Widerlegung der Beweisbarkeit von unendlichen Mengen

[seeker]

Mal grundsätzlich: wir sollten verschiedene Ebenen auseinanderhalten, wo wir Aussagen A glauben, beweisen, ... oder bezweifeln, widerlegen, ...

syntaktisch: die mathematischen Aussagen A müssen wohlgeformt sein (sind sie)
semantisch: wir müssen die Aussage A inhaltlich verstehen
axiomatisch: wir müssen ein Axiom A "glauben" können bzw. für "vernünftig" halten
formal: eine Aussage B muss aus einem Axiom A formal korrekt ableitbar (beweisbar) sein
nochmal axiomatisch: auch Beweise benötigen formale Regeln, die wir für vernünftig halten (z.B. Induktionsprinzip)

Ich möchte dem noch hinzufügen, dass selbst das auch alles Forderungen sind, wo prinzipiell eine Wahl bestünde.
Wir haben also gewählt, dass wir das bei unserer Mathematik so haben wollen, weil wir das so für vernünftig halten und weil sie so unserer Meinung und Erfahrung nach gut funktioniert und weil uns die Alternativen weniger gut befallen.
Das ist Philosophie.

D.h.: Wenn man Unendlichkeiten denn angreifen möchte, dann muss man das auf der philosophischen Ebene tun, auf der darüberliegenden formalen Ebene ist es sozusagen bereits zu spät.

Grüße
seeker

[Pippen]

Es geht [bei einer Variablen] nicht darum, ob alle Objekte eingesetzt wurden, sondern ob sie prinzipiell eingesetzt werden können.

Bei einer unendlichen Menge kann prinzipiell nicht jedes Element der Menge in die Variable eingesetzt werden. Dort kann man nur so tun, als ob jedes Element der Menge in die Variable eingesetzt werden kann. Diese "als-ob"-Mathematik scheint zZ ganz en vogue zu sein in der modernen Mathematik, als Bsp. seien nur die komplexen Zahlen genannt, wo man so tut, als ob i² = -1. Ich frage mich, warum man noch nicht so getan hat, als ob j = 'n & ~n' oder 'n = 1/0' (wobei jeweils n € N) und dann damit weiterrechnet. Diese j- und k-Zahlen wären vllt. bald der nächste Durchbruch^^.

Deshalb hacke ich jedenfalls hier so auf der Definition der Varialben rum. Diese ist nicht Bestandteil des math. Axiomen- und Definitionssystems, aber als a-priori Verständnis unentbehrlich (was übrigens zeigt, dass Mathematik letztlich auch nur empirische und hermeneutische Wissenschaft ist, denn die für die Axiome fundamentalen Begriffe setzt das math. System schon als vorverstanden voraus).

Eine Variable ist daher ein gedachter Platzhalter für ein Objekt einer Menge, bei dem so getan wird, als ob jedes Objekt in der Menge dort einsetzbar ist. Sobald man das "als-ob" weglässt oder durch "prinzipiell" ersetzt entsteht eine andere Bedeutung und die Gefahr, dass andere zu anderen Schlüssen kommen, so wie ich.

[seeker]

Pippen, ich verstehe ja deine Bedenken und habe z.T. schon ähnliche geäußert. Ich bin da z.T. auch bei dir.

Aber hiermit landest du keinen Stich, du landest vielmehr in einem Zirkel:

Bei einer unendlichen Menge kann prinzipiell nicht jedes Element der Menge in die Variable eingesetzt werden.

Ist das so? Welches Element kann denn nicht eingesetzt werden? Benne es bitte!

(was übrigens zeigt, dass Mathematik letztlich auch nur empirische und hermeneutische Wissenschaft ist, denn die für die Axiome fundamentalen Begriffe setzt das math. System schon als vorverstanden voraus).

Jo! Irgendwo schon! Und deshalb kommt man stets irgendwo bei der Philosophie und nicht zuletzt auch bei Meinungen und Einschätzungen und Common Sense, Konventionen und Zeitgeist raus, wenn man nur tief genug bohrt.
Wenn du das verstanden hast, dann werden deine Probleme mit all dem viel geringer bzw. ganz andere.

Wichtig zu verstehen ist:
Es ist nichts in Stein gemeißelt, wenn es um Grundannahmen und Grundverständnis geht. So ist das nunmal: Man kann auf Nichts nichts aufbauen.
Man muss immer so einiges voraussetzen - bei näherer Betrachtung stets viel mehr als man zuerst geglaubt hat.

Grüße
seeker

[tomS]

Bei einer unendlichen Menge kann prinzipiell nicht jedes Element der Menge in die Variable eingesetzt werden.

Warum nicht? Welches Element kann nicht eingesetzt werden?

Diese "als-ob"-Mathematik scheint zZ ganz en vogue zu sein in der modernen Mathematik, als Bsp. seien nur die komplexen Zahlen genannt, wo man so tut, als ob i² = -1.

Man definiert das, das ist völlig OK.

[breaker]

Diese "als-ob"-Mathematik scheint zZ ganz en vogue zu sein in der modernen Mathematik, als Bsp. seien nur die komplexen Zahlen genannt, wo man so tut, als ob i² = -1.

Mal abgesehen von der Tatsache, dass komplexe Zahlen nicht gerade modern sind...
Wie kann man ernsthaft so einen Schwachsinn schreiben und sich trotzdem noch für klüger als die gesamte Mathematikergemeinde halten?? Eine derartige Arroganz will sich mir einfach nicht erschließen...

[Pippen]

@seeker: Ich gebe dir vollkommen Recht. Mein Anliegen hier ist und war nur, zu verstehen, wie Grundlagenmathematik funktioniert - und offensichtlich habe ich ja schonmal ein falsches Verständnis vom Variablenbegriff gehabt - und jetzt daraus gelernt^^. Das ist ehrlich gesagt der Spass dieser Diskussionen, nämlich dass man relativ schnell ein paar Dinge lernt, wofür man ansonsten Jahre studieren müsste.

@tom: Ich kann dir natürlich nicht sagen, welches Element nicht eingesetzt werden kann, sonst wäre es einsetzbar . Ich muss hier abstrakt bleiben und darauf verweisen, dass "un-endlich viel" und "alles/jedes" sich widersprechen, aber ich denke wir sind uns einig, dass das nicht so zwingend ist, dass man nicht so tun kann "als ob", vor allem wenn sich daraus interesante Folgerungen ergeben.

@breaker: Du überschätzt mich. Ich kann und will nicht jedesmal schreiben, dass ich keine Ahnung habe und lernen will, das wäre öde. Vllt. sollte ich in mein Profil und für alle meine Beiträge schreiben: Ich bin math. und phys. Laie! Bitte habt Nachsicht!

[Skeltek]

Bei einer unendlichen Menge kann prinzipiell nicht jedes Element der Menge in die Variable eingesetzt werden.

Warum nicht? Welches Element kann nicht eingesetzt werden?

Algebraisch nicht fassbare Zahlen zum Beispiel. Dazu zählen Unendlich selbst und eine Menge Zahlen die durch Bijektion der Potenzmenge von N auf ein endliches Interval entstehen.
Cantors Diagonalzahlen z.B. oder Kurvenpunktkoordinaten, deren stetige Kurve in fast keinem ihrer Punkte bzw Kurvenintervalle algebraisch, arithmetisch oder algorithmisch erfassbar ist.
Jede Form von uneigentlichen Punkten sozusagen.

Ich persönlich habe nichts gegen sowas, aber das haben sich die nicht-Konstruktivisten selbst eingebrockt ^^
Man kann keine Zahl auswerten oder einsetzen, die man nicht fassen kann.

Sorry, ich wechsel bei Diskussionen gerne öfter mal die Seiten

[tomS]

Skeltek, ich stimme dir zu, dass es problematisch wird für nicht-angebbare / nicht-konstruierbare Zahlen. Das trifft bei reellen Zahlen insbs. auf das Auswahlaxiom zu. Ich stimme dir aber nicht zu, dass es für natürliche Zahlen problematisch werden könnte

Pippen, ich denke, man muss entscheiden, ob man eine Mathematik konstruieren möchte, in der dieses "als ob" zulässig ist, oder ob man das nicht möchte. Formal ist das jedenfalls kein Problem. Man kann entsprechende Axiomensysteme konstruieren und damit formal korrekt arbeiten. Die Entscheidung ist also keine inner-mathematische Entscheidung, sondern auf Ebene der Metamathematik.

[Skeltek]

Skeltek, ich stimme dir zu, dass es problematisch wird für nicht-angebbare / nicht-konstruierbare Zahlen. Das trifft bei reellen Zahlen insbs. auf das Auswahlaxiom zu. Ich stimme dir aber nicht zu, dass es für natürliche Zahlen problematisch werden könnte

Nun, wenn man die reelen Zahlen in Komplexitäts-Klassen unterteilt und diese Klassen dann je nach Länge des Auswahlalgorithmus einer entsprechenden natürlichen Zahl zuordnet, so fallen Cantors Diagonalzahlen exakt auf unendlich. Sie liegen außerhalb der Menge selbst wie der feine Herr Cantor ja bereits schön bewiesen hat. Wenn man hinnimmt, daß diese Diagonalzahlen existieren, muss man "unendlich" selbst auch als existent ansehen. Ich persönlich finde es schwachsinnig, versuche aber auf die Sichtweise einzugehen und widerzugeben.
Nicht daß jetzt jemand denkt was ich schreibe sei auch tatsächlich meine Meinung...
Also ich sehe den Beweis zwar auch für [0,1,2,3,...,... unendlich[ erbracht, nicht aber für [0,1,2,3,...,... unendlich].

Die Frage die ich immer noch nicht herausfinden konnte ist, ob Pippen "unendlich" in die Gleichung einsetzen möchte oder aber alle Zahlen.
Seine Argumentation verläuft ja ähnlich wie Cantors Diagonalargument: Egal wieviele Zahlen man aufzählt, lässt sich nachweislich zu jedem Zeitpunkt eine Zahl konstruieren, die nicht in der Liste enthalten ist.
Deshalb wird ja bei beim Satz von Weierstraß das Argument explizit auf beschränkte endliche Intervalle beschränkt um eben genau unendlich als nicht enthaltenen Grenzwert auszuschließen.
Der einzige Unterschied zu Pippens nicht einsetzbarer Zahl liegt wohl darin, daß sich seiner Zahl nicht arithmetisch ein endlicher Wert zuweisen lässt(außer man benutzt eine Darstellung ähnlich der erweiterten reelen Zahlen, wobei man die natürlichen Zahlen auf eine Teilmenge der rationalen Zahlen auf dem Kreis/Linie projeziert).

[breaker]

@breaker: Du überschätzt mich. Ich kann und will nicht jedesmal schreiben, dass ich keine Ahnung habe und lernen will, das wäre öde. Vllt. sollte ich in mein Profil und für alle meine Beiträge schreiben: Ich bin math. und phys. Laie! Bitte habt Nachsicht!

Sei versichert, dass bei den komplexen Zahlen nicht einfach so getan wird, als ob eine Zahl i mit i²=-1 existiert. Es wird explizit eine Menge konstruiert, in der es ein Element gibt, dessen Quadrat -1 ergibt.

[Pippen]

@breaker: Du überschätzt mich. Ich kann und will nicht jedesmal schreiben, dass ich keine Ahnung habe und lernen will, das wäre öde. Vllt. sollte ich in mein Profil und für alle meine Beiträge schreiben: Ich bin math. und phys. Laie! Bitte habt Nachsicht!

Sei versichert, dass bei den komplexen Zahlen nicht einfach so getan wird, als ob eine Zahl i mit i²=-1 existiert. Es wird explizit eine Menge konstruiert, in der es ein Element gibt, dessen Quadrat -1 ergibt.

Kannst du denn erklären, was der praktische Nutzen von solchen komplexen Zahlen ist (wie du es einem Kind erklären würdest)? Meine Idee war immer: Ach, sie definieren: i² = -1 und konstruieren daraus die komplexen Zahlen der Form a + bi, in der Hoffnung, dass sich das "i" irgendwann wegkürzt und man so am Ende "normale Zahlen" erhält, mit denen man was anfangen kann, denn was würde es denn nutzen, wenn am Ende ein Ingenieur als Lösung herausbekommt: 15 + 3 (i²= -1). Das wäre doch irgendwie sinnlos - jedenfalls für Nichtmathematiker wie mich.

[Skeltek]

Complexe Zahlen werden in der Regel benutzt um ein konstantes Produkt zwischen einer verborgenen und emergenten Größe zu beschreiben. Die verborgene Größe wird nur dann emergent, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird.
Die 1 bzw auch -1 aus der man die Wurzel zieht scheint nur ein skalarer Wert zu sein, ist es aber nicht, da man den verborgenen Anteil nicht messen oder sehen kann.
Nehmen wir einmal an, du kannst ohne Brille 1 km weit sehen; z.B. entspricht eine 180° Drehung im Raum der -1, während 0 oder 360° Drehungen der 1 entsprechen. Wenn man dich fragt, wie weit du nach einer 90° Drehung in x Richtung schauen kannst, kommt 0km heraus. Dein Blick ist nun komplett in die y-Richtung(entspricht der komplexen Achse) gerichtet aber nicht 0.
Man verwendet komplexe Darstellung meist dann, wenn eine der beiden Achsen nicht erkennbar oder verborgen ist.

z.B. kann man Magnetfelder nicht messen, sondern nur die elektrische Wirkung die sie haben. Wird der elektrische Impuls in Magnetfeldanregung umgewandelt, ist die elektrische Wirkung in x Richtung 0, das Magnetfeld ist in dem Moment die virtuelle Komponente des elektrischen Feldes. Das ist eine grobe Erkläreung, hab aber grade net mehr Zeit, muss schlafen = )

[tomS]

Der praktische Nutzen besteht darin, dass man eine kompakte Notation z=x+iy hat. Um es klar zu sagen: du kannst JEDE Rechnung mit komplexen Zahlen auch mit zweidimensionalen Vektoren (x,y) durchführen, aber du wirst irgendwann wahnsinnig dabei und siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

[breaker]

Der praktische Nutzen besteht darin, dass man eine kompakte Notation z=x+iy hat. Um es klar zu sagen: du kannst JEDE Rechnung mit komplexen Zahlen auch mit zweidimensionalen Vektoren (x,y) durchführen, aber du wirst irgendwann wahnsinnig dabei und siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Würde ich so nicht sagen. Der Witz an den komplexen Zahlen ist ja nicht, dass man sie als x+iy schreiben kann, sondern dass man R² zu einem Körper machen kann. Auch mit der Paar-Notation (x,y) ist das eine tolle Sache.

Kannst du denn erklären, was der praktische Nutzen von solchen komplexen Zahlen ist (wie du es einem Kind erklären würdest)? Meine Idee war immer: Ach, sie definieren: i² = -1 und konstruieren daraus die komplexen Zahlen der Form a + bi, in der Hoffnung, dass sich das "i" irgendwann wegkürzt und man so am Ende "normale Zahlen" erhält, mit denen man was anfangen kann, denn was würde es denn nutzen, wenn am Ende ein Ingenieur als Lösung herausbekommt: 15 + 3 (i²= -1). Das wäre doch irgendwie sinnlos - jedenfalls für Nichtmathematiker wie mich.

Ja, aber lass uns dafür einen neuen Thread machen.

[tomS]

Würde ich so nicht sagen. Der Witz an den komplexen Zahlen ist ja nicht, dass man sie als x+iy schreiben kann, sondern dass man R² zu einem Körper machen kann.

Natürlich; auch die komplexe Funktionentheorie, Riemannsche Flächen, Modulformen, Wellenfunktionen in der QM, ... sind tolle Strukturen ... die ich aber keinem "Kind erklären würde"