1/3 = 0,333...?

[Pippen]

Kann man wasserdicht beweisen, dass der Bruch 1/3 gleich der Dezimalzahl 0,333... ist, d.h. das da unendlich viele 3-en kommen müssen? Oder anders gefragt: Woher weiss man, dass zB nicht gilt: 1/3 = 0,333x333... (x ungleich 3)? x könnte ja an der fantastillionensten Stelle kommen, die man niemals errechnen kann....

[Skeltek]

Du hast einen 1m Stab, bei dem du immer das Reststück im Verhältniss 9:1 teilst.
Nach einem Schneiden hast du 0,9 und 0,1
nach dem zweiten Schneiden hast du 0,9 und 0,09 und 0,01
nach dem dritten mal 0,9 und 0,09 und 0,009 und 0,001
Wenn du das unendlich oft so weiter machst ändert sich an der Summe nichts.
Es sind einfach nur unterschiedliche Schreibweisen für dieselbe Zahl, egal ob man sie binär, im Zehnersystem, Hexalsystem, Hecadezimalsystem oder sonstwie schreibt.

Beweis doch mal ob die Zahl 0,1 im Dreier-System dieselbe ist wie 0,3333... oder 1/3 im Zehnersystem.
oder wie wärs mit 1/10 des Dreiersystems im Dezimalsystem darzustellen? (<-das ist lustig, probiers mal; ist auch gut für deine Frage)

[Stephen]

Ein ähnliches "Problem" wäre Pi. Daran haben sich schon Supercomputer die Zähne ausgebissen.

Aus den ersten 100 Stellen Pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …
ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl

[Skeltek]

In einem ganzzahligen Ziffernsystem wirst du auch sicherlich keiner Regelmäßigkeit feststellen ^^

[Stephen]

Das stimmt zweifellos. Trotzdem stelle ich mir manchmal die Frage, ob es nicht etwas "Besseres" gibt als unser Dezimalsystem. Also etwas, was die Naturgesetze mathematisch präziser beschreiben könnte. Vielleicht wesentlich einfacher. Oder extrem komplizierter. Ist aber nichts weiter als Spekulation bzw. Spinnerei und deswegen auch nicht ganz ernst zu nehmen...

Trotzdem ein Gedankengang von mir dazu: Ein Computer arbeitet digital (Dualsystem) - also nur mit zwei Zuständen (Strom an / Strom aus). Simpler gehts einfach nicht. Trotzdem ist uns der Rechenknecht haushoch überlegen, weil er wesentlich schneller ist. Wir Menschen würden es optisch nicht erfassen können, wenn auf dem Preisschild eines Autos Tausende von Nullen und Einsen prangern würden.

Oder provokanter ausgedrückt: Schnelligkeit plus Primitivität könnten haushoch überlegener Intelligenz den Rang ablaufen...

[Skeltek]

Das stimmt zweifellos. Trotzdem stelle ich mir manchmal die Frage, ob es nicht etwas "Besseres" gibt als unser Dezimalsystem.

Gibt es, hab mir da mal lange den Kopf drüber zerbrochen. Allerdings ist es völlig nutzlos, weil die extrem schnell gewonnenen Rechenergebnisse später nach Dezimal zurückzurechnen je nach Stellenwert n der errechneten Zahl n^n viel Zeit braucht... man darf sich nicht auf z.B. 10 Ziffern einschränken sondern muss alle dadurch konstruierbaren Zwischenergebnisse als neue Ziffern ins System übernehmen ^^

[Stephen]

@Skeltek
Klingt interessant, könntest du da mal ein wenig ausführlicher werden bzgl. "deines" Zahlensystems?

[tomS]

Kann man wasserdicht beweisen, dass der Bruch 1/3 gleich der Dezimalzahl 0,333... ist, d.h. das da unendlich viele 3-en kommen müssen? Oder anders gefragt: Woher weiss man, dass zB nicht gilt: 1/3 = 0,333x333... (x ungleich 3)? x könnte ja an der fantastillionensten Stelle kommen, die man niemals errechnen kann....

Ja, das kann man beweisen. Sei 1/3 = z = 0.3333...3x3... = x + y = 0.3333...333... + 0.0000...0a0...; nun muss man beweisen, dass 3 * x = 1 ist. Das ist ein einfacher Beweis mittels Grenzwert. Demnach wäre die zweite Zahl y ungleich Null wenn a ungleich Null ist. Und damit wäre die Gleichung 3 * z = 1 für die Dezimaldarstellung von z mit nicht-verschwindendem a nicht mehr erfüllt.

[seeker]

Das einzige Problem das ich da sehe ist vielleicht, dass man 1/3 nicht ganz in Dezimalschreibweise tatsächlich aufschreiben kann: Man wird ja nie fertig mit 3er anfügen.
Das kam dir vielleicht seltsam vor, Pippen?

Grüße
seeker

[Pippen]

Das einzige Problem das ich da sehe ist vielleicht, dass man 1/3 nicht ganz in Dezimalschreibweise tatsächlich aufschreiben kann: Man wird ja nie fertig mit 3er anfügen.
Das kam dir vielleicht seltsam vor, Pippen?

Grüße
seeker

Ja. Mein Einwand als Gegenbehauptung lautet: An der x-ten Stelle des Dezimalbruches 0,333... kommt eine Zahl ungleich 3. Man könnte das für jede x-te Stelle ausrechnen bzw. für die x-te Stelle den Beweis von tomS anwenden, aber damit würde man immer "nur" beweisen, dass "0,333... an der x-ten Dezimalstelle doch eine 3 hat und haben muss". Man würde nicht beweisen, dass 0,333... an allen Stellen 3-er hat und haben muss. Ok, das kommt dann wieder auf den Grundlagenstreit heraus, ob man indirekte Beweise anerkennt.

Mal eine andere Wendung: 1/3 ist ja nur deshalb gleich 0,333..., weil das über Grenzwerte so "hingebogen" wird. Denn normalerweise kann 1/3 niemals exakt gleich 0,333...sein, denn es gäbe ja keinen abschließenden Punkt, wo man die Gleichheit feststellen könnte, denn 0,333... hätte ja unendlich viele 3-er Stellen. Ist das so halbwegs richtig? Woher weiss man dann, dass zB V2 = 1,41.... Da gibt es doch keinen Grenzwert, d.h. V2 entspricht genaugenommen keiner! Dezimalzahl, sondern wäre nur so definierbar: V2 = (x²=2). Ist sowas wohldefiniert? Wenn das wohldefiniert ist, wieso kann man dann nicht auch definieren: Pippen = (x² = ~x²). Warum wäre diese Zahl, die meinen nickname trägt, keine reelle (irrationale) Zahl?

[Skeltek]

Deshalb benutzt man das Periodizitätszeichen.
Du hast ja recht. Solange man 0,333.... nicht fertig schreibt, ist es ungleich 1/3.

Ja, sqrt(2) als Dezimalzahl aufzuschreiben bringt nur etwas, wenn man es auf ein paar Stellen gerundet betrachten will. Hier schreibt man auch nicht fertig.
Ansonsten ist die symbolische Notation immer vorzuziehen.

Man sollte sich immer klar machen, daß es einen Unterschied gibt zwischen einer Ziffer, Zahl, der Notation und dem tatsächtlichen Wert der durch die Zahl&Notation dargestellten Größe.
Eine Ziffer für sich stellt keine Größe dar, sondern bekommt nur im Kontext der auszuwertenden Notation ihre Bedeutung.
Was bitteschön ist eine 7, wenn man nicht weiß an wievielter Stelle nach dem Komma sie steht?
Welcher 13 entspricht diese 7 im Hexadezimalsystem? Die "Ziffer 7" als "Wert 7" auszuwerten ist sinnlos, wenn man die durch den Kontext der Schreibweise implizierte Auswertungsanweisung mißversteht oder gar nicht kennt.
Die 3 an siebter Stelle hat eine völlig andere Bedeutung wie die 3 an neunter Stelle. Und das tolle ist... je nach Zahlensystem verfließt die Bedeutung der Ziffern oder vermischt sich mit denen der Nachbarziffern.

Deshalb frage ich dich, welche arithmetische Bedeutung du der Differenz der Ziffer !=3 zuordnest, die an unendlichster Stelle kommt? Selbst wenn da etwas anderes käme, ist es nach wie vor erstmal eine Ziffer, die es je nach Zahlensystem(binär, dezimal, ... usw) erstmal auszuwerten gilt und der eine Bedeutung nach Wertiggkeit zuzuordnen ist.
Sprich, wenn dort eine Ziffer auftaucht, hat sich auch eine Wertstellung?

[Pippen]

Deshalb benutzt man das Periodizitätszeichen.

Sprich, wenn dort eine Ziffer auftaucht, hat sich auch eine Wertstellung?

Ja, aber was bringt das? Wie beweist ihr, dass 1/3 eine Dezimalzahl der Form: 0,3 + 0,33 + 0,333 + ... ist? ME kann man es nur für eine x-te Stelle tun - nach dem Motto: wenn die Zahl an einer Stelle keine 3 hätte, dann Widerspruch - aber dann bleibt ja wieder offen, was bei der x+1-ten Stelle los ist. Und wenn dann wieder einer kommt und sagt: "Ja, aber x ist beliebig", dann entgegne ich: "Das stimmt nicht, du bist menschlich und kannst daher nur einige oder viele, aber niemals beliebig viele Zahlen für x einsetzen". D.h. der Beweis lautet dann redlicherweise nur: Wir können keine x-Stelle finden, an der keine 3 steht. Das ist aber keine Mathematik, sondern eher sowas wie theoretische Informatik, wo Grenzen der Berechenbarkeit als echte Grenzen gesehen werden.

Es wird noch schlimmer: Woher wissen wir, dass 1/3 = 1/3 oder Pi = Pi, wenn wir diese Zahlen nicht eineindeutig konstruieren können. Vllt. ist ja dein Pi ein anderes Pi als meines, weil ich mir Pi "unendlicher" vorstelle. Bei endlichen Zahlen kann sowas nicht passieren.... Da helfen auch Cauchy oder Dedekind nicht, denn das sind letztlich alles infinite Algorithmen, die man nie in Echt durchspielen kann. Dazu übrigens ein interessantes Video eines Konstruktivisten: http://www.youtube.com/watch?v=4DNlEq0Z ... 4-overview

[Skeltek]

Gerade deshalb bevorzuge ich Formeln und Sachverhalte nicht numerisch sondern symbolisch zu lösen

[Pippen]

Ich gehe jetzt in die vollen^^ und behaupte: Es ist unbeweisbar, dass gilt: V2=V2. Denn wir wissen nicht, für was V2 steht, Grenzwerte helfen uns auch nicht weiter. Es gilt zwar das Axiom "x=x", aber die Frage ist ja gerade, ob hier nicht fälschlich ein Name ("V2") für zwei verschiedene Dinge steht. So scheint!!! zB "1=1" aber wenn gilt: 1=2 und 1=3, dann wäre das falsch und man müsste sagen: 1<1. Was für 1 absurd scheint, wird bei V2 plausibler, denn für was steht denn V2? Doch eher für eine Sequenz, einen Prozess, der sich unendlich oft ändert, so dass er quasi gar nicht mit sich selbst verglichen werden kann. Es könnte daher sein, V2 wären unterschiedliche Objekte und wir rechnen die ganze Zeit mit widersprüchlichen Objekten!

[Pippen]

Ja, das kann man beweisen. Sei 1/3 = z = 0.3333...3x3... = x + y = 0.3333...333... + 0.0000...0a0...; nun muss man beweisen, dass 3 * x = 1 ist. Das ist ein einfacher Beweis mittels Grenzwert. Demnach wäre die zweite Zahl y ungleich Null wenn a ungleich Null ist. Und damit wäre die Gleichung 3 * z = 1 für die Dezimaldarstellung von z mit nicht-verschwindendem a nicht mehr erfüllt.

Hier muss ich einwenden: Das ist wieder nur ein punktueller Beweis für x, y und a. Was ist mit x+1 und y+1 und damit a+1? Ich weiss, es wird dich nerven^^, aber für mich sind solche Beweise nicht vollständig, weil sie eben zB nichts zu x+1, y+1 und a+1 sagen und auch dafür nicht gelten.