Kann es eine nat. Zahl mit unendlich vielen Ziffern geben?

[Skeltek]

Wie ich vor zwei Seiten sagte: Der Urknall mit unendlicher Energie bzw Impulsdichte ist nur eine Grenzrechnung mithilfe eines idealisierten Rechnungsmodels, das vermutlich nur einen Grenzfall der Mechanik des Universums entspricht.
Es ist mit egal ob die Entstehung des Universums vom Beginn bis zum Urknall nur 1/100 Sekunde oder Milliarden Jahre dauerte, solange es mir persönlich wie eine Ewigkeit vorkommt.

[Fuzzlix]

Die Frage, die sich mir stellt, ist, ob Begriffe wie Energie, Impuls und Dichte im Urknall überhaupt anwendbar/existent sind oder erst später emergierten.

Letztens hatte ich gedanklich ein Auto in Einzelteile zerlegt um den Begriff Auto auf grundlegendere Begriffe zurückzuführen. Umgekehrt können wir sagen: Aus dem Zusammenspiel der Räder, Blechteile, Elektronik, usw. emergiert der Begriff Auto.

Wichtig ist also zu erkennen, WANN Begriffe auftauchen, sprich ab wann ich diese Begriffe verwenden darf. Wenn jemand versucht mit Begriffen wie Energie, Dichte, usw versucht, die Planckwelt zu beschreiben, dann hat er nach meiner Überzeugung den rechtzeitigen gedanklichen Absprung nicht geschafft.

[gravi]

Ich denke, ihr habt beide irgendwie Recht (Skeltek & Fuzzlix) mit euren Aussagen.
Rechnen kann man so viel wie man will, aber nach meiner Ansicht sind wir nicht imstande, einen Urknall zu berechnen. Das mag ein Grenzfall von Irgendwas sein, aber unsere Physik kann das nicht beschreiben (und nur eine gültige Physik könnte hier eine Rechnung anwenden). Aber ebenso wenig wie wir das Innere eines SL's berechnen können, ist auch die Entstehung eines Universums mathematisch nicht erfassbar.

Einfach aus dem Grund, weil sie nicht beobachtbar ist. Erst anhand von Beobachtungen/Messungen kann man Gesetzmäßigkeiten ableiten, die dann mathematisch ausgedrückt werden können.

Da nun weder Anfang noch Ende eines Universums beschreibbar sind, kann es in unserer Mathematik auch keine unendlich großen/kleinen Zahlen geben. Um mal auf das Thema zurück zu kommen...

Gruß
gravi

[Skeltek]

Wie kommt man überhaupt auf den schwachsinnigen Gedanken, daß sich der Raum aufgrund der Gravitation der darn befindlichen Objekte zusammenziehen sollte?

Trotzdem denke ich daß egal welche Form ein Objekt hat, es danach und davor immer noch eine Form hat. Egal wie klein oder dicht etwas wird, Dinge werden immer eine endliche Größenrelation zueinander haben.
Größenverhältnisse drücken immer ein Verhältniss aus, wenn beide Sachen schrumpfen oder eine Kompression erfahren bleiben die Größenverhältnisse zueinander trotzdem endlich(auch bei unendlicher Schrumpfung beider Vergleichsobjekte).

[PeterM]

Wie kommt man überhaupt auf den schwachsinnigen Gedanken, daß sich der Raum aufgrund der Gravitation der darn befindlichen Objekte zusammenziehen sollte?

Der Gedanke findet allein darin seine Berechtigung, um ein System dahinter zu installieren.

Die Anziehung (Zusammnnziehung) selbst ist ein Trugschluss, weil dahinter gleichzeitig immer eine Ausdehnung vorhanden sein muss. Sonst täte sich da nämlich gar nichts. Das ist aber eher ein philosophisches Problem als ein mathematisches oder physikalisches. Insgesamt kann es ja im Universum nur grenzenlose Verschiebungen gehen, die von uns systematisch bewertet werden. Ein System benötigt aber immer eine Richtung, sonst ist liefe alles durcheinander.

Gruß

Peter

[seeker]

Aber um auf das Thema zurück zukommen. Hilberts Hotel beschreibt das Problem der Unendlichkeit gut.

Ja, richtig.
Der Knackpunkt bei Hilberts Hotel ist folgender:
Wie wir gesehen haben ist "unendlich" zunächst ein Prozess und kein Ding.
Beim Hotel wird nun dieser Prozess "verdinglicht", d.h. es wird so getan, als ob das Hotel ein (fertiges) Ding wäre.
Ohne diesen gedanklichen Sprung würde das Hotel nicht funktionieren.

Wenn wir Prozesse verdinglichen wird es immer dann gefährlich, wenn man hinterher vergisst, dass man ja nur so getan hat, "als ob" man da ein Ding vor sich hätte.
Es geht mir an diesem Punkt nicht darum, ob die Mathematik damit funktioniert (das tut sie offensichtlich); es geht mir darum, welche Bedeutung man solchen "Pseudo-Dingen" hinterher beimisst, wenn man solche Begriffe außerhalb der Mathematik anwendet, wenn man sie z.B. auf das Universum anwendet. Ruck Zuck kann es geschehen, dass man das "Ding Unendlichkeit" in der Natur selbst vermutet, ohne dafür (bei genauem Betrachten) eine wirkliche Grundlage zu haben. Auch das haben wir gesehen.


Wie kommt der Mensch überhaupt zu der Idee "unendlich"?

Ich denke so:
1. Zunächst erlebt der Mensch, dass alle erkennbaren Dinge um ihn herum die Eigenschaft "Anfang" und "Ende" haben, also zeitlich wie räumlich begrenzt sind.
Daraus bildet der Mensch den Begriff der "Endlichkeit".
Wird dieser Begriff negiert, so kommt man zum Begriff/Idee "Unendlichkeit", ohne jemals eine echte Unendlichkeit gesehen zu haben.
"Unendlich" ist also die Negation eines abstrakten Begriffs bzw. einer abstrakten Idee.

2. Der Mensch kann in seiner Erfahrungswelt Objekte finden, die teilweise Unendlichkeiten aufweisen, in dem Sinne, dass die Eigenschaften "Anfang" und "Ende" teilweise fehlen.
Das ist z.B. bei einer Kreisfläche so: Bewegt man sich auf der umgrenzenden Kreislinie, so kommt man nie zu einem Ende, denn man landet immer wieder am Augangspunkt.
Im Gegensatz dazu hat z.B. eine Strecke zwei klare Endpunkte. In dem Sinne ist der Kreis unendlich; "unendlich" im Sinne des Fehlens der Eigenschaft "Anfangspunkt und Endpunkt".
"Unendlich" ist also das teilweise Fehlen von Eigenschaft, eben der Eigenschaft "Begrenzung".

Hier sieht man auch wieder einmal die Ähnlichkeit zum Nichts, in der Mathematik vertreten durch die Null.
Auch das Nichts wurde durch einen ähnlichen Gedankensprung zur "Zahl Null" verdinglicht.
Auch dem Nichts fehlt Eigenschaft, die bei allen endlichen Dingen vorhanden ist.
Die Unendlichkeit verhält sich symmetrisch zur Null.

Die entscheidende Frage ist nun, ob und inwiefern solche Gedankensprünge berechtigt sind?

Bei Hilberts Hotel besteht der Sprung darin zu sagen, dass es im Prinzip immer so weiter geht - und nicht nur das, dass es im Prinzip schon fertig ist, wohl wissend, dass es nicht immer so weiter gehen kann und dass es niemals fertig sein kann.

Grüße
seeker

[seeker]

Man verschiebt innerhalb der Unendlichkeit die Gäste ein Zimmer oder je nachdem weiter. Das ist der Prozess. Unendlich selbst ist kein Prozess.

Wie man es nimmt. Man kann das Verschieben endlos tun. Insofern ist diese "Unendlichkeit" ein Prozess. Ich glaube, wir meinen aber dasselbe.

Noch einmal der Unterschied zwischen Prozess und Ding (wie ich es meine):

Ein Ding ist etwas, das fertig, in fixer Form existiert, so wie es ist.
Ein Prozess ist ein Vorgang, eine Veränderung der/die stattfindet.

Beispiele:
Eine Zahl ist ein Ding.
Das Zählen ist ein Prozess.

Eine Menge ist ein Ding.
Das Zusammenfügen von Elementen (zu einer Menge) ist ein Vorgang/Prozess.

Eine Gleichung ist ein Ding.
Das Rechnen mit einer Gleichung ist ein Prozess.

Dinge sind (hier, in diesem Sinne) zeitlos. Sie sind statisch.
Prozesse finden innerhalb einer Zeit statt (zumindest einer abstrakten). Sie sind dynamisch.

Nach meiner Meinung muss man nun, wenn man die Existenz von einem beliebigen Ding (gleich ob z.B. Auto oder mathematische Struktur) annehmen, erklären oder begründen können will, zweierlei tun können:

1. Man muss angeben können aus welchen Einzelteilen das Ding besteht.
2. Man muss angeben können wie (durch welchen Prozess) aus diesen Teilen das Ding geworden ist.

So einfach ist das auch wieder nicht wie der Mensch auf die Unendlichkeit kommt...

Sicher nicht. Ich sammle nur Vorschläge...
Ja, man kommt innerhalb der Logik zu dem Problem, dass man immer nach dem Davor/Danach von jedem Grenzpunkt fragen kann.

Wichtig erscheint mir jedenfalls, dass "Unendlich" etwas abstraktes ist, also etwas, das zunächst nur in unserer Gedankenwelt gefunden werden kann.

Du machst aus dem Unendlich auch ein Ding, das Ding ohne Eigenschaften und nimmst als Grundlage dafür eine Zeitspanne innerhalb des Anfangs und des Endes, ein Zeitpunkt also wo du die Endlichkeit beschreiben kannst.

Das ist richtig und darüber muss ich noch nachdenken.

Problematisch erscheint mir, dass jeder Prozess, der unendlich lange ablaufen können soll eine prinzipiell vorhandene "a priori-Zeit" zu erfordern scheint, die dann doch selbst wieder ein Ding wäre?
Damit überhaupt die Möglichkeit gegeben ist endlos zählen zu können, muss "zuvor" schon eine unendlich lange Zeitspanne vorhanden sein - oder beim Vorgang des Zählens erst mitentstehen?

Grüße
seeker

[seeker]

Und innerhalb dieses "Dings ohne Ende" finden jetzt irgendwelche Prozesse statt.

Du müsstest das Hotel mit seinen unendlich vielen Zimmern aber erst einmal bauen, was nicht möglich ist, weil du dabei zu keinem Ende kommen würdest.
Bei Hilbert wird aber so getan, als wäre es schon fertig. Das meine ich mit "verdinglichen".

Wenn das Hotel nun voll ist und es kommt ein Bus mit unendlich vielen Leuten der auch noch im Hotel untergebracht werden soll, dann heißt es, nun müssten die schon vorhandenen Gäste einfach jedes zweite Zimmer freimachen, indem sie aufrücken und so nur noch die Zimmer mit den ungeraden Nummern belegen. So würden unendlich viele Zimmer (die geradzahligen) freiwerden, in die dann die neuen Gäste alle einziehen können.
Schön und gut, aber das muss erst einmal getan werden!

Preisfrage: Welcher Gast mit welcher Zimmernummer muss zuerst von seinem geradzahligen Zimmer zu einem ungeradzahligen Zimmer umziehen?
In welches freie Zimmer kann er einziehen?
Wie lange dauert dieser Prozess des Umziehens, bis alle Gäste untergebracht sind?

Grüße
seeker

[Skeltek]

Das Hotel kann nicht funktionieren. Gast1 kann erst ins Zimmer2 ziehen, nachdem der dortige Gast bereits umgezogen ist.
Gast n kann erst dann ins Zimmer n+1 gehen, wenn dieses bereits geleert wurde.
Entweder man schickt den Gast im Zimmer 1 in letzte Zimmer der Kette auf eine ewige Wanderung und vergibt das Zimmer1 erst wieder, wenn der ursprüngliche Bewohner in seinem neuen Zimmer einquartiert ist(sonst hat ja einer immer kein Zimmer).
Oder man quartiet den Gast im letzten Zimmer zuerst um und danach den im Zimmer davor, bis irgendwann das Zimmer1 nach einer unendlichen Kette Umquartierungen frei geworden ist.

Selbst wenn Gast1 zum nächsten Zimmer geht, klopft, und Gast2 ins Zimmer3 schickt usw, hat man auch immer mindestens einen Gast, der gerade auf dem Flur steht, läuft oder an irgendwelchen Türen klopft.

[Skeltek]

Dann musst du aber erstmal allen bescheid geben, ausserdem gibts bei so nem großen Hotel kein gleichzeitig mehr <.<
Und es befinden sich dann ja unendlich viele gleichzeitig auf dem Gang, wenn auch nur für nen paar Sekunden(das summiert sich trotzdem auf unendlich viele Gesammtstunden auf, macht kein Unterschied dazu, ob nun alle kurz oder einer unendlich lang auf dem blöden Gang rumsteht. Schick doch lieber den Neuzugang ins letzte Zimmer, da kann er sich wenigstens noch etwas bewegen...

[PeterM]

Naja, es gibt auch kein Raumschiff das mit c fliegt, deshalb kann man die Zeitdilatation trotzdem nachweisen. Es geht nur um die Vorstellung von gleichzeitig in dem Hotel und nicht um ein Handwerkerwettbewerb, unendlich hat einfach kein Ende, da gibt es keinen letzten Gast und kein letzes Zimmer.

gruß
positive

Damit sollte eigentlich klar sein, dass die Unendlichkeit ein Gedankenkonstrukt ist. Nicht mehr und nicht weniger. Wenn ihr das nicht erkennen wollt, dann könnt ihr euch bis in alle Unendlichkeit zu Tode argumentieren.

Eigentlich zeigt die Unendlichkeit doch nur den Mangel eines Systems. Manchmal werden physiklaische Ergebnisse sogar undendlich. Ist halt eine nette Ausrede, wenn man nicht weiter weiß.

Gruß

Peter

[seeker]

Wichtig erscheint mir jedenfalls, dass "Unendlich" etwas abstraktes ist, also etwas, das zunächst nur in unserer Gedankenwelt gefunden werden kann.

Sind wir da tatsächlich mal einer Meinung, Peter?!
Der Unterschied: Bei der Frage wie es in der Natur ist bin ich Agnostiker und gebe zu: Ich weiß es nicht!
Du scheinst mir zu behaupten es zu wissen.

Skeltek, ich hatte ähnliche Gedanken.
Um es kurz und mathematischer auszudrücken:

Es existiert kein endlicher Algorithmus, der in diesem gefüllten Hotel in einer endlichen Anzahl von Schritten auch nur ein einziges Zimmer freimachen kann!
Genauso existiert auch kein endlicher Algorithmus, der das leere Hotel in einer endlichen Anzahl von Schritten auch nur 1x füllen könnte.

Ich denke das trifft den Kern des Problems.

Ansonsten ist ja Hilberts Hotel nur ein Gleichnis für die Abbildung zweier Mengen.
...und es geht dabei auch darum WIE man abbildet:

Ist N gleichmächtig zu N?
Nehmen wir zwei Mengen N(1) und N(2).
Jetzt kommt es darauf an...
Ich bilde ab:

1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, usw. ... und kann alle Elemente aus N(1) zu N(2) bijektiv abbilden.

Jetzt anders:
1-1, 2-3, 3-5, 4-7, 5-9, usw. ... und diesmal bleiben unendlich viele Elemente aus N(2) übrig, obwohl ich alle Elemente aus N(1) erwischt habe: 2,4,6,8,10, ...

So etwas passiert einem bei endlichen Mengen niemals!
Deshalb muss man bei der Abbildung von unendlichen Mengen schwächere Forderungen stellen:
"Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn mindestens eine Bijektion existiert."

D.h. es dürfen auch Zuordnungen existieren, bei denen ich jedem Element aus M1 genau ein Element aus M2 zuordne und dennoch Elemente aus M2 übrig bleiben.
Diese werden aussortiert, ignoriert - und es gibt unendlich viele davon. Für "Gleichmächtigkeit" reicht es hier aus, dass eine einzige Zuordnung existiert, die jedem Element aus M1 genau ein Element aus M2 zuordnet und umgekehrt (es bleiben keine Elemente aus M2 übrig).

Bei endlichen Mengen ist das anders.
Beispiel:

M1 = {1,2,3,4} lässt sich zu M2 = {a,b,c,d} immer umkehrbar-vollständig abbilden, wenn ich jedem Element aus M1 genau ein Element aus M2 zuordne.

Na gut. Unter diesen Voraussetzungen komme ich zu folgendem Schluss:

Die Gleichmächtigkeit zweier Mengen ist keine Eigenschaft, die den beiden betrachteten Mengen selbst innewohnt, sondern eine Eigenschaft, die sich aus den Mengen + der Zuordnungsvorschrift + der tatsächlichen oder prinzipiellen Durchführung der Zuordnung ergibt.
D.h.: "Gleichmächtigkeit" ist ein emergentes Phänomen, das aus den genannten drei hervorgeht.

So! Aber wir sollten uns auch mal wieder um den Weltraum kümmern...

Grüße
seeker

[seeker]

1-3, 2-4, 3-5, 4-6, 5-7, ...

Also sind M1 und M2 laut Definition gleichmächtig, da jedem Element aus M1 genau ein Element aus M2 zugeordnet wird und gleichzeitig (die Umkehrung) auch jedem Element aus M2 genau ein Element aus M1 zugeordnet wird. Es bleiben weder in M1 noch in M2 Elemente übrig, die nicht zugeordnet werden und es werden außerdem auch keine Elemente 2x zugeordnet.

Grüße
seeker

[PeterM]

Wichtig erscheint mir jedenfalls, dass "Unendlich" etwas abstraktes ist, also etwas, das zunächst nur in unserer Gedankenwelt gefunden werden kann.

Sind wir da tatsächlich mal einer Meinung, Peter?!
Der Unterschied: Bei der Frage wie es in der Natur ist bin ich Agnostiker und gebe zu: Ich weiß es nicht!
Du scheinst mir zu behaupten es zu wissen.

Der Agnostiker weiß nichts und hält alles für möglich. Das liegt aber auch daran, dass Agnostiker liebe Menschen sind und keinem wehtun wollen.

Naja seeker, ich habe nie behauptet etwas zu wissen. Ich aber habe schon oft geschrieben, dass ich lediglich weiß, warum ich nichts wissen kann. Das ist schon ein Unterschied. Abgesehen davon existiert kein Wissen in der Natur.

Dass jedes Wort abstrakt ist (nicht nur die Unendlichkeit) und auch eine Menge logisch aneinander gereihter Worte nur ein abstraktes in sich logisches Konstrukt bilden können, zeigt doch, dass wir alles nur Ausschnittsweise also systematisch betrachten können. Dass Universum als solches ist schon aus diesem Grund nicht vollständig formulierbar.

Ich verstehe allerdings nicht, dass du manchmal auf Biegen und Brechen systematisierte
Erkenntnisse zu 100% auf die Natur übertragen willst. Das geht weder mit der Mathematik noch mit der Physik oder anderen Wissenschaften.

Nach wie vor erkenne ich in der Natur nichts ABSULUTES oder IDENTISCHES. Dass diese Begriffe aber Bestandteile von Systemen und Theorien sein müssen ist ja auch nicht verwunderlich, da sonst kein logischer argumentativer Aufbau möglich ist.

Wie du siehst, versuche ich erst mal „meine“ (unsere) menschlichen Mängel oder „Grenzen“ zu erkennen.
Wenn man das geschafft und akzeptiert hat, dass jedes Wort nur ein Hilfsmittel ist und lediglich die Wirklichkeit beschreibt aber tiefgründig nicht erklären kann, dann ist man schon ein Stück gelassener.



Gruß

Peter

[Skeltek]

Also nochmal Hilberts Hotel:
Es seien alle(unendlich viele) Zimmer belegt. Nun kommt ein neuer Gast ins Hotel und möchte buchen.
Man schickt Gast1 ins Zimmer2, Gast 2 in Zimmer 3 usw
Man benennt die Gäste um:
Neuer Gast bekommt den Namen Gast1, Gast1 bekommt den Namen Gast2 usw
Resultat:
Es hat sich nichts verändert und es ist kein Gast hinzugekommen. Bis hin zu den Bezeichnern der Gäste unterscheiden sich die beiden nicht.

[PeterM]

Also nochmal Hilberts Hotel:
Es seien alle(unendlich viele) Zimmer belegt.

Diese Aussage ist doch schon widersprüchlich, also sprachlich eigentlich nicht zulässig.

Wenn alle Zimmer belegt sind, dann ist hinsichtlich der Belegung und der Anzahl der Zimmer eine Endlichkeit erreicht.

Die vollständige Belegung hebt doch die Unendlichkeit auf.

Man mischt doch einen endlichen Zustand mit einer unendlichen Erwartungshaltung. Das kann doch gar nicht passen.

[seeker]

Dass jedes Wort abstrakt ist (nicht nur die Unendlichkeit) und auch eine Menge logisch aneinander gereihter Worte nur ein abstraktes in sich logisches Konstrukt bilden können, zeigt doch, dass wir alles nur Ausschnittsweise also systematisch betrachten können. Dass Universum als solches ist schon aus diesem Grund nicht vollständig formulierbar.

Das sagst du öfters. Ich stimme dir da auch zu.

Ich verstehe allerdings nicht, dass du manchmal auf Biegen und Brechen systematisierte Erkenntnisse zu 100% auf die Natur übertragen willst.

Will ich gar nicht. Man darf aber auch umgekehrt die Übertragung systematisierter Erkenntnisse auf die Natur nicht zu 100% ausschließen.

Nun zu den Unendlichkeiten:

In m(2) fehlen die 1 und 2. Man sollte da 2 Zahlen aus der unendlichen Menge m(1) entfernen, dann passt's... Ich kann dir nicht folgen.

Wo hängst du denn?

@Skeltek: Genau!

Doch, Neuer Gast ist neu hinzugekommen, er wohnt jetzt da wo Gast 1 vorher wohnte. Nach hinten ins Hotel ist alles unendlich, es gibt kein Ende. Ein Faß ohne Boden sozusagen. Du gießt immer etwas rein und es wird nie voll.

Wenn es nie voll wird, wird es auch nie fertig.

Wovon gehst du aus?

1. Das Hotel hat aktuell schon unendlich viele Zimmer
2. Am Hotel werden endlos immer weitere Zimmer angebaut

a) Im Hotel sind aktuell schon unendlich viele Leute einquartiert
b) Im Hotel werden endlos immer weitere Leute einquartiert

Welche Kombination soll's sein?

Wenn das Hotel voll belegt ist, sind dann ALLE Zimmer belegt oder nicht?

Grüße
seeker

[seeker]

Es gibt keine letzte Nummer bei den Zimmern.
Es gibt aber - und das ist der Punkt - auch keine letzte Nummer bei den Leuten.

Dann nehmen wir doch mal 2 Mengen m(1)={1,2,3,...} und m(2)={3,4,...}
Was soll hier gleichmächtig sein bei mindestens einer Bijektion?

Man kann m1 zu m2 so zuordnen:

1-3, 2-4, 3-5, 4-6, 5-7, ...
Also sind M1 und M2 laut Definition gleichmächtig, da jedem Element aus M1 genau ein Element aus M2 zugeordnet wird und gleichzeitig (die Umkehrung) auch jedem Element aus M2 genau ein Element aus M1 zugeordnet wird. Es bleiben weder in M1 noch in M2 Elemente übrig, die nicht zugeordnet werden und es werden außerdem auch keine Elemente 2x zugeordnet.

In m(2) fehlen die 1 und 2. Man sollte da 2 Zahlen aus der unendlichen Menge m(1) entfernen, dann passt's... Ich kann dir nicht folgen. Man hat einen Zustand, der unendlich ist, und da gibt es nichts zu diskutieren. Sobald du den irgendwo unendlich entfernst hast, hast du nur noch einen endlichen Zustand. Schreib doch mal die letzte endliche Zahl auf...

Natürlich fehlen die 1 und die 2. Darum geht es aber nicht bei dem Begriff "Mächtigkeit". Ob die Eins nun "1" heißt oder "3" ist doch egal.
Man kann auch zwei unendliche Mengen M1={1,2,3,4,...} und M2={a,b,c,d,...,z,aa,ab, ...} haben.
Die kann man genauso zuordnen:
1-a, 2-b, 3-c, 4-d, ...

Also sind sie "gleichmächtig".


Ich verstehe dein Problem nicht.

Grüße
seeker

[seeker]

Deshalb muss man bei der Abbildung von unendlichen Mengen schwächere Forderungen stellen:
"Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn mindestens eine Bijektion existiert."

Du entfernst jetzt außer einer Zahl in beiden unendlichen Mengen alle anderen und nennst das unendlich. Ab wann ist unendlich denn endlich, schreib doch mal die Anzahl der Zahlen auf ab wann das gültig sein soll...

Ich verstehe das Argument nicht. Wieso entferne ich alle Zahlen außer einer?

Und jetzt entfernst du in dem Beispiel 2,4,6 usw... aus M2 und machst die M2 wieder endlich.

Wieso denn? Verstehe ich auch nicht. Da wird doch nichts entfernt. Es wird zugeordnet.

Ich habe da auch nichts anderes gemacht als m(1) und m(2) endlich gemacht (obwohl sie unendlich sind) und damit die Anzahl der Zahlen in den Mengen m1 und m2 gleich bleibt die 1 und 2 aus m(1) enfernt.

Verstehe ich auch nicht. Was soll "endlich gemacht obwohl sie unendlich sind" bedeuten? Das ist doch widersprüchlich. Entweder sind m(1) und m(2) endlich oder sie sind unendlich.

Worauf willst du hinaus? Was ist deine Aussage?

Edit: Meinst du vielleicht, dass es seltsam erscheint, dass eine Menge Teilmenge einer anderen sein kann (z.B. M1={1,2,3,4,...} und M2={3,4,5,6,...}, M2 ist Teilmenge von M1) und dennoch beide Mengen gleichmächtig sind?

Grüße
seeker

[tomS]

Man betrachte N = {1, 2, 3, ...} und M = {2, 4, 6, ...}.

Die geforderte Bijektion für n und m aus N und M lautet m = 2n.

Daraus folgt, dass eine Bijektion zwischen M und N möglich ist, obwohl M eine echte Teilmenge von N ist.

Das ist übrigens ganz allgemein gültig. Für jede unendliche Menge gilt, dass eine Bijektion zwischen der Menge und einer echten Teilmenge möglich ist.

[tomS]

Na ja, es gibt aber doch beweisbar unterschiedliche Mächtigkeiten, also Stufen den Unendlichen.

[tomS]

Wie wir gerade in einem anderen Thread diskutieren: die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der reellen Zahlen. Es gibt viele Mengen, die die selbe Mächtigkeit wie die natürlichen Zahlen haben, für die also eine Bijektion auf die natürlichen Zahlen existiert, und die demnach abzählbar sind: ganze Zahlen, gerade Zahlen, rationale Zahlen.

Es gibt aber auch Mengen, die eine echt größere Mächtigkeit als die natürlichen Zahlen haben, für die also KEINE Bijektion existiert, und die demnach NICHT abzählbar sind: dies gilt insbs. - nach Cantors Diagonalargument - für die reellen Zahlen.

[breaker]

Das sind aber keine Stufen des Unendlichen, sondern nur Mächtigkeiten. Du teilst ja die Zahlengerade zwischen den natürlichen Zahlen in kleinere Abschnitte und bekommst z.B. reelle Zahlen raus. Der Begriff ist irreführend, es gibt keine verschiedenen Unendlichkeiten.

Vielleicht würde es die Diskussion vereinfachen (bzw. erst ermöglichen), wenn du erklären würdest, was du mit "verschiedenen Unendlichkeiten" meinst.

[tomS]

Das sind aber keine Stufen des Unendlichen, sondern nur Mächtigkeiten.

Es gibt zwei Arten, "Stufen des Unendlichen" mathematisch zu definieren, zum einen Kardinalzahlen, zum zweiten die damit verwandten Mächtigkeiten. Auf welche beziehst du dich?

Die Vorgehensweise ist übrigens unabhängig davon, dass reelle und natürliche Zahlen auf einer Zahlengeraden angeordnet werden können.

[tomS]

Gut.

Dann haben wir also unterschiedliche Stufen des Unendlichen, nämlich Kardinalzahlen.