mittlerer Abstand Punkt->Kugelvolumen

[tomS]

Das ist häufig so; das Newtonsche Gravitationspotential einer homogenen Kugel ist ~ 1/r im Außenraum, ~ r[up]2[/up] im Innenraum; es gibt keine vereinheitlichte Darstellung!

[positronium]

Hier zeigt sich der Unterschied der beiden Funktionen ganz deutlich:

kugel.png (4.63 KiB) 12306 mal betrachtet

Rot ist die Funktion für in der Kugel, Blau die für ausserhalb, und die gestrichelte graue Linie ist der Radius der Kugel. Beim Radius der Kugel sind die Ableitungen offensichtlich identisch.

[tomS]

Beim Radius der Kugel sind die Ableitungen offensichtlich identisch.

Ja, exakt so ist das im o.g. Bsp.

~ 1/r im Außenraum, ~ r2 im Innenraum

auch

[seeker]

Das ist häufig so; das Newtonsche Gravitationspotential einer homogenen Kugel ist ~ 1/r im Außenraum, ~ r[up]2[/up] im Innenraum

Umgekehrt - oder?

Grüße
seeker

[tomS]

Nee, nicht umgekehrt; ~ 1/r im Außenraum der Kugel, z.B. der Erde

[seeker]

Ach so, ja. Das Gravitationspotential verhält sich so.
Bei der Gravitationskraft ist es umgekehrt.

Grüße
seeker

[tomS]

Nein, bei Potential bzw. Kraft gilt ~ 1/r bzw. ~ 1/r[up]2[/up] im Außenraum sowie ~ r[up]2[/up] bzw. ~ r im Innenraum

[seeker]

Ja, jetzt! (Nur das [up]2[/up] ist umgekehrt bei der Kraft.)
Das hängt mit dem Schalentheorem zusammen:
Dass die Gravitationskraft im Inneren einer Hohlkugel und einer elliptischen Masseschale ("Eischale") gleich 0 ist, ist dabei leider anti-intuitiv.

Grüße
seeker

[tomS]

Zurück zu Positroniums letzten Beitrag: das ist also das Ergebnis für den mittleren Abstand? Wofür braucht man das?

[positronium]

das ist also das Ergebnis für den mittleren Abstand?

Ja, und entspricht damit natürlich dem Plot der Berechnung über Integrale im ersten Posting des Threads.

Wofür braucht man das?

Ich bastele ja immer auch an eigenen Ideen zur Physik herum. Von daher wirst Du das wahrscheinlich nicht wirklich ernst nehmen können: Jedenfalls vermute ich die Ausbreitung von Kräften (also, von Teilchen aus, meine ich, nicht von Ansammlungen solcher) als nicht in Abhängigkeit vom Mittelpunktsabstand, sondern vom Abstand von einem Kugelvolumen. Bei grossen Entfernungen war die reine R-Abhängigkeit eine gute Näherung; jetzt brauche ich aber eine genauere Lösung, weil ich extrem kleine Abstände betrachten möchte, wobei teils auch die Werte in der Kugel berücksichtigt werden müssen. Würde ich hier direkt auf R aufsetzen, wären die Ergebnisse sowieso falsch. Darüber möchte ich dann eine angenommene Selbstenergie der Teilchen berechnen.

[tomS]

Das ist zunächst mal ein sehr vernünftiger Ansatz und wird in der Feldtheorie genau so gemacht

[positronium]

Dann waren die Physiker schon wieder schneller als ich.

[tomS]

In (1.1) entspricht der letzte Term der Coulomb-Selbst-WW einer Ladungsverteilung.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/do ... 1&type=pdf

[positronium]

Das in der Formel ist aber doch die potentielle Energie zwischen verschiedenen Teilchen, also die paarweise Kombination aller Teilchen untereinander. Mir schwebt etwas anderes vor, nämlich eine Selbstenergie innerhalb eines Teilchens. Grob gesagt vom Prinzip her so etwas, wie man es zur Abschätzung des klassischen Elektronenradius verwandt hat, wie es auch unter http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische ... her_Radius angesprochen wird. Ergebnis der Berechnung sollte dann (ich darf träumen ) die Teilchenmasse bzw. ein Teil dieser sein.

[tomS]

Es handelt sich um die Energie einer Ladungsverteilung über den gesamten Raum. Die potentielle Energie zweier Teilchen erhält man, wenn man die Ladungsdichte als Summe zweier nicht-überlappenden Funktionen, im Grenzfall von zwei Deltafunktionen ansetzt.

[positronium]

Welche Bedeutung misst man dieser Energie bei? Gibt es dafür eine klassische Interpretation? Mit der Ruhemasse hat das aber nichts zu tun, oder?
Ich habe hier eine andere Vorstellung, nämlich von Potentialtöpfen, deren Minimum aus geometrischen Gründen nicht erreicht werden kann. Wenn man hier aber eine positive oder negative Ladung verteilt, würde sich doch diese aus sich selbst heraus ständig weiter verdünnen - im Prinzip ähnlich dem Zerfliessen der Wellenpakete, nur mit grosser Kraft. Oder verstehe ich das völlig falsch?

[tomS]

Welche Bedeutung misst man dieser Energie bei? Gibt es dafür eine klassische Interpretation? Mit der Ruhemasse hat das aber nichts zu tun, oder?

Diese Energie ist im Rahmen der QED tatsächlich ein Teil des Hamilton- bzw. des Energieoperators und trägt damit einen Teil zur Gesamtenergie und dabei wiederum (als Wechselwirkungsterm) zur Ruhemasse eines Zustandes bei.

Ich habe hier eine andere Vorstellung, nämlich von Potentialtöpfen, deren Minimum aus geometrischen Gründen nicht erreicht werden kann.

Diese Vorstellung ist im Rahmen einer Feldtheorie nicht mehr zulässig.

[positronium]

Diese Energie ist im Rahmen der QED tatsächlich ein Teil des Hamilton- bzw. des Energieoperators und trägt damit einen Teil zur Gesamtenergie und dabei wiederum (als Wechselwirkungsterm) zur Ruhemasse eines Zustandes bei.

Danke!
Aber wie wird hier die Singularität vermieden? Im Nenner steht ja nur die Norm, die gegen Null gehen kann.
Diese Energie ist doch positiv, und von daher müsste sie doch einem anziehenden Potential gleich zu setzen sein. Zieht sich dann eine positive Ladungsverteilung von Natur aus zusammen? Oder darf ich das gar nicht so sehen, und der Term ergibt sich einfach beim Übergang von der Lagrangedichte zum Hamilton-Operator?

Ich habe hier eine andere Vorstellung, nämlich von Potentialtöpfen, deren Minimum aus geometrischen Gründen nicht erreicht werden kann.

Diese Vorstellung ist im Rahmen einer Feldtheorie nicht mehr zulässig.

Dann muss ich nochmal einiges lesen...

[tomS]

Diese Energie ist im Rahmen der QED tatsächlich ein Teil des Hamilton- bzw. des Energieoperators und trägt damit einen Teil zur Gesamtenergie und dabei wiederum (als Wechselwirkungsterm) zur Ruhemasse eines Zustandes bei.

Danke!
Aber wie wird hier die Singularität vermieden? Im Nenner steht ja nur die Norm, die gegen Null gehen kann.
Diese Energie ist doch positiv, und von daher müsste sie doch einem anziehenden Potential gleich zu setzen sein. Zieht sich dann eine positive Ladungsverteilung von Natur aus zusammen? Oder darf ich das gar nicht so sehen, und der Term ergibt sich einfach beim Übergang von der Lagrangedichte zum Hamilton-Operator?

Man darf das nicht als Funktion sondern als Operator der auf Zustände wirkt verstehen; die Singularität wird dadurch vermieden, dass die Dynamik die Singularität "scheut" (in der QM hast du auch ein 1/r Potential, aber die Wellenfunktion verhält sich "anständig" und kollabiert nicht ins Zentrum; in der QM kann man das streng mathematisch beweisen: der Hamiltonoperrator mit 1/r Potential ist nach unten beschränkt; für die QFT ist ein derartiger Beweis nicht bekannt)

[positronium]

Jetzt kann ich folgen. Vielen Dank für die Erklärung!

[Skeltek]

Moment mal, Energie ist doch kein Absolutwert? Der Energieinhalt eines Raumvolumens richtet sich doch dachte ich nach der Position des Betrachters?
Man kann mit 1 kg Masse eine Singularität bilden, gegenüber der jedes Teilchen potentiell unendlich viel Energie hat?

[tomS]

Zunächst mal reden wir hier nicht über die ART.

Der sogenannte Hamiltonoperator ordnet einem Zustand (nacktes Elektron, Elektron + Positron, ...) eine Energie zu. Darin gehen verschiedene Terme ein, u.a. die WW- bzw. die Coulombenergie. Klassisch ergibt sich diese aus einem Integral über die Ladungsdichten. Natürlich ist diese Energie abhängig von Details des Zustandes sowie vom Bezugssystem.

[Skeltek]

Und was soll das jetzt heissen? Ist für die Erschaffung eines Elektrons innerhalb eines Gravitationstopfes mehr Energie nötig oder weniger?
Impuls und Energie sind aneinander gekoppelt, in einem allein räumlich versetzten Ort ist ein völlig anderer Anteil der Energie nutzbar.
Ein Elektron, das bei Annäherung an einen Gravitationstop Energie abstrahlen musste, hat dann danach mehr Energie wegen dem Bezussystemwechsel?
Ich stell ja nur Fragen = )

[tomS]

Lass' doch mal die Gravitation beiseite, sie kommt in der o.g. Betrachtung nicht vor