Mathe-Rätsel

[seeker]

Da wir, wie's scheint, gerade bei mathematischen Rätseln sind... ich hätte da auch eines (das hoffentlich noch nicht jeder kennt):
(Vergeltung muss sein, Skeltek! )

Die Erde, irgendwann in der Zeit.
Es findet eine Sonnenfinsternis statt.
Auf der Erdoberfläche ist folgendes zu beobachten:
Der Mond schiebt sich langsam über die Sonnenscheibe.
Genau dann, als der Mittelpunkt der Mondscheibe den Rand der Sonnenscheibe erreicht, ist die Fläche der Sonnenscheibe genau zur Hälfte verdeckt.

Annahmen:
Sonne und Mond erscheinen als scharf begrenze und exakte Kreisflächen.
Der scheinbare Radius R der Sonne beträgt genau 1 (wir normieren das so).

Fragen:
1. Welchen scheinbaren Radius r hat die Mondscheibe?
2. Wann in der Zeit befinden wir uns grob geschätzt (ungefähres Zeitalter, Zukunft, Vergangenheit)?

Bildlich sieht das so aus:

Sonne Mond.jpg (27.83 KiB) 4140 mal betrachtet

Viel Spaß & beste Grüße
seeker

[positronium]

Man hat zwei Kreissegmente, zu deren Berechnung man deren Radien r_S=1 und r_M sowie die Höhen braucht. Die Höhen ergeben sich aus den Schnittpunkten der beiden Kreise und deren Mittelpunkten. Ich betrachte die Sonne als Thaleskreis, wodurch sich die Seitenlängen a=2, b=r_M und c=sqrt(a^2-b^2) ergeben. Die Höhe dieses Dreiecks h=b*c/a. Damit ist über den Pythagoras die Höhe des Sonnenkreissegments h_S=sqrt(b^2-h^2). Die Höhe des Mondkreissegments h_M=r_M-h_S. Das ergibt mit der Flächenformel

und natürlich entsprechend
.
Es folgt A2=A_M+A_S. Und weil A2=pi/2 sein muss, erhält man r_M=1,15873.

sonnemond.png (9.05 KiB) 4129 mal betrachtet

Ich könnte mir aber gut vorstellen, dass es einen einfacheren Weg gibt.

Nachdem sich der Mond von der Erde weg bewegt, wird er immer kleiner. Die Konstellation sollte irgendwann in der Vergangenheit liegen. Wie weit müsste man nachrechnen...

[seeker]

Das Ergebnis ist richtig!

Ich könnte mir aber gut vorstellen, dass es einen einfacheren Weg gibt.

Ich kenne keinen einfacheren.
Man kann im Ansatz auch die andere Flächenformel für Kreissegmente wählen:

Das läuft aber auf dasselbe hinaus und wird auch nicht einfacher.

Was noch interessant ist:
Du hast das Problem am Ende numerisch gelöst. Gibt es auch eine geschlossene, exakte Lösung oder gibt es die nicht?
Was meinst du?

Grüße
seeker

[positronium]

Du hast das Problem am Ende numerisch gelöst. Gibt es auch eine geschlossene, exakte Lösung oder gibt es die nicht?
Was meinst du?

Wenn man es so rechnet, ist das Problem, dass man die Nullstelle eines komplizierten Polynoms incl. Winkelfunktionen berechnen muss.

Polynome können natürlich mehrere Nullstellen haben, und die Winkelfunktionen sind sowieso fies. Offen gesagt: Ich habe keine Ahnung, ob das bzw. so etwas nicht-numerisch möglich ist. Aber Mathematiker haben vielleicht ganz andere Ideen oder wissen hier doch eine Lösung, weil das Polynom (für den Mondradius von 0 bis 2) ja offensichtlich immer grössere Werte annimmt.

[seeker]

Ja, das sieht fies aus...
Ich glaube nicht, dass man eine analytische Lösung finden kann. Ich glaube, dass es nur numerisch geht.
Man kommt bei dieser scheinbar einfachen Problemstellung auf eine transzendente Gleichung - und das fand ich interessant.

Grüße
seeker