wahrscheinlichkeit versagt, wieso lese ich dann immer, dass in einem unendlichen Universum alle möglichen Zwillingserden und -personen wahrscheinlich sind. Ist das Pseudowissenschaft oder woher nehmen die solche Aussagen?

[breaker]

Mir fällt dazu schonmal ein, 1/n nicht Null sein zu lassen, sondern eine infinitisemale Zahl...

Es gibt in der Mathematik keine "infinitesimalen Zahlen".

[Pippen]

Mir fällt dazu schonmal ein, 1/n nicht Null sein zu lassen, sondern eine infinitisemale Zahl...

Es gibt in der Mathematik keine "infinitesimalen Zahlen".

http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl

[tomS]

Das hieße aber, dass bei jedem Zufallsexperiment mit unendlich großer Ereignismenge keine Wahrscheinlichkeitstheorie definiert wäre, oder? Wieso gibt's dann das Infinite-Monkey-Theorem und dieses Borel-Cantelli-Lemma?

Es bedeutet lediglich, dass bei einem Zufallsexperiment mit unendlich großer Ereignismenge keine Wahrscheinlichkeitstheorie mit Gleichverteilung definiert ist.

Die Argumentation bzgl. Multiversen, Infinite Monkey etc. lautet ja etwas anders: gegeben sei eine (möglicherweise unendliche) Ergebnismenge M und daraus ein spezifisches Ergebnis E mit Wahrscheinlichkeit p(E) > 0. E könnte z.B. das Auftreten der Erde im Universum oder das Erscheinen von Hamlet sein. Beachte, dass wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(E) gar nicht kennen müssen, und dass wir insbs. keine Gleichverteilung annehmen. Alles was wir wissen ist, dass die Wahrscheinlichkeit p(E) für das spezielle Ereignis E nicht Null ist. Damit schließen wir, dass bei unendlich häufigem Ziehen das Ergebnis E unendlich oft auftritt.

Ach ja, es ist nicht gerade Pseudowissenschaft, aber es ist auch nicht gerade sehr exakte Wissenschaft ;-)

[seeker]

Ich bin gerade etwas verwirrt...

Wenn ich so argumentiere:
1. Ich habe eine Menge M = {1} und ziehe 1x, dann ist die Wahrscheinlichkeit p die 1 zu ziehen p=1
2. M={1,2}, ich ziehe 2x -> P(ges.) = 1/2 + 1/2 = 2x (1/2) = 1
3. M hat n Elemente, ich ziehe n-mal: P(ges.) = (1/n + 1/n + ... +1/n) = n(1/n)

Grenzwertbetrachtung:
lim (n->unendl.) [n(1/n)] = lim (n->unendl.) [1] = 1

Also muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten stets 1 ergeben, auch bei der unendlichen Menge N.
Auf der anderen Seite haben wir dort natürlich (wie schon gezeigt) die Aussage, dass die Einzelwahrscheinlichkeit bei einer einzelnen Ziehung eine bestimmte Zahl zu ziehen p=0 ist.

Weiterhin gilt -wie ich glaube- dieselbe Aussage auch für jede andere Verteilung als die Gleichverteilung, denn eine Ungleichverteilung würde z.B. bedeuten, dass ich eine bestimmte Zahl 2x ziehen muss. Aber auch diese Wahrscheinlichkeit ist Null, weil 0x0=0, usw.

Daraus würde ich jetzt schließen, dass überhaupt keine Verteilung widerspruchsfrei definiert werden kann.

Frage:
Muss man dadurch nicht tatsächlich zu dem Schluss kommen, dass es nicht möglich ist aus N zufällig eine Zahl zu wählen?
Hieße das dann nicht, dass wir an dem Punkt auf eine Unstimmigkeit gestoßen sind, die evtl. daher kommt, wie man unendliche Mengen definiert (aktual) bzw. dass man sie überhaupt definiert?

Grüße
seeker

[tomS]

Grenzwertbetrachtung:
lim (n->unendl.) [n(1/n)] = lim (n->unendl.) [1] = 1

Also muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten stets 1 ergeben, auch bei der unendlichen Menge

Das ist nicht zulässig.

Man muss zunächst die Ereignismenge festlegen und anschließend jedem Ereignis E eine Wahrscheinlichkeit p(E) zuweisen. Die Ergebnismenge bleibt daher unverändert, d.h. du darfst dein n in {1,...,n} nicht ändern.

[Pippen]

Die Argumentation bzgl. Multiversen, Infinite Monkey etc. lautet ja etwas anders: gegeben sei eine (möglicherweise unendliche) Ergebnismenge M und daraus ein spezifisches Ergebnis E mit Wahrscheinlichkeit p(E) > 0. E könnte z.B. das Auftreten der Erde im Universum oder das Erscheinen von Hamlet sein. Beachte, dass wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(E) gar nicht kennen müssen, und dass wir insbs. keine Gleichverteilung annehmen. Alles was wir wissen ist, dass die Wahrscheinlichkeit p(E) für das spezielle Ereignis E nicht Null ist. Damit schließen wir, dass bei unendlich häufigem Ziehen das Ergebnis E unendlich oft auftritt.

Nun, dann sagen wir halt: Wir haben eine Urne mit (möglicherweise unendlich) vielen Kugeln. Wir wissen, dass die Kugel 1 drin ist und deshalb wüßten wir, dass P(1) > 0. Damit wüßten wir, dass bei unendlich vielem Ziehen gilt: P(1) + P(1) +... und das ist irgendwann 1 und damit würde die Kugel 1 irgendwann sicher gezogen. Willst du sagen, dass man durch so eine "platte" Umformulierung auf einmal Wahrscheinlichkeiten berechnen kann und dort dann eine Kugel x sicher gezogen würde? Das kann ich nicht glauben, da müsste man doch zumindest vorher sicherstellen, dass jedenfalls nur endlich viele Kugeln in der Urne sind, oder?

Aber spielen wir es doch auch mal für das Universum duch: Es möge eine endliche Größe x haben und wir mögen herausfinden, dass es darin x^Fantastillionen (eine große aber endliche Zahl) Zustandsmöglichkeiten gäbe, u.a. den Zustand: "Pippen ist auf einer exakten Erdkopie inkl. Solarsystem genau der Pippen wie hier, mit einem Unterschied: er hat rote Haare". Weiterhin nehmen wir an, dass im Universum pausenlos etwas los ist, d.h. Zustände erschaffen oder zerstört werden. Dann könnten wir also folgern, dass dieser Zustand in unendlich viel Zeit unendlich oft vorkommen müßte. In einem endlichen Universum passiert also in unendlicher Zeit alles Erdenkliche mind. einmal, in einem unendlichen U. können wir nicht sagen, was in unendlicher Zeit passiert. Habe ich das richtig verstanden? Dann meinen die also mit "unendliches Universum" vor allem ein zeitlich unendliches Universum....

[Skeltek]

Zufall: Unmöglichkeit der Voraussage eines von vielen möglichen Ereignisses mit absoluter Sicherheit.
Voraussetzungen:
-Ereignisse sind möglich, was einschließt, das der betrachtete Ursprungsaufbau existiert.
-Also die Initialbedingungen existieren und der Versuchsaufbau in irgendeinem Verhältniss zum Beobachter steht.
-Das Verhältniss ist nicht soweit determinierbar, als es für eine sichere Vorausberechnung des späteren Zufallsereignisses ausreichen würde.
-Oder die Initialbedingungen sind nur zu einem bestimmten Zeitpunkt vollständig bekannt, aber nicht schneller berechenbar, als der Prozess vonstatten läuft.

Ergebniss:
Der Versuchsaufbau muss möglich sein und existent.
Existente Dinge sind stehen zum Betrachter in einem endlichen Verhältniss sei es über Distanz, Größe und Wirkung.
Endliche Distanz und Ausdehnung an sich nehmen bereits Einfluss darauf, ob mit endlichem Aufwand in endlicher Zeit das "Würfeln" eines Ereignisses durch den Betrachter möglich ist.
Das Ergebniss wird "ausgewählt" durch äußere existente Umstände oder den Experimentator, auch wenn er dadurch das Ergebniss nicht bewusst beeinflussen kann.
Das Ergebniss herbeizuführen oder "auszuwählen" muss einen endlichen(nicht unendlichen) Aufwand benötigen, um nicht unmöglich zu sein.

[tomS]

@Pippen: Nein, wir können die Wahrscheinlichkeit weiterhin nicht berechnen, wir nehmen nur an, dass sie größer Null ist. Ich versuche das mal exakt zu modellieren:

Nehmen wir eine Urne mit (endlich oder unendlich vielen) Planetentypen. Die Wahrscheinlichkeit, den Typ "Erde" zu ziehen sei p(E) > 0. Alle anderen Typen "Mars", "Venus", ... sind in der Urne vorhanden, jedoch irrelevant. Der Kosmos hat im Zuge seiner Geschichte Planeten hervorgebracht; jeder Planet entspricht einem Ziehen aus der Urne. Da wir wissen, dass die Erde existiert, ist die Annahme p(E) > 0 offensichtlich gerechtfertigt. Nun ziehen wir n mal aus der Urne und erwarten für das Auftreten des Typs "Erde" (= die Anzahl erdartiger Planeten) die Häufigkeit h(E) = n * p(E). Offensichtlich wird h(E) unendlich, wenn n unendlich wird. Dies ist die Idee (ob n wg. zeitlicher oder räumlicher Unendlichkeit selbst unendlich wird, ist dabei für die Stochastik zunächst egal).

Bitte unterscheide zwischen den Planeten selbst und den Typen.

Der Knackpunkt liegt in der Annahme unendlich vieler Plantentypen und des unendlich häufigen Ziehens. Um p(E) > 0 annehmen zu dürfen (nur dann funktioniert das obige Argument) darf keine Gleichverteilung vorliegen. Im Falle der Gleichverteilung für unendlich viele Typen in der Urne wäre p(i) = 0 für jeden Typ i; das ist aber keine zulässige Wahrscheinlichkeitsverteilung, und das Argument kollabiert. Um p(E) > 0 retten zu können, müssen wir uns von der Gleichverteilung verabschieden, also eine andere annehmen. Dies ist jedoch nur gerechtfertigt, wenn wir ein spezifisches Modell haben, das diese spezielle Verteilung vorhersagt. Solange wir das Model nicht haben - und für Planetentypen haben wir kein Modell - bleibt das alles spekulativ.

[seeker]

OK, einverstanden.

Mich würde aber immer noch sehr interessieren, ob es aus Sicht des mathematischen Szenarios überhaupt möglich ist aus N zufällig eine Zahl zu wählen?
Ist das mathematisch zu rechtfertigen? Falls ja, unter welchen Voraussetzungen? Oder bleibt diese Frage einfach unentscheidbar?


Vielleicht hilft es weiter, wenn wir das Gedankenexperiment (mit der Urne und den Kugeln darin) transformieren?

Ich biete ein verändertes, aber -wie ich glaube- äquivalentes Szenario an:

Ich nehme einen Würfel mit unendlich vielen Seiten und würfle.
So ein Objekt ist eine Kugel.
D.h.: Ich zeichne auf der Oberfläche einer Kugel unendlich viele Punkte ein und bezeichne diese so, dass ich alle Zahlen von N nacheinander einzeichnen kann, bei der 1 angefangen.
Nun würfle ich indem ich die Kugel unbesehen kompliziert schüttle und dann fallen lasse und schaue nach dem Wurf nach, welche Zahl exakt oben zum Liegen kommt.
Diese Zahl soll mein Würfelergebnis sein.

Wenn wir uns darauf einigen, dass eine exakte Kugel auf einer exakt flachen Ebene irgendwann zum Stehen kommt, dann muss nach dem Wurf eine Zahl oben liegen: Sie existiert also!
Wo es schwieriger zu werden scheint: Kann ich diesen Punkt mit dieser Zahl überhaupt identifizieren, wenn er doch in beliebig kleinen Abständen von anderen Punkten umgeben ist? Muss ich vielleicht meine Punkte in einem speziellen Muster nummerieren? Oder hilft alles nichts und ich kann die Zahl ganz oben nicht eindeutig bestimmen?

Grüße
seeker