Unendliches Universum & Stochastik

[Job]

Es ist nicht so, dass bei einer angenommenen Gleichverteilung keine bestimmte Zahl gezogen werden könnte, sondern, dass wir dafür keine Wahrscheinlichkeit angeben können.
Die eigentliche Frage ist nun, ob der Umstand, dass wir keine Wahrscheinlichkeit angeben können, beweist dass keine Gleichverteilung vorliegen kann?
Ich denke nicht, denn es ist ja dennoch so, dass trotzdem irgendeine Zahl gezogen werden kann - und zwar mit der Wahrscheinlichkeit 1.

Das verunsichernde bei diesem Beispiel ist, dass wir (ich auch) intuitiv und durchaus auch mit guten Argumenten davon ausgehen, dass die "Wahrscheinlichkeit", eine bestimmte Zahl zu ziehen, 0 ist. Leider können wir diese Aussage aber nicht mathematisch sauber formulieren. Es ist nicht möglich, einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren, der als Ereignisse (messbare Mengen) die einzelnen Zahlen enthält und ein Wahrscheinlichkeitsmaß, dass diesen eine Wahrscheinlichkeit 0 zuweist. Die Axiome verbieten das.

Erstaunlicherweise geht dies aber, wenn wir überabzählbare Ergebnismengen haben. Auf dem Invervall von 0 - 1 der reellen Zahlen zum Beispiel können wir einen W-Raum definieren, der einer Gleichverteilung entspricht.

Dieser sieht so aus:

1. Die Ergebnismenge O ist das Intervall von 0 bis 1
2. Die Ereignismenge S ist eine borelsche Sigma-Algebra
3. Das Wahrscheinlichkeitsmaß ist das Lebesguemaß

Das hört sich erstmal ziemlich kompliziert an, ist aber in diesem Fall ganz einfach. Die borelsche
Sigma-Algebra ist so definiert, dass sie die kleinste Sigma-Algebra ist, die alle offenen Mengen eines topologischen Raumes enthält. In unserem Beispiel sind das die offenen Teilintervalle. Der Ereignisraum S enthält dann zum Beispiel alle offenen, halb offenen, geschlossenen Intervalle, aber auch jede einzelne reelle Zahl. Das Lebesguemaß ist in diesem Fall eine Verallgemeinerung des Riemann Intergrals. Dieses Verfahren, einen Ereignisraum S über topologische Eigenschaften der Ergebnismenge O zu definieren, ist für viele überabzählbare Mengen sehr weit verbreitet.

Für unseren Fall ergibt sich dann folgendes:

1. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimme reelle Zahl x innerhalb des Intervall von 0 bis 1 zu "ziehen" ist für alle x gleich 0. Also eigentlich genau das, was wir im diskreten Fall auch vermuten.
2. Die Wahrscheinlichkeit eines Teilintervalls ist einfach die Länge des Intervalls. Dies ist intuitiv mit einer Gleichverteilung identisch
3. Die Wahrscheinlichkeit eine rationale Zahl zu ziehen ist 0.

Übrigens ist auch die Cantor Menge nach Konstruktion eine Borelmenge. Sie ist überabzählbar und die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl aus der Cantormenge zu "ziehen" ist in unserem Fall 0!

Wenn es bei der Ziehung also um ein natürliches Ereignis gehen soll (und das ist hier so), dann versagt sozusagen nicht die Natur, sondern unsere mathematische Beschreibung.

Ja, so kann man das sehen, wobei das "Versagen" durchaus seinen Grund hat.

Die einzige andere mögliche logische Schlussfolgerung wäre, dass dieses Szenario kein natürliches Ereignis sein kann, mit den schon beschriebenen Folgen.

Nein, das könnte man aus meiner Sicht nicht daraus schliessen.

Keine "völlige Exaktheit" würde aber immer noch bedeuten, dass unter der Voraussetzung eines unendlich ausgedehnten, isotropen und homogenen Universums irgendwo jemand existieren muss, der auf einen genau gleich aussehenden nächtlichen Sternenhimmel blickt, auf einer praktisch gleich aussehenden Erde lebt und sich von mir vielleicht nur durch ein einziges zusätzliches Atom unterscheidet oder auch nur in den Quantenzuständen der Materieteilchen, aus der er besteht - und das ist auch keine Spekulation, sondern die logisch zwingende Schlussfolgerung aus den gegebenen Prämissen.
Und auch diese schwächere Schlussfolgerung (anstatt der stärkeren Annahme einer völligen Gleichheit) ist doch auch schon ein dicker Hund?

Nein, dass kann man aus meiner Sicht nicht so sehen. Wenn wir nicht wissen, wie wir den W-Raum definieren können, können wir auch keinerlei mathematischen Schlussfolgerungen ziehen. Und solange wir so gut wie nichts über die Art der Unendlichkeit wissen und auch nicht in der Lage sind, das Problem mathematisch exakt zu formulieren, können wir im Grunde nur spekulieren. Dies kann man auf zwei Arten tun. "Wilde" Spekulation: Man behauptet einfach irgendetwas. " oder fundierte Spekulationen: Man postuliert zum Beispiel bestimmte Eigenschaften wie : Das Universum ist lokal endlich, aber insgesamt unendlich, etc. und versucht dann ein Modell daraus zu machen, dass dann auch gesicherte Schlussfolgerungen gewährleistet. Das ist legitim und auch sinnvoll, um ein Gefühl für die verschiedenen Möglichkeiten zu bekommen. Tom hat dazu ein Beispiel gebracht.

Die Argumentation bzgl. Multiversen, Infinite Monkey etc. lautet ja etwas anders: gegeben sei eine (möglicherweise unendliche) Ergebnismenge M und daraus ein spezifisches Ergebnis E mit Wahrscheinlichkeit p(E) > 0. E könnte z.B. das Auftreten der Erde im Universum oder das Erscheinen von Hamlet sein. Beachte, dass wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(E) gar nicht kennen müssen, und dass wir insbs. keine Gleichverteilung annehmen. Alles was wir wissen ist, dass die Wahrscheinlichkeit p(E) für das spezielle Ereignis E nicht Null ist. Damit schließen wir, dass bei unendlich häufigem Ziehen das Ergebnis E unendlich oft auftritt.

Ach ja, es ist nicht gerade Pseudowissenschaft, aber es ist auch nicht gerade sehr exakte Wissenschaft

Allerdings ist dabei das Postulat, dass P(E) > 0 halt ein Postulat. Ob dies stimmt, wissen wir nicht. Ich selbst glaube, dass P(E) = 0 ist. Wie wir in dem obigen Beispiel mit der Gleichverteilung bei den reellen Zahlen gesehen haben, schliesst dies aber nicht aus, dass wir tatsächlich existieren .

Viele Grüße
Job

[tomS]

Die Argumentation bzgl. Multiversen, Infinite Monkey etc. lautet ja etwas anders: gegeben sei eine (möglicherweise unendliche) Ergebnismenge M und daraus ein spezifisches Ergebnis E mit Wahrscheinlichkeit p(E) > 0. E könnte z.B. das Auftreten der Erde im Universum oder das Erscheinen von Hamlet sein. Beachte, dass wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(E) gar nicht kennen müssen, und dass wir insbs. keine Gleichverteilung annehmen. Alles was wir wissen ist, dass die Wahrscheinlichkeit p(E) für das spezielle Ereignis E nicht Null ist. Damit schließen wir, dass bei unendlich häufigem Ziehen das Ergebnis E unendlich oft auftritt.

Allerdings ist dabei das Postulat, dass P(E) > 0 halt ein Postulat. Ob dies stimmt, wissen wir nicht. Ich selbst glaube, dass P(E) = 0 ist. Wie wir in dem obigen Beispiel mit der Gleichverteilung bei den reellen Zahlen gesehen haben, schliesst dies aber nicht aus, dass wir tatsächlich existieren :-).

Das ist das, was mich interessiert. Ich habe p(E) > 0 nicht als Postulat gesehen, aber ich stimme dir zu, dass die Ableitung von p(E) > 0 aus der bekannten Häufigkeit h(E) > 0 nicht zwingend ableitbar ist; ich warte auf dein Beispiel ;-)

Mir fällt noch eine ziemlich unglaubliche Idee ein:

Wir wollen "Ereignisse" formalisieren. Das funktioniert recht gut im Rahmen der Quantenmechanik: Wir wissen, dass wir mittels der Bornschen Regel ein Wahrscheinlichkeitsmaß definieren können; und wir wissen sogar, dass dieses gemäß Gleason's Theorem eindeutig bestimmt ist; genauer: es existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Hilbertraum, und dieses entspricht zwingend der Bornschen Regel. Nun haben wir zwar keine QM (QFT, QG) für das gesamte Universum, aber man darf sich ja mal ehrgeizige Ziele setzen ... Nehmen wir also an, wir hätten eine qm ToE inkl. QG und könnten Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse berechnen. Der noch weitaus schwierigere Aspekt ist ja dann, ein "Ereignis" formal zu definieren, insbs. wenn es sich um "komplexe", "makroskopische" Ereignisse wie das Auftreten der Erde oder generell eines oder mehrerer erdähnlicher Planeten handelt. Nun zu meiner eigtl. Idee: können wir beweisen, dass im Rahmen der QM ausschließlich messbare Men gen auftreten? Oder können wir mathematsaich Gebilde konstruieren, für die kein Maß existiert? Und was bedeuten diese im Rahmen der QM?

Konkret: die Bornsche Regel lautet

p(E) = tr(P[down]E[/down] ρ)

E ist ein "Ereignis", P[down]E[/down] ist der Projektor auf den (i.A. mehr-dim.) Unterraum, der diesem Ereignis zugeordnet wird; ρ ist der Dichteoperator des qm Zustandes.

Im Falle eines ein-dim. Unterraumes

P[down]E[/down] = |e><e|

und eines reines Zustandes

ρ = |ψ><ψ|

folgt bekanntermaßen

p(E) = |<e|ψ>|²

Nun muss aber die zu messende Observable keineswegs einer orthogonalen Projektorsumme entsprechen; die QM lässt beliebige (geeignet normierte) Projektorsummen als Dichteoperator zu. Ich behaupte nun, dass ich eine nicht-messbare Projektorsumme kosntruieren kann, indem ich eine nicht-messbaren Teilmenge einer n-dim. Kugeloberfläche S[up]n[/up] konstruiere und dazu zu Projektorsumme bilde. Die Existenz der nicht-messbare Teilmenge folgt aus dem Banach-Tarski-Paradoxon.

Damit habe ich "verallgemeinerte quantenmechanische Ereignisse", denen ich keine Wsk. zuordnen kann. Wo liegt mein Denkfehler?

[seeker]

Keine "völlige Exaktheit" würde aber immer noch bedeuten, dass unter der Voraussetzung eines unendlich ausgedehnten, isotropen und homogenen Universums irgendwo jemand existieren muss, der auf einen genau gleich aussehenden nächtlichen Sternenhimmel blickt, auf einer praktisch gleich aussehenden Erde lebt und sich von mir vielleicht nur durch ein einziges zusätzliches Atom unterscheidet oder auch nur in den Quantenzuständen der Materieteilchen, aus der er besteht - und das ist auch keine Spekulation, sondern die logisch zwingende Schlussfolgerung aus den gegebenen Prämissen.
Und auch diese schwächere Schlussfolgerung (anstatt der stärkeren Annahme einer völligen Gleichheit) ist doch auch schon ein dicker Hund?

Nein, dass kann man aus meiner Sicht nicht so sehen. Wenn wir nicht wissen, wie wir den W-Raum definieren können, können wir auch keinerlei mathematischen Schlussfolgerungen ziehen. Und solange wir so gut wie nichts über die Art der Unendlichkeit wissen und auch nicht in der Lage sind, das Problem mathematisch exakt zu formulieren, können wir im Grunde nur spekulieren. Dies kann man auf zwei Arten tun. "Wilde" Spekulation: Man behauptet einfach irgendetwas. " oder fundierte Spekulationen: Man postuliert zum Beispiel bestimmte Eigenschaften wie : Das Universum ist lokal endlich, aber insgesamt unendlich, etc. und versucht dann ein Modell daraus zu machen, dass dann auch gesicherte Schlussfolgerungen gewährleistet. Das ist legitim und auch sinnvoll, um ein Gefühl für die verschiedenen Möglichkeiten zu bekommen. Tom hat dazu ein Beispiel gebracht.

Doch, aus meiner Sicht ist diese Schlussfolgerung immer noch unausweichlich. Jedenfalls habe ich bisher noch kein Argument gehört, das diese entkräftet.

Es gibt wie gesagt zwei Möglichkeiten das Problem in ein endliches zu überführen bzw. durch ein endliches anzunähern, wo wir auch keine mathematischen Probleme mehr haben, d.h. in diesen Fällen können wir einen W-Raum definieren:

1. Wir nehmen kein aktual unendlich großes Universum an, sondern ein hinreichend großes, aber endliches Universum an, das wir beliebig groß werden lassen.

2. Wir nehmen ein aktual großes Universum an und betrachten aber nicht einzelne Zahlen aus N sondern endlich viele Teilmengen aus N (die in Summe ganz N umfassen) und sagen dass sich alle Elemente innerhalb dieser Teilmengen umso ähnlicher werden, je feiner wir unterteilen. Wir können dabei stets ein W-Maß bezüglich N und diesen Teilmengen definieren!
Da wir beliebig fein unterteilen können (N in beliebig viele Teilmengen zerlegen), werden sich auch die Elemente in jeder dieser Teilmengen beliebig ähnlich.

In beiden Fällen ergibt sich nicht dass sich irgendein Zustand völlig exakt wiederholen muss, jedoch ergibt sich zwingend, dass sich jeder Zustand beliebig ähnlich wiederholen muss. Nochmals: Ich sehe darin keinerlei "wilde Spekulation". Ich behaupte nicht, dass es exakte Duplikate geben muss!
Im Falle eines aktual unendlichen Universums und der Frage nach exakten Duplikaten sind wir einer Meinung!

Grüße
seeker

[Pippen]

Zu Ideen bzw. Kontakten siehe (möglicherweise) hier: http://www.unc.edu/~hofweber/papers/ndj ... indler.pdf

Ich habe und den Stichworten "hyperreal" und "measure" gegoogelt.

Für mich sind nur die ersten Abschnitte verständlich. Da scheint es so, als könnte die Idee klappen, Wahrscheinlichkeiten unendlicher Ereignismengen mittels hyperreeller Zahlen (Infinitisemale) zu berechnen. Dann wäre nur noch zu klären, ob man einfach diese Zahlen in die bekannte Stochastik einsetzen muss, um dann zu rechnen: P(666|für einen Zug)= 1/n = x (hyperreelle Zahl größer 0); P(666|unendlich viele Züge) = x* unendlich = 0,9~ und dann vereinbart man, dass hyperreelle Zahlen wie x und 0,9~ doch wieder als Grenzwerte 0 und 1 gelesen und damit den Kolgomorov Axiom entsprechen. So ähnlich schwebt mir das vor^^. Dann käme nämlich als Ereignis raus, dass in einem unendlichen Universum jedes Ereignis auftreten wird.

[Job]

In beiden Fällen ergibt sich nicht dass sich irgendein Zustand völlig exakt wiederholen muss, jedoch ergibt sich zwingend, dass sich jeder Zustand beliebig ähnlich wiederholen muss. Nochmals: Ich sehe darin keinerlei "wilde Spekulation". Ich behaupte nicht, dass es exakte Duplikate geben muss!

Hallo Seeker,
ich habe mit den wilden Spekulationen nicht Dich gemeint, sondern das, was da "draussen" teilweise zum Besten gegeben wird. Leider habe ich das so unglücklich formuliert, dass Du es tatsächlich auf Dich beziehen kannst. Das tut mir sehr leid. Ich finde Dich nämlich super!

Keine "völlige Exaktheit" würde aber immer noch bedeuten, dass unter der Voraussetzung eines unendlich ausgedehnten, isotropen und homogenen Universums irgendwo jemand existieren muss, der auf einen genau gleich aussehenden nächtlichen Sternenhimmel blickt, auf einer praktisch gleich aussehenden Erde lebt und sich von mir vielleicht nur durch ein einziges zusätzliches Atom unterscheidet oder auch nur in den Quantenzuständen der Materieteilchen, aus der er besteht - und das ist auch keine Spekulation, sondern die logisch zwingende Schlussfolgerung aus den gegebenen Prämissen.

Doch, aus meiner Sicht ist diese Schlussfolgerung immer noch unausweichlich. Jedenfalls habe ich bisher noch kein Argument gehört, das diese entkräftet.

Es gibt wie gesagt zwei Möglichkeiten das Problem in ein endliches zu überführen bzw. durch ein endliches anzunähern, wo wir auch keine mathematischen Probleme mehr haben, d.h. in diesen Fällen können wir einen W-Raum definieren:

1. Wir nehmen kein aktual unendlich großes Universum an, sondern ein hinreichend großes, aber endliches Universum an, das wir beliebig groß werden lassen.

2. Wir nehmen ein aktual großes Universum an und betrachten aber nicht einzelne Zahlen aus N sondern endlich viele Teilmengen aus N (die in Summe ganz N umfassen) und sagen dass sich alle Elemente innerhalb dieser Teilmengen umso ähnlicher werden, je feiner wir unterteilen. Wir können dabei stets ein W-Maß bezüglich N und diesen Teilmengen definieren!
Da wir beliebig fein unterteilen können (N in beliebig viele Teilmengen zerlegen), werden sich auch die Elemente in jeder dieser Teilmengen beliebig ähnlich.

Was ich gemeint habe ist, dass unter den alleinigen Annahmen eines unendlichen, isotropen und homogenen Universums nicht klar ist, wie dann überhaupt etwas wie Du und ich entstehen kann. Uns fehlen glaube ich noch weitere Annahmen, um es wirklich entscheiden zu können. Ich mache dazu bei der Antwort an Tom mal einen Vorschlag, wie wir uns vielleicht der Problematik annähern können.

Viele Grüße
Job

[Job]

Der noch weitaus schwierigere Aspekt ist ja dann, ein "Ereignis" formal zu definieren, insbs. wenn es sich um "komplexe", "makroskopische" Ereignisse wie das Auftreten der Erde oder generell eines oder mehrerer erdähnlicher Planeten handelt.

Das sehe ich genauso. Und ich habe keine Idee, wie das gehen könnte.

Nun zu meiner eigtl. Idee: können wir beweisen, dass im Rahmen der QM ausschließlich messbare Men gen auftreten? Oder können wir mathematsaich Gebilde konstruieren, für die kein Maß existiert? Und was bedeuten diese im Rahmen der QM? ...

Leider kann ich Dir Deine Frage nicht beantworten, da mir dazu die notwendigen Detailkenntnisse fehlen.

es existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Hilbertraum, und dieses entspricht zwingend der Bornschen Regel.

Die Eindeutigkeit ist höchst bemerkenswert. Das könnte einer der Schlüsselsteine sein, um das generelle Problem besser einzugrenzen. Das ist aber nur ein Gefühl von mir. Mehr kann ich dazu nicht beitragen.

Das ist das, was mich interessiert. Ich habe p(E) > 0 nicht als Postulat gesehen, aber ich stimme dir zu, dass die Ableitung von p(E) > 0 aus der bekannten Häufigkeit h(E) > 0 nicht zwingend ableitbar ist; ich warte auf dein Beispiel

Leider habe ich das Beispiel noch nicht wieder finden können. Ich glaube aber auch nicht, dass es uns hier weiterhelfen würde. Soweit ich mich erinnere, war es eine Konstruktion, die nach jeder Ziehung die Anzahl und Beschaffenheit der Objekte nach einer festen Regel dynamisch verändert hat. Ich suche noch weiter, ich hoffe, ich finde es noch. Es ist auch ziemlich sicher, dass diese Art von Konstruktion nur in diskreten Fällen funktioniert.

Die Frage, wann wir etwas über P(E) > 0 oder P(E) = 0 aussagen können, hängt aus meiner Sicht mit drei Dingen zusammen:

1. Die Anzahl der Freiheitsgrade und ihre Kardinalität
2. Ein potentielles Emergenzverhalten (wie kommt E zustande?)
3. Potentielle Anfangsbedingungen

Das Ganze ist aber in seiner Allgemeinheit so beliebig, dass man nicht weiß, wo man anfangen soll. Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass wir am Beispiel von Convays "Spiel des Lebens" (endlich, unendlich) ein Gefühl dafür bekommen könnten, worauf man achten muss, was für weitere Fragen sich ergeben, und vielleicht zumindest für diesen Fall bei P(E) zu fundierten Aussagen kommen können. Es ist einfach, aber hinreichend komplex genug.

Besteht Interesse, das einmal näher zu beleuchten?

Viele Grüße
Job

[seeker]

@Job: Nee, passt schon! Dann verstehen wir jetzt auch, was jeder gemeint hat.

Was ich gemeint habe ist, dass unter den alleinigen Annahmen eines unendlichen, isotropen und homogenen Universums nicht klar ist, wie dann überhaupt etwas wie Du und ich entstehen kann. Uns fehlen glaube ich noch weitere Annahmen, um es wirklich entscheiden zu können.

Das verstehe ich und das ist eine sehr interessante Frage!
Es kann sich hier sogar eventuell herausstellen, dass man eine oder mehrere dieser Grundannahmen aufgeben oder abschwächen muss.
Mindestens die Frage nach der Endlichkeit des Universums wird ja kontrovers diskutiert.
Ich bin gespannt, ob es euch gelingt da noch etwas aus den Tiefen der Mathematik herauszufinden.

Beste Grüße
seeker

[Skeltek]

Wieso wird das "Katze tot und gleichzeitig lebendig"-Prinzip nur auf Quantenebene angewand aber es fällt den Menschen schwer dies auf den Bereich ausserhalb der Hubblesphäre zu übertragen?
Für was sich ausserhalb des sichtbaren Universums befindet gelten ähnliche Regeln:
Wozu über Existenz von Dingen außerhalb spekulieren, wenn dort praktisch alles möglich ist.
Würde sich das Universum zusammenziehen, wäre es im Gegensatz zur Quantenwelt echter Zufall was vom noch nicht sichtbaren Universum in unseren Sichtbereich tritt.
Wenn das Universum sich aber wie in unserem Fall ausdehnt statt sich zusammenzuziehen, verliert "Existenz" ab genannten mehreren Milliarden Lichtjahren Entfernung jegliche Bedeutung.
Für Schrödingers Katze(uns in diesem Fall) ist der Bereich ausserhalb der Box sowohl existent als auch nicht-existent.

Denkt ihr die Frage ob das Universum aktual unendlich ist, ist überhaupt sinnvoll? Schließlich ist es Standard, daß Existenz nur bei Dingen innerhalb des Zukunfts- bzw Vergangenheitslichtkegels definitiv Sinn macht...
"Grenzenlos" bedeutet ja ohne "Grenze", und es gibt ja nur die 3 Himmelsrichtungen in Richtung Zukunft.

[Job]

Die Frage, wann wir etwas über P(E) > 0 oder P(E) = 0 aussagen können, hängt aus meiner Sicht mit drei Dingen zusammen:

1. Die Anzahl der Freiheitsgrade und ihre Kardinalität
2. Ein potentielles Emergenzverhalten (wie kommt E zustande?)
3. Potentielle Anfangsbedingungen

Ich möchte im Folgenden kurz noch ein Beispiel bringen, was ich mit 1. gemeint habe. Es gibt glaube ich einen ganz guten Eindruck, was machbar ist.

Wir betrachten eine unendliche Fläche und teilen sie in Quadrate der Länge 1. In diesen Quadraten soll es die gleichen potenziellen Zustände geben und die Zustände der einzelnen Quadrate sollen unabhängig voneinander sein.

1. Fall: Endlich viele Zustände pro Quadrat

Wir nehmen an, das es in jedem Quadrat nur 2 mögliche Zustände (das meine ich oben mit Freiheitsgrad) gibt, die wir mit 0 und 1 bezeichnen, und die jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/2 haben. Dies ist dann vergleichbar mit einem unendlichen Münzwurf.

Der Wahrscheinlichkeitsraum hierfür ist der unendliche Produktraum aus den Basis Wahrscheinlichkeitsräumen, die aus den Ergebnissen 0 und 1 bestehen. Die Ergebnis-Menge dieses W-Raums besteht dann aus allen unendlichen Folgen, deren Glieder 0 oder 1 sind. Für diese Menge gibt es eine Bijektion auf die Cantor-Menge. Damit ist diese Ergebnismenge überabzählbar.

Jedes einzelne Ergebnis hat dann die Wahrscheinlichkeit 0. Man kann dann zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, unendlich viele Quadrate mit Zustand 1 zu haben, 1 ist. Wenn wir unter Zustand 1 die Erde verstehen, gibt es also mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich viele Erden. Das bedeutet aber nicht, dass es in Realität auch so realisiert sein muss. Es gibt ja auch die Ergebnisse, dass es in der gesamten Ebene nur endlich viele Erden gibt, allerdings ist die Wahrscheinlichkeit dafür dann 0.

2. Fall: Abzählbar viele Zustände

Für die möglichen Zustände nehmen wir nun die natürlichen Zahlen. Diesen Fall haben wir im Prinzip in diesem Thread schon behandelt. Es ergibt sich für den Fall, dass wir ein Wahrscheinlichkeitsmaß P haben, dass jeder natürlichen Zahl einen Wert > 0 zuordnet, dass wir dann zu derselben Aussage wie oben kommen. Es gibt mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich viele Erden, da P(1) > 0. Bei einer "Gleichverteilung" können wir keine Aussage machen, da wir diese nicht modellieren können.

3. Fall: Überabzählbar viele Zustände

Für die möglichen Zustände nehmen wir nun das Einheitsintervall der reellen Zahlen mit der in diesem Thread bereits beschriebenen Gleichverteilung. Dann gilt P(1) = 0. Dies bedeutet, dass wir zwar als Ergebnis in unserem Quadrat die Erde als existent haben, die Wahrscheinlichkeit, dass es sie aber woanders gibt, ist 0. Wir können dann die Aussage machen, dass es mit Wahrscheinlichkeit 1 keine weitere Erde gibt. Trotzdem gibt es als potenzielles Ergebnis auch Konstellationen mit unendlich vielen Erden, aber dann mit Wahrscheinlichkeit 0.

Wenn nun der Hilbertraum, der ein einzelnes Teilchen in der QM beschreibt bereits überabzählbar viele Zustände hat, (Tom, ich nehme an, dass das so ist), dann ist allein deswegen, die Wahrscheinlichkeit, dass es unendlich viele Erden gibt, gleich 0.

[breaker]

Für mich sind nur die ersten Abschnitte verständlich. Da scheint es so, als könnte die Idee klappen, Wahrscheinlichkeiten unendlicher Ereignismengen mittels hyperreeller Zahlen (Infinitisemale) zu berechnen. Dann wäre nur noch zu klären, ob man einfach diese Zahlen in die bekannte Stochastik einsetzen muss, um dann zu rechnen: P(666|für einen Zug)= 1/n = x (hyperreelle Zahl größer 0); P(666|unendlich viele Züge) = x* unendlich = 0,9~ und dann vereinbart man, dass hyperreelle Zahlen wie x und 0,9~ doch wieder als Grenzwerte 0 und 1 gelesen und damit den Kolgomorov Axiom entsprechen. So ähnlich schwebt mir das vor^^. Dann käme nämlich als Ereignis raus, dass in einem unendlichen Universum jedes Ereignis auftreten wird.

Ja, sowas in der Art war auch meine Idee. Aber man schein damit keine Gleichverteilung hinzubekommen. Um sicher zu gehen, müsste man aber mit jemandem reden, der sich mit unendlichen Reihen von hyperreellen Zahlen gut auskennt.

[seeker]

3. Fall: Überabzählbar viele Zustände

Für die möglichen Zustände nehmen wir nun das Einheitsintervall der reellen Zahlen mit der in diesem Thread bereits beschriebenen Gleichverteilung. Dann gilt P(1) = 0. Dies bedeutet, dass wir zwar als Ergebnis in unserem Quadrat die Erde als existent haben, die Wahrscheinlichkeit, dass es sie aber woanders gibt, ist 0. Wir können dann die Aussage machen, dass es mit Wahrscheinlichkeit 1 keine weitere Erde gibt. Trotzdem gibt es als potenzielles Ergebnis auch Konstellationen mit unendlich vielen Erden, aber dann mit Wahrscheinlichkeit 0.

Wenn nun der Hilbertraum, der ein einzelnes Teilchen in der QM beschreibt bereits überabzählbar viele Zustände hat, (Tom, ich nehme an, dass das so ist), dann ist allein deswegen, die Wahrscheinlichkeit, dass es unendlich viele Erden gibt, gleich 0.

Das verstehe ich noch nicht ganz. Ist in dem Fall die Aussage des Modells nicht die, dass es überhaupt keine Erde geben kann und dass diese Modellierung eben dadurch einen Widerspruch erzeugt (denn es gibt unsere Erde) und somit zu verwerfen ist?

Was ich auch noch nicht verstanden habe:
Du hast -glaube ich- irgendwo geschrieben, dass man auf R (im Gegensatz zu N) eine Gleichverteilung annehmen kann, die uns dennoch ein konstruierbares Wahrscheinlichkeitsmaß erlaubt.
Das fand ich interessant. Warum ist das so?

Beste Grüße
seeker

[tomS]

Wenn nun der Hilbertraum, der ein einzelnes Teilchen in der QM beschreibt bereits überabzählbar viele Zustände hat, (Tom, ich nehme an, dass das so ist), dann ist allein deswegen, die Wahrscheinlichkeit, dass es unendlich viele Erden gibt, gleich 0.

In der QM geht man von separablen Hilberträumen aus, d.h. es existiert dann eine abzählbare, dichte Teilmenge. Damit existiert auch eine abzählbare Hilbert-Basis. Und damit ist der Raum isometrisch isomorph zum Folgenraum l². D.h. die Abzählbarkeit der Basis folgt aus der Separabilität des Hilbertraums.

Die Überzählbarkeit der Zustände folgt aus der Überabzählbarkeit der n-dim. Einheitskugel S[up]n[/up] (wobei auch n gegen unendlich eingeschlossen ist; bereits die Kreislinie S[up]1[/up] ist überabzählbar).

Ich kann jedoch die Argumentation mit der Erde noch nicht ganz nachvollziehen, dann dazu müsste man die "Klasse" Erde als Projektor im Hilbertraum schreiben könenn, oder?

[Job]

Das verstehe ich noch nicht ganz. Ist in dem Fall die Aussage des Modells nicht die, dass es überhaupt keine Erde geben kann und dass diese Modellierung eben dadurch einen Widerspruch erzeugt (denn es gibt unsere Erde) und somit zu verwerfen ist?

Es gibt hier keinen Widerspruch, da eine Wahrscheinlichkeit von 0 nicht immer (bei endlichen Mengen schon) aussagt, dass das Ereignis unmöglich ist, in dem Sinne von nicht eintreten kann, sondern nur, dass es mit Wahrscheinlichkeit 0 eintritt. Beispiel: Du "ziehst" eine Zahl aus R und erhältst Pi als Ergebnis. Dann ist Pi real als Ergebnis eingetreten. Die Wahrscheinlichkeit, dieses Ergebnis zu bekommen, ist aber 0.

Was ich auch noch nicht verstanden habe:
Du hast -glaube ich- irgendwo geschrieben, dass man auf R (im Gegensatz zu N) eine Gleichverteilung annehmen kann, die uns dennoch ein konstruierbares Wahrscheinlichkeitsmaß erlaubt.
Das fand ich interessant. Warum ist das so?

Das Beispiel war dazu gedacht, zu zeigen, dass bei einer überabzählbaren Menge eine Gleichverteilung wieder machbar ist. Dies funktioniert aber nur für endliche Intervalle von R. Für gesamt R geht das genauso wenig wie für die natürlichen Zahlen.

[seeker]

Es gibt hier keinen Widerspruch, da eine Wahrscheinlichkeit von 0 nicht immer (bei endlichen Mengen schon) aussagt, dass das Ereignis unmöglich ist, in dem Sinne von nicht eintreten kann, sondern nur, dass es mit Wahrscheinlichkeit 0 eintritt.

Interessant! Das ist dann so, wie wenn ich mit meiner Kugel mit den unendlich vielen Punkten würfle: Obwohl die Wahrscheinlichkeit Null ist einen bestimmten Punkt zu treffen, so ist doch die Wahrscheinlichkeit irgendeinen Punkt zu treffen stets 1. D.h. ich treffe immer irgendeine Zahl.
Nur: Wenn ich nochmals mit derselben Kugel würfle, dann ist es völlig ausgeschlossen, dass ich nochmals dieselbe Zahl wie beim 1. Wurf treffe.
Leuchtet mir ein.

Hmm... was ist hier in unserem Szenario eine "Wahrscheinlichkeit"?

Ist es eine Aussage über unseren Grad der Gewissheit, dass unter gegebenen Voraussetzungen ein bestimmtes Ereignis eintritt; ist es also ein Maß für die Gewissheit einer unserer Vorhersagen?
Oder ist es ein Maß dafür, mit welcher Sicherheit die objektive Natur an sich (unabhängig von uns) etwas bestimmtes tut? Sind insbesondere die Wahrscheinlichkeiten 0 und 1 naturgesetzartig-kausal zu verstehen oder nicht?

Ich bin geneigt zu glauben, dass das erstere zutrifft.
Was meint ihr?

Grüße
seeker