Variablen

[Pippen]

Wenn zB eine Variable x für jede natürliche Zahl stehen soll (ob in einer Gleichung oder PL-Formel), dann folgt daraus eigentlich, dass x nicht mehr notwendig gleich x ist, denn dann kann x einmal für 3 und zugleich für 5 stehen (Mathematik ist außerhalb von Raum und Zeit, d.h. alles passiert instantan, auch die möglichen Einsetzungen beliebiger Zahlen in x). Der Mathematiker muss also so tun, als ob x sowohl für jede natürliche Zahl steht, als auch gleichzeitig immer so, dass gilt: x=x. Das tut aber meines Wissens kein Axiom und das ist auch nicht trivial, d.h. der Variablenbegriff selbst wäre inkonsistent (s.o.), so dass die ganze Mathematik inkonsistent wäre (und zwar seit 2.500 Jahren)!

Meinungen?

[tomS]

Du konstruierst einen Widerspruch, der so gar nicht existiert. Es geht um einen Zahlenbereich M sowie eine Variable x aus M. Diese steht (wie du richtig bemerkst) zunächst für alle möglichen Werte aus M. Dann geht es natürlich immer um die Verwendung von x in einer Formel. Abstrakt wäre dies ein f(x), d.h. du nimmst ein beliebiges x aus M (oder sozusagen gleichzeitig alle x aus M) und berechnest y = f(x); der Mathematiker spricht von einer Abbildung, d.h. er denkt wirklich "für alle x aus M". Formeln f(x) können auch in Form von Gleichungen auftreten. Im Falle von f(x) = a ist gemeint "wende f(x) auf alle x aus M an, d.h. berechne obiges y, und bestimme dann die Werte x, für die y = a gilt". Insofern darfst du x in f(x) immer noch beliebig setzen, in f(x) = a jedoch nicht mehr.

Deine Gleichung x=x behauptet nun eine Trivialität. Du darfst zunächst jedes x aus M einsetzen im Sinne einer Formel, und du wirst für jedes x aus M eine wahre Aussage erhalten.

[Pippen]

Mein Einwand ist viel grundsätzlicher:

Nehmen wir ein Peano-Axiom: n € N -> n+1 € N. Die Variable n ist ein leerer Platzhalter für beliebige Zahlen der Menge IN. Woher weiß ich nun, dass ich in das 'n' des Antezedens zB die Zahl 3 und in das 'n' des Konsequens ebenfalls 3 einsetzen muss, wenn eigentlich nur gilt, dass 'n' für beliebige Zahlen steht?

Oder nehmen wir: x+2=0. x mag für beliebige ganze Zahlen stehen (freilich gibt es nur ein x, wo die Aussage wahr würde, aber das soll hier nicht interessieren). Da x für beliebige Zahlen steht und in der Mathematik weder Raum, Zeit noch Zeitabfolge gelten, könnte man für x gleichzeitig je einmal die Zahl -2 und die Zahl 2 einsetzen.

MaW: Wo steht geschrieben, dass x=x sein muss?

[seeker]

Ich verstehe das so:

n € N -> n+1 € N

...bedeutet:
Du darfst eine beliebige Zahl für n wählen.
Wenn du sie aber erst einmal gewählt hast, dann musst du auch bei ihr bleiben, solange du die Formel abarbeitest; du muss in das zweite "n" dieselbe Zahl einsetzen, wie in das erste "n". Das "n" ist also eine beliebige, jedoch immer gleiche Zahl, solange eine gewählte Zahl eingesetzt wird.
Die Formel besagt dann:
"Wenn die in n eingesetzte Zahl ein Element von N ist, dann ist auch eine andere Zahl (n+1), die um 1 größer als die gewählte Zahl ist, ebenfalls ein Element von N."

Im Grunde ist "n € N -> n+1 € N" eine abgekürzte Schreibweise, eine zusammenfassende allgemeine Aussage für ganz viele Einzel-Aussagen, nämlich die hier:

1 € N -> 1+1 € N
2 € N -> 2+1 € N
3 € N -> 3+1 € N
4 € N -> 4+1 € N
...
usw.
(Und viele mehr. Die Liste hier ergibt nur die Fälle, wo eine wahre Aussage gegeben ist/wo die Bedingung n€N erfüllt ist.)

Dass in einer Formel, in der ein-und-dieselbe Variable mehrfach vorkommt, immer dieselbe Zahl eingesetzt werden muss, sobald einmal eine Wahl getroffen wurde, müsste doch klar sein?

Beispiel:

3x+5x = a

Wenn du nun in das erste "x" eine andere Zahl einsetzen dürfen wolltest wie in das zweite "x", dann würde in so einer Mathematik ja gar nichts mehr funktionieren.
Du dürftest nicht einmal mehr so zusammenfassen:

3x+5x = a
8x = a

wegen, z.B.:
Das erste x sei 3 und das zweite x sei 10:

3*3 + 5*10 = 59
59 ist ungleich 8*3 oder 8*10

Grüße
seeker

[Skeltek]

Instantan und sequentiel widersprechen sich nicht; simultan wäre das Gegenteil von Sequentiel. Implikationen haben durchaus ihre Reihenfolge.
Außedem erstellst du in deinem Kopf ein Bild von einem bereits feststehenden Sachverhalt. Nun darf man nicht den Sachverhalt mit dem Vorgehen verwechseln, sich davon ein Bild zu machen...
Eine Variable bzw Formel für sich hat indirekt und nicht direkt etwas mit der Auswertung dieser zu tun.

[Pippen]

Instantan und sequentiel widersprechen sich nicht;

ME schon. Wenn eine Variable x für beliebige Zahlen stehen soll, dann muss man dort jederzeit auch beliebige Zahlen einsetzen können. Dann gilt nicht mehr: x=x. Denn 5=3 sind zB beliebige Zahlen für x eingesetzt. Offenbar soll x aber nicht nur für beliebige Zahlen stehen, sondern es soll auch gelten, dass sie derart für eine beliebige Zahl stehe, dass immer gilt: x=x. Es ist erschreckend, wie viel Vorwissen, Kontext, ja Hermeneutik man braucht, um das Variablenkonzept und damit ZFC als Fundament der Mathematik zu verstehen. Von wegen: formal^^. Es wundert mich, dass 'x=x' nicht axiomatisiert ist, oder ist es das (mittelbar)?

[tomS]

wenn eine Variable x für beliebige Zahlen stehen soll, dann muss man dort jederzeit auch beliebige Zahlen einsetzen können.

Du musst dich bei der Kritik an der Mathematik schon daran orientieren, was der Formalismus der Mathematik tatsächlich aussagt. In eine Formel f(x) = ... kann man zu jedem Zeitpunkt immer genau einen beliebigen Wert x=a für alle in f(x) vorkommenden x einsetzen. So ist das gedacht und so funktioniert Mathematik.

Alles andere ist abwegig.

[Skeltek]

Instantan und sequentiel widersprechen sich nicht;

ME schon.

Instantan bedeutet für mich, daß die Zeitspanne zwischen Anfang und Ende eines Ereignisses auf Null absinkt(Zusammenlegen der beiden Ereignisse ist eigentlich nicht realisierbar, aber lassen wir Details...). Trotzdem haben Anfang und Ende ihre Reihenfolge dabei nicht vertauscht.

Wenn Existenz von A davon abhängt ob B existiert,
und die Existenz von B abhängig ist, ob C existiert,
dann verursacht der "Tod" von C instantan den Tod von B, dessen Zerstörung widerum instantan die Vernichtung von A verursacht.

Trotzdem wurden C, B und A in eben genau dieser Reihenfolge eliminiert; B kann bei diesem Vorgang nicht übersprungen werden.

Die Existenz der Implikation "nicht C"=>"nicht A" ist von den anderen beiden Implikationen teilabhängig:
Ohne "nicht C=>nicht B" und "nicht B=>nicht A"
würde die Implikation "nicht C=>nicht A"
nicht zwangsläufig existieren.