Unendliches Universum & Stochastik

[Pippen]

Gilt in einem unendlich großen und alten Universum und unter Annahme unserer bekannten Stochastik, dass sich jedes denkbare Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 irgendwann erfüllen müsste?

Meine Rechnung ginge für ein Ereignis x von folgender Wahrscheinlichkeit P aus: P= x/unendlich, d.h. die Wahrscheinlichkeit für jedes x wäre unendlich klein. Das wäre aber nur die Wahrscheinlichkeit für x zu einem Augenblick - es gäbe ja unendlich viele Augenblicke, so dass sowas gelten müsste wie: x/unendlich + x/unendlich + ... wohin führt diese Folge?

[Skeltek]

Nicht unbedingt. Manche Ereignisse können nur eintreten, wenn sie möglich sind. z.B. muss die Vergangenheit möglich sein. Daß ein SL z.B. ein Teilchen herausschleudert gibt es z.B. womöglich nicht.
Ein Zustand ist also nur möglich, wenn seine Vergankenheit nicht unmöglich ist.
Vielleicht ist ja wirklich alles möglich, nur extrem unwahrscheinlich.

[Pippen]

Ok, dann erstmal noch abstrakter: Wir haben eine Urne mit unendlich vielen durchnummerierten Kugeln. Jemand zieht daraus unendlich oft Kugeln (und legt sie anschließend zurück, falls das eine Rolle spielt). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Kugel 666 zu ziehen?

Meine sehr bescheidenen Stochastikkenntnisse sagen: Die Wahrscheinlichkeit P(666) beträgt pro Zug: 1/unendlich bzw. 1/n. Wenden wir Grenzwertbetrachtung an, dass hieße das: P(666) = 0 (denn der limes von 1/n ist 0).Bei unendlich vielen Zügen ist die Wahrscheinlichkeit dann der Grenzwert der Folge: 1/n + 1/n + 1/n +... und der Grenzwert dieser Folge ist...hm...schwierig: Wenn ich den Grenzwert von 1/n verwende, dann wäre der Grenzwert der 1/n-Folge gleich 0, denn 0+0+0+... ergibt immer 0.

Damit hätten wir folgendes Ergebnis: In einer Urne mit unendlich vielen Kugeln und trotz unendlich vieler Züge wäre es praktisch ausgeschlossen, die Kugel 666 zu ziehen, ja mehr noch, es wäre praktisch ausgeschlossen, dass eine beliebige Kugel x gezogen würde, denn statt 666 könnte ich auch einfach den Platzhalter x für beliebige Kugeln wählen. Das widerspricht aber der Intuition, denn selbst wenn es unendlich viele Kugeln gäbe, so müsste doch das unendliche Ziehen diesen "Mangel" ausgleichen können.

Wie seht ihr das? (Es würde mir auch helfen, wenn ihr Fehler in meiner Rechnung ansprecht, da ich mathemäßig auf Realschulniveau herumkrabble)

[seeker]

Ok, dann erstmal noch abstrakter: Wir haben eine Urne mit unendlich vielen durchnummerierten Kugeln. Jemand zieht daraus unendlich oft Kugeln (und legt sie anschließend zurück, falls das eine Rolle spielt). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Kugel 666 zu ziehen?

Ich würde zunächst sagen, dass die Wahrscheinlichkeit bei einer einzigen Ziehung die Kugel mit der Zahl 666 zu ziehen exakt Null ist.
Das lässt sich so nachweisen, wie du es getan hast.
Interessanterweise gilt das aber auch für jede andere Zahl!
Daraus würde ich schlussfolgern, dass es daher unmöglich ist aus solch einer Urne überhaupt irgendeine Kugel zu ziehen, was aber widersinnig ist.
Wo ist das Problem?
Das Problem ist, dass die Urne in diesem Gedankenexperiment aktual-unendlich viele Kugeln enthält.
Daraus würde ich schlussfolgern, dass es solche Systeme in der Natur/Wirklichkeit nicht geben kann:
Natürliche Systeme, die eine aktuale Unendlichkeit an Möglichkeiten enthalten, aus der zufällig gewählt wird, sind nicht möglich!

Wo du jetzt bei deinem Gedankenexperiment nun auch noch aufpassen musst, ist, dass die Kugelanzahl in der Urne eine aktuale Unendlichkeit darstellt, der unendliche Ziehvorgang aber eine potentielle Unendlichkeit (die also zu jedem beliebigen betrachtbaren Zeitpunkt stets im endlichen operiert, noch nicht abgeschlossen ist).
Salopp: In diesem Fall "gewinnt" die aktuale Unendlichkeit der Kugelanzahl gegen die potentielle Unendlicheit des Ziehvorgangs und du wirst daher niemals sehen, dass die Kugel "666" gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit die Kugel "666" zu erwischen ist und bleibt für alle Zeit exakt Null. Hättest du schon unendlich oft gezogen (aktual-unendlich, was ich recht widersinnig finde: "Nach der Unendlichkeit"), so wäre diese Wahrscheinlichkeit unbestimmt.

Zu deiner Eingangsfrage:

Gilt in einem unendlich großen und alten Universum und unter Annahme unserer bekannten Stochastik, dass sich jedes denkbare Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 irgendwann erfüllen müsste?

Das ist unter gewissen Voraussetzungen dennoch denkbar.
Dazu reicht es u.U. sogar aus, wenn das Universum nur entweder unendlich alt ist oder unendlich ausgedehnt.
Warum?
Weil mit "Ereignis" hier etwas Lokales gemeint ist, das sich als Zustand bzw. als eine Zustandsabfolge beschreiben lässt, die aus einer endlichen Anzahl von Teilchen zusammengesetzt ist.
Da eine endliche Teilchenzahl in einem endlichen Raumvolumen und einer endlichen Zeitspanne nur eine endliche Anzahl an Zuständen annehmen kann, muss sich z.B. in einem (aktual) unendlich großen Universum ein jeder beliebiger solcher endlicher Zustand irgendwo im Raum wiederholen, sogar unendlich oft - so ist die Argumentation.

Ich persönlich halte davon aber nicht sehr viel, weil ich glaube, dass man an diesem Punkt die mathematische Beschreibung der Welt überstrapaziert: Man extrapoliert im Übermaß.
Man hat ja auch einige stillschweigende Annahmen zu treffen, damit diese Argumentation funktioniert, z.B. die, dass sich das gedachte unendliche Universum bis in die Unendlichkeit hinein nicht verändert, also tatsächlich überall genau so aussieht und funktioniert wie in unserem winzigen Ausschnitt auf der Erde, incl. Naturgesetze, usw. (Auch wenn wir den gegen die Unendlichkeit ebenso winzigen von uns beobachtbaren Ausschnitt des Universums nehmen, ändert das gar nichts: Man postuliert hier unbekümmert ins Nicht-Beobachtbare hinein.)
Ich denke man kann durchaus diese Annahme treffen, aber -und das ist wichtig- man kann sie nur im Endlichen treffen. D.h.: Man darf extrapolieren, aber man darf es nur ins Endliche hinein tun. Extrapoliert man ins Unendliche, so kommt Blödsinn dabei heraus, wie man m.E. an diesem Beispiel hier gut sehen kann.

Beste Grüße
seeker

[tomS]

Ok, dann erstmal noch abstrakter: Wir haben eine Urne mit unendlich vielen durchnummerierten Kugeln. Jemand zieht daraus unendlich oft Kugeln (und legt sie anschließend zurück, falls das eine Rolle spielt). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Kugel 666 zu ziehen?

Ich bin mir nicht sicher, ob es überhaupt mathematisch möglich ist, ein geeignetes widerspruchsfreies Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer unendlichen Menge zu definieren. Zumindest existiert sicher keine Gleichverteilung!

D.h. es ist mathematisch nicht möglich, auf den natürlichen Zahlen n = 1, 2, 3, ... eine Wahrscheinlichkeit p (1), p(2), p(3), ... so einzuführen, dass p(1) = p(2) = p(3) = ... gilt. Auch die Aussage p(n) = 0 für alle n ist sinnlos, da die Summe über alle p(n) ja wieder Eins ergeben muss.

Wenn du etwas anderen als eine Gleichverteilung möchtest, dann kannst du das sicher konstruieren, allerdings gibt es wohl keine "natürliche" Wahl. Eine Gleichverteilung kannst du jedoch nicht konstruieren, d.h. streng genommen ist die Frage sinnlos.

[seeker]

Man kann die Probleme mit der Unendlichkeit auch umgehen, indem man nur ein hinreichend großes, aber dennoch endlich ausgedehntes Universum annimmt, z.B. ein Universum, das nur eine Ausdehnung von
10^100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000[up]100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000[/up] LJ hat.
Auch in dem Fall kann man die Argumentation anwenden, dass jeder mögliche Mikrozustand nicht nur vorkommen muss, sondern mehrmals vorkommen muss.
Unter einen "Mikrozustand" würde ich in diesem Szenario vorschlagen sich z.B. den Gesamtzustand innerhalb eines Hubbleradius vorzustellen.

Wobei auch hier die schon genannte Kritik angewendet werden kann: Übermaß an Extrapolation ins Unbeobachtbare hinein.

Zusätzlich:
Ist es eigentlich tatsächlich so, dass in einem begrenzten Raumvolumen mit einer begrenzten Teilchenzahl nur eine endliche Anzahl an Zuständen vorkommen kann?
Kann man das nachweisen?

Grüße
seeker

[tomS]

Ist es eigentlich tatsächlich so, dass in einem begrenzten Raumvolumen mit einer begrenzten Teilchenzahl nur eine endliche Anzahl an Zuständen vorkommen kann?
Kann man das nachweisen?

Das kann man nicht nachweisen, weil es nicht stimmt ;-)

Bereits der Hilbertraum eines Systems mit einem einzigen Atom ist unendlich-dimensional. Dabei zählen wir die "inneren" Quantenzustände des Atoms (Wasserstoff: nlms) sowie seine "äußeren Zustände" (Schwerpunktsimpuls). Daran ändert auch ein endliches Volumen nichts.

[seeker]

Das kann man nicht nachweisen, weil es nicht stimmt

Das unterstützt meine Haltung natürlich.

Ich frage mich, ob es an dem Punkt nicht gleich wieder philosophisch wird?
Wie sieht es denn mit den Observablen aus, bei einem einzigen Atom? Gilt deine Aussage auch dort noch?
Und: Was zählt, wenn man wissen will, wie viele Zustände ein begrenztes System ("ein Teilchen im Kasten") einnehmen kann?
Was ist ein Zustand? Das, was man messen (bzw. wahrnehmen kann) oder das, was vielleicht IST (bzw. berechnet werden kann).

Viele Grüße
seeker

[positronium]

Die Hauptquantenzahl n ist e N. Das impliziert, dass es theoretisch bei jedem schwingenden System unendlich viele Zustände gibt, aber wer weiss, ob die praktisch alle eingenommen werden können? Bei kontinuierlichen Zuständen ist das doch nicht viel anders: theoretisch sind die e R und damit gibt es unendlich viele, aber praktisch... wer weiss.
Was das begrenzte Volumen betrifft: Kann man das tatsächlich so sehen, also, dass ein Zustand einem Volumen zuordenbar ist? Ich glaube, dass man dabei nicht wirklich mit einem Volumen argumentieren kann.

[seeker]

Was das begrenzte Volumen betrifft: Kann man das tatsächlich so sehen, also, dass ein Zustand einem Volumen zuordenbar ist? Ich glaube, dass man dabei nicht wirklich mit einem Volumen argumentieren kann.

Ich glaube, wenn wir die Dinge von der Entropieseite her betrachten, müsste es so sein, dass die Entropie mit der Kastengröße (dem Raumvolumen), in dem sich unser(e) Teilchen befindet, ansteigt.
Die Entropie hängt wiederum mit der Anzahl der möglichen Mikrozustände zusammen.
Wir sollten die Entropie wiederholen...
Kann uns da jemand aufklären, bevor ich jetzt Dinge evtl. durcheinanderwerfe?

Viele Grüße
seeker

[positronium]

...die Entropie mit der Kastengröße (dem Raumvolumen), in dem sich unser(e) Teilchen befindet, ansteigt.

Dadurch steigt zwar die Zahl der möglichen Zustände, die man einem Volumen (mit z.B. prozentualer Aufenthaltswahrscheinlichkeit) zuordnen kann. Aber am Zustand selbst ändert sich nichts. D.h. wenn man von einem Atom in einem Volumen spricht, würde sich m.M.n. nichts an der Entropie ändern, sondern das Verhältnis "Zahl der zur Beschreibung des Zustands nötigen Werte"/"Zahl aller möglichen Werte".
Wenn man das aber als quantenmechanischen Kasten betrachtet, würde man die Energieniveaus der Zustände verändern. Dann könnte bei gleicher Energie aus beispielsweise einem Wellenberg zwei werden. Ich weiss nicht, ob das eine Entropiezunahme ist.

[seeker]

Dadurch steigt zwar die Zahl der möglichen Zustände, die man einem Volumen (mit z.B. prozentualer Aufenthaltswahrscheinlichkeit) zuordnen kann. Aber am Zustand selbst ändert sich nichts. D.h. wenn man von einem Atom in einem Volumen spricht, würde sich m.M.n. nichts an der Entropie ändern, sondern das Verhältnis "Zahl der zur Beschreibung des Zustands nötigen Werte"/"Zahl aller möglichen Werte".

Ja. Aber begehst du da nicht einen Lapsus in deiner Argumentation? Tust du nicht so, als wäre die Entropiebeschreibung nur eine Beschreibung, wohingegen die QM aber mehr als eine Beschreibung sei, nämlich die wahre, tatsächliche Existenz des Seins?
Karl Popper würde dir sagen, dass du das nicht darfst...
Wenn ich beides als Beschreibung sehe, dann stelle ich immer noch fest, dass die Entropie in einem expandierenden, mit Teilchen gefüllten Kasten zunimmt, dass also die Anzahl der möglichen Anordnungen der Teilchen (und damit auch die Anzahl der möglichen Zustände in meiner Beschreibung) zunimmt - oder?
(Wir müssen auch die zeitliche Entwicklung des Systems in unsere Betrachtung einbeziehen.)
Bleibt also immer noch die Frage: "Was ist ein Zustand?", besser: "Was ist ein Zustand, über den wir sprechen können/dürfen?"

Die Frage, die sich auch noch stellt ist die, ob es überhaupt sinnvoll ist das quantenmechanisch zu betrachten, wenn wir auch von größeren Systemen sprechen können wollen, wie z.B. einem Planeten?

Beste Grüße
seeker

[positronium]

Tust du nicht so, als wäre die Entropiebeschreibung nur eine Beschreibung, wohingegen die QM aber mehr als eine Beschreibung sei, nämlich die wahre, tatsächliche Existenz des Seins?

Beides ist nur eine Beschreibung, aber in der QM sehe ich tatsächlich etwas, das weniger stark abstrahiert als der Entropiebegriff. Von daher muss ich Dir eingeschränkt Recht geben: eben bis darauf, dass ich die QM als "die wahre, tatsächliche Existenz des Seins" sehen würde.

Wenn ich beides als Beschreibung sehe, dann stelle ich immer noch fest, dass die Entropie in einem expandierenden, mit Teilchen gefüllten Kasten zunimmt, dass also die Anzahl der möglichen Anordnungen der Teilchen (und damit auch die Anzahl der möglichen Zustände in meiner Beschreibung) zunimmt - oder?

Die Anzahl der möglichen Zustände nimmt zu, ja. Entropie beschreibt doch aber nicht die möglichen Zustände, sondern einen konkreten Zustand.
Befindet sich in einem sonst leeren Volumen ein Elementarteilchen (x,p), und zerfällt dieses in zwei andere (x[down]1[/down],p[down]1[/down]) (x[down]2[/down],p[down]2[/down]), so erhöht sich die Entropie - aus zwei werden vier Werte.
Solange sich weder die x- noch p-Werte ändern, sollte die Entropie konstant bleiben. Ich frage mich aber gerade, ob die Entfernung zweier Teilchen Einfluss auf die Entropie hat: Habe ich ein Volumen [-2,2], und bei -1 und 1 jeweils ein unteilbares Teilchen, so läge maximale Entropie vor. Vergrössert man das Volumen auf [-4,4], dann müsste doch die Entropie sogar abnehmen, weil keine Gleichverteilung mehr vorliegt.
Ich glaube, hier spielen Definitionen eine grosse Rolle.

Bleibt also immer noch die Frage: "Was ist ein Zustand?", besser: "Was ist ein Zustand, über den wir sprechen können/dürfen?"

Darauf einzugehen habe ich mich oben schon gedrückt. Man muss wohl festlegen, im Rahmen welcher Theorie man seine Überlegungen anstellt. - Im Rahmen der tatsächlichen Natur kann man das ja leider noch nicht beantworten.

[seeker]

Hmm... du hast schon irgendwo auch Recht.
Ich würde sagen: "Die Entropie beschreibt einen Zustand, über den wir ungenaue Kenntnis haben!"
Wenn ich z.B. den Entropiewert für ein Gas in einem Behälter angebe, dann muss ich dazu nicht wissen, wo sich jedes einzelne Gasteilchen gerade befindet und wohin es sich bewegt. Ich muss nur Druck, Temperatur, Volumen und Gasart kennen.

Und die QM?
Nun, gibt uns die zunächst nicht auch nur Wahrscheinlichkeitswerte in die Hand?
Wenn ich wissen will, wo ein Teilchen gerade jetzt ist und wohin es sich bewegt dann tun sich wegen der Unschärfe gleich wieder Abgründe auf und ich muss schon wieder entscheiden, ob ich per Kopenhagen oder per VWI interpretieren will, oder..., usw.

Die Eingangsfrage -so wie ich sie verstanden habe- war doch, ob in einem genügend großen Universum alle denkbaren Zustände (auf einer gewissen, im Vergleich zum Universum kleinen Skala) realisiert sein müssen und ob nicht alle Zustände nicht sogar mehrmals vorkommen müssen?
Konkret würde dieses Szenario auch bedeuten, dass es z.B. irgendwo im Universum eine zweite Erde geben müsste, wo exakte Kopien von uns dieselbe Unterhaltung führen.

Ich würde mich an dem Punkt auf die Observablen stürzen und fragen, ob es in einem endlichen System endlich viele beobachtbare Zustände gibt oder ob es deren unendlich viele geben kann?
Als Argument dafür, dass es endlich viele sein müssen, würde ich auch die Plancklänge und Planckzeit anführen, die m.E. und u.a. dazu führen, dass ich unser Teilchen im endlichen Kasten z.B. nur an begrenzt vielen unterscheidbaren Orten vorfinden werde.

Wenn dem so ist, dann kann man an diesem Punkt das o.g. Szenario m.E. noch logisch aufrecht erhalten.
Allerdings scheitert es wie gesagt aus meiner Sicht am Übermaß an Extrapolation ins Unbeobachtbare hinein.
D.h.: Man kann diese Frage einfach nicht beantworten; man kann nicht einmal eine wirklich fundierbare Abschätzung dazu abgeben und daher sollte man das zugeben und besser dazu scheigen.

... und gewissen Aussagen von gewissen Physikern in gewissen Dokus sollte man daher mit Vorsicht begegnen!
(Aus dieser Richtung könnte Pippens Eingangsfrage möglicherweise hergekommen sein...?)

Kannst du mir aus dieser Perspektive soweit im Großen und Ganzen zustimmen oder hast du Einwände?

Beste Grüße
seeker

[tomS]

Bevor die Spekulationen hier ins Kraut schießen: http://de.wikipedia.org/wiki/Entropie_( ... enmechanik

Dort findet ihr die Definition der Entropie im Rahmen der Quantenstatistik

[positronium]

Ich würde sagen: "Die Entropie beschreibt einen Zustand, über den wir ungenaue Kenntnis haben!"

Das würde ich ein bisschen anders formulieren: ...beschreibt eine quantitative Eigenschaft eines Zustands, für dessen genaue Mikrozustände wir uns nicht interessieren.

Die Eingangsfrage -so wie ich sie verstanden habe- war doch, ob in einem genügend großen Universum alle denkbaren Zustände (auf einer gewissen, im Vergleich zum Universum kleinen Skala) realisiert sein müssen und ob nicht alle Zustände nicht sogar mehrmals vorkommen müssen?

Ja.

Ich würde mich an dem Punkt auf die Observablen stürzen und fragen, ob es in einem endlichen System endlich viele beobachtbare Zustände gibt oder ob es deren unendlich viele geben kann?

Im Rahmen der Frage nach dem mehrmaligen Vorkommen, spielt die Anzahl der möglichen Zustände meiner Ansicht nach keine Rolle. Die allermeisten Zustände sind so selten, dass man sie vernachlässigen kann. Von daher würde ich beispielsweise schon sagen, dass es mit uns nicht verwandte Lebewesen und doch mit gleicher DNA-Struktur geben könnte. Kopien unserer selbst, die jetzt gerade das gleiche machen, kann ich mir aber nicht vorstellen. Dafür müsste das Universum unendlich gross, und die Zahl der möglichen Zustände endlich sein. Das kann man glaube ich nicht annehmen.

Als Argument dafür, dass es endlich viele sein müssen, würde ich auch die Plancklänge und Planckzeit anführen, die m.E. und u.a. dazu führen, dass ich unser Teilchen im endlichen Kasten z.B. nur an begrenzt vielen unterscheidbaren Orten vorfinden werde.

Das glaube ich nicht.

[seeker]

Es ist mir nicht klar, wo die Argumentation fehlerhaft oder spekulativ ist.
Also, jetzt habe ich auf Wiki nachgeschaut...

Ich finde zunächst:

Die Entropie ist ein Maß für Unwissenheit. Als Maß für Unordnung muss man genau auf die Begrifflichkeit achten.

http://de.wikipedia.org/wiki/Entropie_% ... rmodynamik

Damit im Zusammenhang steht das Gibbssche Paradoxon:

Das Gibbssche Paradoxon ist ein Begriff aus der statistischen Mechanik, der sich auf die Mischungsentropie bezieht. Das ist der Zuwachs der Entropie, der durch die Vermischung zweier homogener, einphasiger Stoffe entsteht. Die klassische Physik sagt hier immer eine Zunahme der Entropie voraus, während die Experimente diese Mischungsentropie nur für den Fall bestätigen, dass die beiden Stoffe verschieden sind. Das Mischen zweier gleicher Stoffe (z.B. chemisch reiner Sauerstoff aus zwei Gasleitungen) lässt hingegen die Entropie ungeändert. Benannt wurde das Paradox nach seinem Entdecker Josiah Willard Gibbs, der Ende des 19. Jahrhunderts mit der klassischen statistischen Physik berechnete, um wie viel sich durch die Mischung das erreichbare Phasenraumvolumen vergrößert, woraus er die vermeintlich allgemeingültige Formel für die Mischungsentropie ableitete.

Nach der klassischen Physik ist die Herleitung durch Gibbs absolut korrekt: Jedes Atom (oder Molekül) könnte durch eine Nummer markiert werden, z. B. vor der Vermischung ungerade Nummern für die Teilchen der einen Stoffmenge und gerade für die der anderen. Nach der Vermischung würden Teilchen mit gerader und ungerader Identifikationsnummer sich beliebig verteilen können. Vertauschen zwei ihre Plätze, entsteht ein neuer (Mikro-)Zustand des Gemischs mit äußerlich gleichen Eigenschaften (Makrozustand). So ergibt sich eine erhebliche Vermehrung der möglichen (Mikro-)Zustände zu jedem Makrozustand. Das führt im Rahmen der klassischen Physik zwingend zur Entropiezunahme.

Da man diese Zunahme im Falle der Vermischung gleicher Teilchen nicht beobachtet, muss die Argumentation dahingehend geändert werden, dass beim Abzählen der möglichen Zustände das Vertauschen zweier gleicher Teilchen unzulässig ist. Diese Regel findet in der Quantenmechanik ihre tiefere Begründung: Alle gleichartigen Elementarteilchen und die daraus aufgebauten Atome bzw. Moleküle (sofern sie sich im gleichen Quantenzustand befinden), sind vollkommen identisch und damit ununterscheidbar. Selbst das gedachte Anbringen einer Nummerierung ist ein Widerspruch in sich. Moderne Formulierungen der Vielteilchenphysik kommen dementsprechend ganz ohne die Nummerierung der Teilchen (oder ihrer Koordinaten) aus. Aus diesem Grund tritt das Paradoxon in der modernen Physik nicht auf.
...
In der Quantenmechanik ist die (mögliche) Entartung von Vielteilchenzuständen durch Permutation der Teilchen als Austauschentartung bekannt. Die Beobachtung zeigt, dass es eine solche Austauschentartung in der Natur nicht gibt; das ist der Inhalt des Austauschpostulats. Gibbs war mit seinen Überlegungen zur Mischungsentropie also auf ein sehr tiefliegendes Prinzip gestoßen, welches zu den Wichtigsten der modernen Physik zählt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gibbssches_Paradoxon

Auch daraus schließe ich, dass wir uns bei dem hiesigen Problem auf die messbare Unterscheidbarkeit bzw. auf unsere Kenntnis/Unkenntnis von Systemen konzentrieren müssen.

Weiter:

Zustand (Physik):

Der Zustand eines physikalischen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt umfasst die Gesamtheit aller Informationen, die zur vollständigen Beschreibung der momentanen Eigenschaften des Systems erforderlich sind – bzw. erforderlich sind für deren wahrscheinlichkeitstheoretische Möglichkeiten, siehe Zustand (Quantenmechanik) –, sofern sie nicht schon mit den unveränderlichen Eigenschaften des Systems festliegen.
...
Der Zustand eines Systems, das der Beobachtung zugänglich ist, legt insbesondere alle beobachtbaren Eigenschaften fest und gestattet damit Voraussagen über alle Messwerte beobachtbarer physikalischer Größen. Sind diese Größen durch Gleichungen verknüpft (z. B. Zustandsgleichung in der Thermodynamik), genügt es, eine geeignete Auswahl dieser Größen anzugeben, um den Zustand eindeutig festzulegen. Im engeren Sinn wird unter Zustand daher eine Mindestzahl physikalischer Größen verstanden, aus denen sich mit Kenntnis der Systemeigenschaften alle weiteren beobachtbaren Größen berechnen lassen. (So ergibt sich im 2. Beispiel der obigen Tabelle aus der Kenntnis von Volumen und Temperatur etwa der Druck aus der Zustandsgleichung für normale trockene Luft.)

http://de.wikipedia.org/wiki/Zustand_%28Physik%29

Zustand(Quantenmechanik):

In der quantenmechanischen Behandlung [1] eines physikalischen Systems ist der momentane Zustand des Systems ein mathematisch-kompliziertes Objekt, z. B. eine sog. „Zustandsfunktion“ oder ein spezieller sogenannter „Zustandsoperator“, der für jede am System mögliche (fehlerfreie) Messung und für jedes der dabei möglichen Messergebnisse die Wahrscheinlichkeit festlegt, mit der das betreffende Messergebnis erhalten wird.

http://de.wikipedia.org/wiki/Zustand_%2 ... echanik%29

Weiter:

Quantenmechanik

In der Quantenstatistik ist ein Mikrozustand (auch reiner Zustand genannt) gegeben durch einen Vektor des Systems. Typischerweise ist dieser Raum 10[up]23[/up] dimensional und steht demnach für genauso viele Teilchen. Dies orientiert sich an der Avogadro-Konstanten, welche gleich der Zahl ist. Den zugehörigen Makrozustand beschreibt man durch einen statistischen Operator, der auch als Dichteoperator bezeichnet wird.

Dieser enthält alle Informationen über das System, die durch eine ideale Messung zugänglich sind (das ist viel weniger als bei dem reinen Zustand , dem Mikrozustand).

http://de.wikipedia.org/wiki/Entropie_% ... enmechanik

Wenn ich also wissen will, ob die Zustände von zwei Systemen identisch sind, dann sind sie das doch dann, wenn eine ideale Messung identische Messwerte und damit auch Informationen (für mich) ergäbe - oder?

Wenn ich außerdem ein Teilchen in einem kleinen Kasten habe und dort eine Ortsmessung durchführe, dann ist doch die Anzahl der dabei möglichen Messwerte kleiner als wenn sich das Teilchen in einem größeren Kasten befindet, weil meine Unkenntnis bezgl. des Teilchenortes beim größeren Kasten vor der Messung größer ist?

Gedankenexperiment:

Ich habe ein Punktteilchen in einem würfelförmigen Kasten mit einem Planck-Volumen.
Wenn ich eine perfekte Ortsmessung vornehme, kann ich nur genau einen möglichen Messwert erhalten: Ich finde das Teilchen im Kasten.
Ich verdopple das Volumen, indem ich einen weiteren Würfel nebendran setze: Entweder finde ich das Teilchen nun links im Kasten oder rechts im Kasten.
Ich verdopple das Volumen und erhalte 4 mögliche Messwerte, usw.
Ich sehe immer noch nicht, wo da eine Unendlichkeit bezüglich der Messwerte ins Spiel kommt oder wo da der Fehler ist?

Wenn die Anzahl der möglichen Messwerte, die man bei (idealer/gedachter) Vermessung eines beliebigen, endlichen (rel. zum Universum genügend kleinen) Sytems erhalten kann endlich ist, dann muss es im schon beschriebenen Szenario irgendwo im Universum (wenn es denn nur groß genug ist und homogen und isotrop, usw.) ein zweites System geben, das bei Vermessung dieselben Messwerte ergäbe.
Ich denke immer noch, dass man diese Logik nur durch die Inzweifelnahme der impliziten Grundannahmen des Szenarios angreifen kann...

Beste Grüße
seeker

[Skeltek]

Ok, dann erstmal noch abstrakter: Wir haben eine Urne mit unendlich vielen durchnummerierten Kugeln. Jemand zieht daraus unendlich oft Kugeln (und legt sie anschließend zurück, falls das eine Rolle spielt). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Kugel 666 zu ziehen?

Wie lautet denn deine nicht unbedingt deterministische Auswahlfunktion um Kugeln zu ziehen?
Was ist dein Grundzustand vor der Durchführung des Auswahllogarithmus?
Eine gleichverteilte Wahrscheinlichkeit über unendlich viele Kugeln ist nur bei einem niemals endenden Algorithmus möglich.
Formuliere deine Frage doch folgendermasen:
Wieviele arithmetische Schritte benötigt man, um von der "1" zu einer gesuchten Zahl zu kommen?
Die Anzahl der mindestens benötigten Schritte lässt eine grobe Einschätzung zu, wie wahrschienlich es ist, die unterschiedlichen Klassen von Zahlen zu erreichen; hat was mit Kardinalitäten usw zu tun.

[positronium]

Wenn ich also wissen will, ob die Zustände von zwei Systemen identisch sind, dann sind sie das doch dann, wenn eine ideale Messung identische Messwerte und damit auch Informationen (für mich) ergäbe - oder?

Ja.

Wenn ich außerdem ein Teilchen in einem kleinen Kasten habe und dort eine Ortsmessung durchführe, dann ist doch die Anzahl der dabei möglichen Messwerte kleiner als wenn sich das Teilchen in einem größeren Kasten befindet, weil meine Unkenntnis bezgl. des Teilchenortes beim größeren Kasten vor der Messung größer ist?

Ich würde ja sagen, wobei ich mir aber nicht sicher bin, ob das eine Auswirkung auf die Entropie hat. Wenn ich den Wikipedia-Artikel richtig verstehe, scheint das nicht der Fall zu sein.

Ich habe ein Punktteilchen in einem würfelförmigen Kasten mit einem Planck-Volumen.
Wenn ich eine perfekte Ortsmessung vornehme, kann ich nur genau einen möglichen Messwert erhalten: Ich finde das Teilchen im Kasten.
Ich verdopple das Volumen, indem ich einen weiteren Würfel nebendran setze: Entweder finde ich das Teilchen nun links im Kasten oder rechts im Kasten.

Ich glaube, dass man diese Ununterscheidbarkeit von Entfernungen kleiner als die Planck-Länge nicht so eng sehen sollte. Wenn ich mich nicht täusche, sollte das im Rahmen von QM und QFT ohnehin keine Rolle spielen, weil solange G nicht verwendet wird, auch keine Planck-Länge ins Spiel kommt.

Ich verdopple das Volumen und erhalte 4 mögliche Messwerte, usw.
Ich sehe immer noch nicht, wo da eine Unendlichkeit bezüglich der Messwerte ins Spiel kommt oder wo da der Fehler ist?

Man kann ja auch Energieniveaus messen. Die liegen theoretisch in N, und deshalb gibt es unendlich viele.

[tomS]

Ich bin immer noch der Meinung, dass da viel durcheinander geht:
- der Hilbertraum eines Teilchens ist bereits unendlich-dimensional (weil unendlich viele Impulse möglich sind); also ist auch der Hilbertraum einer endlichen Anzahl von Teilchen unendlich
- der Quantenzustand als Vektor in einem Hilbertraum ist nur ein Spezialfall; gemischte Zustände sind keine Vektoren
- nur auf gemischten Zuständen ist die Entropie größer Null
- die Unschärfe (und die damit verbundenen Unkenntnis) sowie die Entropie (und die damit verbundene Unkenntnis) haben NICHTS miteinander zu tun
(erstere bezeichnet die Unschärfe einer Observablen in einem exakt bekannten reinener Zustand; letztere bezeichnet die Unkenntnis über den Zustand selbst, d.h. es liegt ein gemischter Zustand vor)

[seeker]

Ich glaube, dass man diese Ununterscheidbarkeit von Entfernungen kleiner als die Planck-Länge nicht so eng sehen sollte. Wenn ich mich nicht täusche, sollte das im Rahmen von QM und QFT ohnehin keine Rolle spielen, weil solange G nicht verwendet wird, auch keine Planck-Länge ins Spiel kommt.

Hmm... Wenn ich doch aber eine reale Messung mache, dann kommt doch G ins Spiel, weil meine Messung notwendig einen Energieeintrag in das zu untersuchende System darstellt? Will ich meine Ortsmessung im Übermaß genau haben, im Bereich der Planck-Skala, dann erzeuge ich durch diesen Energieeintrag irgendwann ein SL und erhalte keine beliebig genaue Information. Im realen Leben werde ich schon viel früher an Messgrenzen stoßen.

Man kann ja auch Energieniveaus messen. Die liegen theoretisch in N, und deshalb gibt es unendlich viele.

Ok. Gutes Argument!
Aber auch hier frage ich mich gerade: Was heißt denn, dass es unendlich viele gibt? Heißt das nicht, dass die Energieniveaus irgendwann so nahe zusammenliegen, dass sie quasi ein Kontinuum bilden und dass in dem Bereich daher einzelne Niveaus ununterscheidbar werden, was wiederum zu einer nur endlichen möglichen Anzahl an Messwerten führen muss?
Real-messtechnisch wird es wohl so sein?
Und theoretisch stünden wir auf jeden Fall mal wieder vor dem Problem, dass unsere Theorie etwas vorhersagt (die Unendlichkeit), das wir messtechnisch nicht vollständig nachweisen können.

Was ist dann Sache?
Können wir nicht zumindest sagen, dass es -in den Grenzen einer machbaren Messtechnik- in einem hinreichend großen Universum (das ist nur ein Gedankenexperiment!) beliebige, hinreichend kleine Systeme mehrfach vorkommen müssen? (Das hieße dann, dass wir möglicherweise vorhandene, genügend kleine Unterschiede einfach unmöglich bemerken könnten: Für uns schienen diese Systeme gleich.)
Und was halt wirklich Sache ist, kann man (wie immer) nicht wissen?

Grüße
seeker

[positronium]

- nur auf gemischten Zuständen ist die Entropie größer Null

Bedeutet das, dass der Übergang von einem gemischten auf einen reinen Zustand unmöglich ist, also in dem Fall immer ein Restprodukt zwingend ist?

- die Unschärfe (und die damit verbundenen Unkenntnis) sowie die Entropie (und die damit verbundene Unkenntnis) haben NICHTS miteinander zu tun
(erstere bezeichnet die Unschärfe einer Observablen in einem exakt bekannten reinener Zustand; letztere bezeichnet die Unkenntnis über den Zustand selbst, d.h. es liegt ein gemischter Zustand vor)

Ja.

[positronium]

Wenn ich doch aber eine reale Messung mache, dann kommt doch G ins Spiel...

Ja, bei der realen Messung. Aber dann gilt doch die quantenmechanisch beschriebene Entropie nicht mehr. Dann braucht man wieder eine Vereinheitlichung von QM und Gravitation.

Will ich meine Ortsmessung im Übermaß genau haben, im Bereich der Planck-Skala, dann erzeuge ich durch diesen Energieeintrag irgendwann ein SL und erhalte keine beliebig genaue Information.

Das dürfte nur nach der ART richtig sein. Wie das tatsächlich ist, weiss man wohl noch nicht.

Aber auch hier frage ich mich gerade: Was heißt denn, dass es unendlich viele gibt? Heißt das nicht, dass die Energieniveaus irgendwann so nahe zusammenliegen, dass sie quasi ein Kontinuum bilden und dass in dem Bereich daher einzelne Niveaus ununterscheidbar werden, was wiederum zu einer nur endlichen möglichen Anzahl an Messwerten führen muss?
Real-messtechnisch wird es wohl so sein?

Diese Bedenken habe ich auch.

Können wir nicht zumindest sagen, dass es -in den Grenzen einer machbaren Messtechnik- in einem hinreichend großen Universum (das ist nur ein Gedankenexperiment!) beliebige, hinreichend kleine Systeme mehrfach vorkommen müssen?

Klar. Man kann ja so weit gehen, z.B. nur die Zahl der Sonnen und Planeten in einem Sonnensystem zu messen bzw. zählen.

Und was halt wirklich Sache ist, kann man (wie immer) nicht wissen?

Das ist meiner Meinung nach wahrscheinlich. Deshalb muss man festlegen, im Rahmen welcher Theorie man seine Überlegungen anstellt.

[tomS]

Bedeutet das, dass der Übergang von einem gemischten auf einen reinen Zustand unmöglich ist ...

Ja.

Formal entspricht dem reinen Zustand ein Vektor |a> im Hilbertraum, bezeichnet also einen exakt eindimensionalen Unterraum bzw. da normiert einen Einheitsvektor. Die Zeitentwicklung |a,t> = U(t) |a> entspricht einer unitären Trf. = einer verallgemeinerten Drehung diese Vektors. D.h. der Vektor |a,t> überstreicht in irgendeiner Form, abhängig von der genauen Dynamik des Systems, die Oberfläche einer unendlich-dimensionalen Einheitskugel.

Alternativ kann man diesen Zustand auch als Projektor P[down]a[/down] = |a><a| auf diesen eindimensionalen Unterraum auffassen.

Ein gemischter Zustand entspricht nun einer Summe derartiger Projektoren auf verschiedene Unterräume. D.h. es handelt sich nicht mehr um einen eindimensionalen Unterraum.

Die o.g. Zeitentwicklung des reinen Zustandes wird aber immer reine in reine Zustände überführen. Ein reiner Zustand hat die Enttropie Null (da er exakt bekannt ist und kein statistisches Gemisch vorliegt). Die Entropie eines reinen Zustanmdes bleibt also Null, auch unter Zeitentwicklung.

[positronium]

Die o.g. Zeitentwicklung des reinen Zustandes wird aber immer reine in reine Zustände überführen. Ein reiner Zustand hat die Enttropie Null (da er exakt bekannt ist und kein statistisches Gemisch vorliegt). Die Entropie eines reinen Zustanmdes bleibt also Null, auch unter Zeitentwicklung.

Bei der Zeitentwicklung, wie sie in der QM vorkommt, ist das klar, aber was, wenn es zu Teilchenumwandlungen kommt? Dann muss ja offensichtlich auch ein reiner Zustand in z.B. zwei reine Zustände (Zerfall) übergehen können. Nur der umgekehrte Weg scheint dann unmöglich, ebenso wie der Übergang vom gemischten in den reinen - darauf wollte ich eigentlich hinaus.