Kann es eine nat. Zahl mit unendlich vielen Ziffern geben?

[tomS]

Und die bestimmen die Mächtigkeit einer unendlichen Mengen ... Jedenfalls beschreiben sie die Mächtigkeit innerhalb des Unendlichen an sich.

Wenn du nicht differenzieren möchtest, dann können wir hier aufhören.

Die Mathematik differenziert zwischen "verschiedenen Stufen von Unendlichkeiten" in dem sie eben mit Kardinalzahlen arbeitet. Im einfachsten Fall, dem der natürlichen Zahlen sowie der reellen Zahlen liegen beweisbar unterschiedliche Mächtigkeiten vor. Diese können über die Potenzmengenkonstruktion beliebig erweitert werden.

Wenn du diese Konstruktion nicht magst oder nicht kennst, dann ist das doch kein Grund, sie abzulehnen. Ein Farbenblinder leugnet doch nicht die Existenz der Farbe, ein Vegetarier nicht die Existenz von Fleisch. Also erklär doch mal, warum du die "Hieriarchie der Unendlichkeiten" ablehnst.

[tomS]

Ich lehne doch nicht das Differenzieren ab, ich will nur klarstellen, dass die Kardinalzahlen im Grunde innerhalb des Unendlichen differenzieren, mit gleichmächtig, weniger mächtig und mächtiger. Dass es also irreführend ist "Stufen des Unendlichen" mit dem Begriff unendlich an sich zu verwechslen.

OK

Sobald eine Menge mächtiger als eine andere Menge ist, ist sie ja wieder endlich.

Wieso das??

Zu unendlich kannst du nichts hinzuaddieren.

Du kannst mit Mächtigkeiten und Kardinalzahlen rechnen. Tatsächlich ist die Summe zweier Kardinalzahlen immer gleich der größeren der Kardinalzahlen. Bei Mächtigkeiten entspricht die Addition einfach der Bildung der Verenigungsmenge. Durch endlich oder unendlich viele Vereinigungen vergrößert sich die Mächtigkeit nicht.

Aber es gibt andere Operationen (Potenzmenge) mittels derer man die Mächtigkeit eben doch erhöhen kann.

[seeker]

... und die Stufen selbst sind wieder endlich.
Man kann also Unendlichkeiten Eigenschaften zuweisen, die endlich sind.

Ich weiß es nicht genau, aber ich denke, das könnte man so sehen.

Grüße
seeker

[PeterM]

... und die Stufen selbst sind wieder endlich.
Man kann also Unendlichkeiten Eigenschaften zuweisen, die endlich sind.

Ich weiß es nicht genau, aber ich denke, das könnte man so sehen.

Grüße
seeker

Aus Wiki:
Die Mathematik kennt den Begriff „unendlich“ in verschiedenen Teildisziplinen. Diese unterschiedlichen „Unendlichkeiten“ haben jeweils ihre eigenen Eigenschaften, und die Unendlichkeitbegriffe sind nicht austauschbar. Die Begriffe sind manchmal sehr unanschaulich und bereiten Nichtmathematikern deshalb Schwierigkeiten. Es kann helfen, wenn man sich klar macht, dass die Mathematik in der Regel keine Aussagen darüber macht, was Unendlichkeit „in Wirklichkeit“ ist. Stattdessen werden Regeln für die Manipulation von Symbolen aufgestellt. (Unendliche Menge)

Wenn die Mathematik keine Aussage darüber machen kann, was in der "Wirklichkeit" die Unendlichkeit bedeutet, dann argumentiert ihr doch ins Blaue. Es wird offenbar Mathematik mit Realität verwechselt.

Wenn die Unendlichkeit ein durchlaufender Prozess ist, dann unterbricht Hilberts Hotel doch diesen durchlaufenden Prozess mit einer unendlichen Anzahl von statischen Zimmern. Endlich und unendlich sind miteinander verbunden, obwohl die Unendlichkeit die Endlichkeit negiert. Ihr habt ein Argumentationsproblem. Mehr nicht.

Außerdem stellt Hilberts Hotel nur eine unendliche Reihe von Zimmern dar. Eine Reihe kann aber nie die Unendlichkeit darstellen, weil die Reihe selbst nur ein Teil der Unendlichkeit ist und damit in gewisser Weise statisch ist. Angenommen Hilberts Hotel würde tatsächlcih die Unendlichkeit ausfüllen so müssten unendlich viele Stockwerke nach oben, unten und zur Seite gebaut werden, um eben diese Unendlichkeit auszufüllen.Eine "Ausfüllung" mit statischen Gebilden geht aber schon deshalb nicht, weil es im Universum nichts statisches gibt. Wäre aber das Universum komplett mit Zimmern ausgefüllt, gäbe es gar kein Platz mehr für Gäste. Wo sollen die herkommen, es ist ja alles mit Zimmern belegt. Außerdem ist die Anzahl der Gäste von Natur aus begrenzt.

Eigentlich ist es nichts anderes als das Problem mit Achilles und der Schildkröte. Die künstliche Unendlichkeit wird immer wieder unterbrochen.

Wenn man jetzt wirklich. wie eingangs in diesem Thread beschrieben, die Unendlichkeit als Prozess betrachtet, so existiert real keine Unendlichkeit, weil dieser Prozess maximal ein durchlaufender Prozess sein kann. Diesen Prozess kann man aber durchaus mit einer gewissen Geisteshaltung als unendlich betrachten,obwohl er es nicht ist. Er ist durchlaufend und bietet keinen Ansatzpunkt für Anfang und Ende.

Gruß

Peter

[breaker]

All die Intervalle, die du da aufgezählt hast, haben die gleiche Kardinalzahl.

[breaker]

Es gibt zwei Arten, "Stufen des Unendlichen" mathematisch zu definieren, zum einen Kardinalzahlen, zum zweiten die damit verwandten Mächtigkeiten. Auf welche beziehst du dich?

Wovon reden wir denn hier die ganze Zeit? Von den unendlichen Mengen, oder? Soviel ich weiß sollten es also die Kardinalzahlen sein.

gruß
positive

...

[tomS]

Von mir aus betrachtet gibt es keine Kardinalzahlen denn in der Länge nach rechts gesehen habe ich 9x mehr Zahlen. Es ist doch offensichtlich, dass die Strecke 0-1 kürzer ist als die Strecke 0-10. Betrachte es mal vom handwerklichen aus.

gruß
positive

Aber man kann die Intervalle ]0,1[ und ]0,10[ mittels der Funktion f(x) = 10*x bijektiv aufeinander abbilden, daher sind beide Intervalle gleichmächtig (Längen muss man dazu gar nicht definieren). Die Mächtigkeit entspricht außerdem der der reellen Zahlen.

Und handwerklich funktioniert da leider gar nichts.

[tomS]

Du willst es nicht glauben, oder?

Hilberts Hotel hat abzählbar unendlich viele Zimmer, nicht überabzählbar viele. Du kannst aber nicht annehmen, dass es abzählbar viele Zimmer sind, wenn dir das Diagonalargument sagt, dass das einen Widerspruch erzeugt.

Etwas, das unendlich ist, kann eben doch noch unendlicher werden. Das mag nicht anschaulich sein, ist jedoch logisch zwingend und richtig.

[seeker]

da aber eine unendliche Teilmenge immer gleichmächtig zu der unendlichen Menge ist, sind die reelen Zahlen und die Natürlichen Zahlen wieder gleichmächtig.

Das ist falsch. Die ganzen Zahlen sind in der Menge der reellen Zahlen enthalten. Z ist also Teilmenge von R.
Dennoch ist R mächtiger.

Nach hinten ist das Hotel unendlich lang, es gibt kein Ende und es gibt immer freie Zimmer.

Das ist so auch nicht richtig.
Nehmen wir an, dass das Hotel zu Beginn voll belegt wäre.
Dann folgt daraus, dass es KEINE freien Zimmer gibt, nirgendwo, denn sonst wäre es ja nicht "voll belegt".
Auch wenn es kein Ende bei den Zimmern gibt, so gibt es aber auch kein Ende bei den Leuten, die schon einquartiert sind.
Das hebt sich also gewissermaßen auf.

Grüße
seeker

[Fuzzlix]

Leute! Was spricht dagegen, einfach einmal den gesunden Menschenverstand einzuschalten und zu sagen: Eine Zahl mit unendlich vielen Ziffern wird sich nicht realisieren. Wenn wir uns darüber einig sind, können wir uns fragen, ob es eine Zahl mit unendlich vielen Ziffern gibt?

JA sie GIBT es: Pi, Eulersche Zahl, transzendente Zahlen, usw.

Und wenn ich mir nun sicher bin, dass sich solche unendlichen Zahlen nicht realisieren, so kann ich sagen, sie werden sich auch nicht in meiner Vorstellung realisieren. Und wenn ich sie mir nicht einmal vorstellen kann, so kann ich auch nicht darüber reden. Ich kann nur zuschauen, wie andere sich streiten über etwas Unvorstellbares und somit Unbeschreibbares.

EDIT: Falls jemand einwenden sollte, dass, die von mir genannten Zahlen Pi, e, usw keine natürlichen Zahlen sind, so kann ich entgegnen, dass ich diese Zahlen als Bildungsvorschrift für eine natürliche Zahl nehmen kann, indem ich einfach das Komma weg lasse. So weit, so gut!. Wenn ich diese Bildungsvorschrift auf die transzendenten Zahlen anwende, bekomme ich ein Problem! Das Problem besteht darin dass es MEHR transzendente Zahlen gibt als natürliche Zahlen. (ich kann jeder natürlichen Zahl eine unbegrenzte Anzahl transzendenten Zahlen zuordnen - die Menge der transzendenten Zahlen ist mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen). Wenn ich nun also jeder transzendenten Zahl eine natürliche Zahl mit unendlich vielen Ziffern zuordnen will, erhalte ich offensichtlich einen Widerspruch denn die Menge der natürlichen Zahlen müsste dafür MÄCHTIGER als die Menge der transzendenten Zahlen sein.
Womit hinreichend bewiesen wäre, dass es keine natürlichen Zahlen mit unendlich vielen Ziffern geben kann. (Habe ich jetzt gerade eben meine Eingangsthese weggehauen? Naja das mit den singulären Aussagen muss ich noch üben )

Was ich einfach sagen will: Finger weg von Unendlichkeiten.

[tomS]

Du willst es nicht glauben, oder?

Hilberts Hotel hat abzählbar unendlich viele Zimmer, nicht überabzählbar viele. Du kannst aber nicht annehmen, dass es abzählbar viele Zimmer sind, wenn dir das Diagonalargument sagt, dass das einen Widerspruch erzeugt.

Etwas, das unendlich ist, kann eben doch noch unendlicher werden. Das mag nicht anschaulich sein, ist jedoch logisch zwingend und richtig.

Nein, du willst es nicht wahr haben, dass abzählbar unendlich nur deine Vorschrift ist, das hat nichts mit logisch zwingend zu tun. Es wird nur das Argument abzählbar unendlich unendlicher gemacht. Das wird dann überabzählbar. Also wo hört dein "unendlicherwerden" bzw. überabzählbar denn auf?

Es ist nicht meine Definition, sondern die der Mathematik seit Cantor...

... Und es hört nie auf.

[Fuzzlix]

Der Wahnsinn holt einen schneller als man glaubt.
gruß positive

Was sollte das werden? Eine Beleidigung?. Und ich dachte schon du setzt dich mit unsereren Argumenten auseinander. Naja beschäftige du dich ruhig weiter mit Unendlichkeiten. Schauen wir einmal, was dabei heraus kommt.

[tomS]

Na ja wie du siehst, ist es nicht so einfach und es hört auch nie auf... aber wenn manche meinen schon alles zu wissen, weil es die Zahlen so sagen, na dann.

In dem Umfeld weiß man vieles (exakt), und das solltest du glauben (oder verstehen). Es gibt aber auch offenen Fragen, Stichwort Kontinuumshypothese, "large cardinals", Omega-Vermutung, Auswahlaxiom, ...

[PeterM]

Nein, nein, ich verstehe es schon zum Teil und deshalb glaube ich dir das auch, ich vergleiche nur mathematische Vorstellung vs. andere Vorstellung(en)...

Da scheint doch das Problem zu liegen. Man vermischt Vorstellungen mit festgelegten Regeln der Mathematik. Man verletzt praktisch die Regeln.

Meines Erachtens kann man die Unendlichkeit auch nicht trennen. Die Unendlichkeit ist das GESAMTE. Sobald ich anfange die Unendlichkeit in Teilbereiche zu "installieren", dann verletze ich die Unendlichkeit und mache daraus eine Teilunendlichkeit. Das ist aber auch wieder so eine Vorstellung von mir, mit der nicht jeder was anfangen kann.

Gruß

Peter

[Skeltek]

Falls es einigen hilft:
Es gibt einen Unterschied zwischen einem unendlich langen Weg den man beschreiten muss oder am Anfang zwischen unendlich vielen unendlich langen Wegen wählen zu müssen, von denen fast jeder vom Ziel weg führt.
Es macht eben einen Unerschied ob Prometheus unendlich lange einen Geier von seiner nachwachsenden Leber fressen lassen muss oder ob Zeus unendlich viele solcher Strafen gleichzeitig über ihn ergehen ließe.
"Unendlicher" als Unendlich geht nicht. die Sache mit der Mächtigkeit hat eher etwas mit der Komplexität des Objektes zu tun.

[PeterM]

Die Regeln und auch die verschiedenen Vorstellung(en) sind aber wieder fester Bestandteil des menschlichen Gehirns und damit letztendlich der Natur. Unendlicher hat jetzt genausowenig ein Ende wie unendlich. Aus der Perspektive verletzt es wieder gar nichts...

Das stimmt aber nur dann, wenn du die Natur selbst für ein System hältst.

In der Natur ist aber weder die Endlichkeit noch die Unendlichkeit realisiert, weil die Natur ein systemloser "Zustand" ist.

Unendlicher ist des Weiteren meiner Ansicht nach nur ein sprachlicher Mangel. Ginge dies, dann gäbe es auch etwas endlicheres als die Endlichkeit. Geht ja auch irgendwie nicht.

Gruß

Peter

[Fuzzlix]

In der Natur ist aber weder die Endlichkeit noch die Unendlichkeit realisiert, weil die Natur ein systemloser "Zustand" ist.

Das verstehe ich nicht. Was verstehst Du unter einem System? Ohne den Begriff "System" definiert zu haben, würde ich schon unser Universum als ein (recht komplex strukturiertes) System ansehen.

Unendlicher ist des Weiteren meiner Ansicht nach nur ein sprachlicher Mangel.

Das sehe ich auch so. Ich würde sogar sagen, auf "Unendlichkeit" trifft das auch zu.

[PeterM]

@Fuzzlix

In einem System existieren nur abstrahierte Formen der Wirklichkeit. Bietet also nur Teilansichten in Form von Ausschnitten. Insofern ist die Natur über unterschiedliche zweckgebundene Systeme zwar verknüpfbar, dies aber nie vollständig. Insofern kann die von uns wahrnehmbare Natur kein System sein. Es wäre dann ein vollständiges System. Die Frage wäre dann, was wäre außerhalb dieses Systems.

Als Beispiel nimm nur einen einfachen Tisch. Der Tisch wird ja nicht in seiner Substanz erklärt, sondern in seiner Funktion. Erklärt man den Tisch in seiner Substanz (Chemisch z.B.), dann ist seine Funktion eher unbedeutend.

Ich befürchte, dass wir oft vergessen, dass Sprache auch nur ein System ist und man damit nie alles vollständig darstellen kann. Zumal man ja über Worte gar nicht die bezeichneten Objekte beschreibt, sondern die Beziehung untereinander. Die Objekte selbst isoliert man nur und gibt Ihnen damit eine Identität. Ohne Identität keine Logik usw….




@positive

Die Darstellung von Wiki betraf aber auch die Mathematik. Du hast die Natur ins Gespräch gebracht. Hier stellt sich eine etwaige Unendlichkeit schon wieder ganz anders dar. Momentan habe ich den Eindruck dass du die Mathematik mit der Natur vermengst.

Wenn du davon ausgehst, dass es verschiedenen Stufen der Unendlichkeit gibt, dann musst du sie auch systematisieren. Ich kann dir aber jetzt schon prophezeien, dass du dann an letzter Stelle eine Unendlichkeit hast, die alles umfasst.

Wie hat es Fuzzlix im Vorfeld mal formuliert? Was ist für uns realisierbar? Die Unendlichkeit ist es mit Sicherheit nicht.

Wenn man die Unendlichkeit aber als Prozess formuliert, so kommt das der Natur schon recht nahe. Das passt doch.


Gruß

Peter

[Fuzzlix]

In einem System existieren nur abstrahierte Formen der Wirklichkeit. Bietet also nur Teilansichten in Form von Ausschnitten. Insofern ist die Natur über unterschiedliche zweckgebundene Systeme zwar verknüpfbar, dies aber nie vollständig. Insofern kann die von uns wahrnehmbare Natur kein System sein. Es wäre dann ein vollständiges System. Die Frage wäre dann, was wäre außerhalb dieses Systems.
...
Ich befürchte, dass wir oft vergessen, dass Sprache auch nur ein System ist und man damit nie alles vollständig darstellen kann. Zumal man ja über Worte gar nicht die bezeichneten Objekte beschreibt, sondern die Beziehung untereinander.

Da sind wir ja beieinander, wie es scheint. Wir reden also von Aussagen-Systemen. Diese Aussagensysteme beschreiben etwas mit Begriffen, welche unserer Vorstellungswelt entstammen. Die Mathematik und die Geometrie möchte ich als ein eben solches Aussagensystem ansehen. Dabei machen wir systematische und unvermeidbare Fehler, wie wir seit Gödel wissen.

Der praxisorientierte Mathematiker weiss das und macht Fehlerrechnungen. Wenn er merkt dass die Ergebnisgenauigkeit zu schlecht ist, wechselt er - wenn möglich - die Rechenmethode.

Unendlichkeiten können irgendwo im Gedankengang auftreten, aber ich muss sie los werden, bevor ich zur Ergebnisberechnung schreite. Werde ich diese Unendlichkeiten nicht los, so wie zum Beispiel beim Versuch Pi exakt zu berechnen, so kann ich mich dem exakten Wert nur annähern, werde aber nie den exakten Wert selbst bestimmen können.

Das gleiche Problem haben wir bei beliebigen Zahlen mit unendlich vielen Ziffern. ( um auf die Eingangsfrage zurück zu kommen)

[PeterM]

Momentan habe ich den Eindruck dass du die Mathematik mit der Natur vermengst.

Ich vergleiche nur, meine Vorstellung ist konträr zu der der Mathematik da es andere Regeln sind. Mathematisch gesehen, sind es verschiedene Stufen der Unendlichkeit und das muss sprachlich auch so gesagt werden, da ansonsten die Natur selbst auch keinen Sinn mehr ergibt. Man kann/darf sich jetzt natürlich fragen, was hat sich die Natur eigentlich „dabei gedacht“, denn du systematisiert ja auch indem du im Zusammenhang mit der Unendlichkeit ALLES oder GESAMT sagst. Das sind auch Grenzen.

gruß
positive

Einen Sinn ergibt die Natur auch nicht. Wenn die Natur einen Sinn ergeben würde, dann hätten wir einen Schöpfer.

Es ist auch fraglich ob es Sinn macht über das Wesen von irgendwas zu lamentieren. Man kann natürlich über das Wesen der Zeit unendlich lange diskutieren, ohne dass man auf einen gemeinsamen Nenner kommt. Über das Wesen eine Meters zu diskutieren scheint mir von vornherein sinnlos, würde auch kaum ein vernünftiger Mensch machen. Wer fragt z.B. nach dem Wesen der Messwerte. Keiner. Warum? Weil wir Einigung darüber erzielt haben was Messwerte sind.

Was aber Sinn macht, sind eben die Systeme. Nur über Systeme haben wir die Chance etwas über die Welt zu erfahren. Wir modellieren über Systeme eine Welt, die in erster Linie mechanisch, das heißt über logisch kausale Zusammenhänge funktioniert. Systeme funktionieren nach Regeln. Jedes System hat seine eigenen Verbindungsstücke. Diese Systeme sagen aber nichts über eine in ihr verborgene Wahrheit aus, sondern sind in ihrer Umsetzung technisch oder praktisch realisierbar. Mehr können wir offenbar nicht erreichen.

Physikalische Regeln sind, wenn ich es richtig verstanden habe, nur über Inertialsysteme findbar und formulierbar. Jetzt kann man natürlich darüber diskutieren, ob Inertialsysteme in der Natur realisiert sind oder nicht. Inertialsysteme gibt es aber auch unendlich viele, wo wir dann da wieder bei der Unendlichkeit gelandet wären.

Es ist richtig, dass auch ich systematisiere. Ohne Sprachsystem z.B. würdest du mich gar nicht verstehen können. Ohne System kein Verständnis für irgendwas.

Wenn ich z.B. sage, dass die Unendlichkeit alles ist, dann ist das natürlich systemloser Unsinn. Ich hätte eigentlich formulieren müssen, dass alle in Systemen vorhandenen Unendlichkeiten logischerweise zu einer Unendlichkeit zusammengefasst werden müssen, um eine „vollständige“ Unendlichkeit zu erhalten. Mal angenommen, wir verzichten einfach mal dabei auf die Endlichkeiten. Was haben wir dann? Wir haben mit diesen zusammengefassten Unendlichkeiten wieder ein Universum was nicht beschreibbar ist. Wir hätten die Systeme liquidiert und müssten wieder von vorne anfangen. Eigentlich will ich damit sagen, dass Endlichkeiten und Unendlichkeiten nur in Systemen vorhanden sind, in der Natur aber nicht. Unsere Unendlichkeiten sind konstruiert und damit systematisierte Restposten, die keiner haben will und auch keinen Wert haben.

Welchen Wert hat z.B. eine Zahl mit unendlichen Ziffern????? Offensichtlich doch keine, schon allein deshalb weil Ziffern keine Aussagen über einen Wert machen. Ziffern sind lediglich Zeichen die man endlos aneinanderreihen kann, wenn man Lust dazu hat. Dies hätte dann aber spätestens ein Ende, wenn es keine Menschen mehr gibt.

Wenn wir aber die Unendlichkeit als durchlaufenden Prozess betrachten, dann macht sogar die Unendlichkeit wieder Sinn und hat ihren „Reiz“ verloren.

@ Fuzzkix



Gruß

Peter

[Fuzzlix]

Zu Systemlosigkeit kommt aber nur mit System. Wenn die Natur ein systemloser Zustand sein soll, warum stellen wir Systeme auf, wir sollten dann in dieser Natur doch systemlos sein. Ein Insekt, das durch Äste fliegt, schafft das auch ohne deren Anzahl zu zählen.

Ich verstehe zwar immer noch nicht ganz worauf Du hinaus willst aber ich versuche es einfach einmal: Unsere Natur soll systemlos sein? Da muss ich widersprechen. wir Menschen haben viele Aussagensysteme - zB Mathematik. Wir sind Teil der Natur. Also gibt es in der Natur Systeme -> Die Natur ist nicht systemlos!

Vielleicht liegt unser gegenseitiges Nichtverstehen auch nur an der Wahl ungeeigneter Worte. Der Begriff "System" stört mich ehrlich gesagt etwas: Er ist viel zu ungenau. Nehmen wir einmal an, Du meinst damit wirklich Aussagensysteme, also Systeme von miteinander in Beziehung stehenden Aussagen, dann muss ich im genauen Gegensatz zu Dir sagen: Über die Natur kann ich Aussagensysteme bilden - Über den Urgrund allen Seins kann ich keine (klassischen) Aussagen(-Systeme) bilden. Ich kann zwar über den Urgrund allen Seins beliebig viele Aussagen(-systeme) bilden aber diese sind nicht klassisch, das heisst ich kann deren Wahrheitsgehalt nicht überprüfen.

Wenn Du unter dem Begriff "System" erwas anderes als ich aus deinen Sätzen herauslese, verstehen solltest, so müsstest Du das bitte noch einmal genau beschreiben.

[Fuzzlix]

Ich habe nur gesagt was @PeterM eine Seite vorher sagte, dass die Natur ein systemloser Zustand wäre. Und ich was eben oben steht.

Dann habe ich Dich mistverstanden

Gruß
Fuzzlix.