Konvergenzkriterien Beweisaufgabe

Beitrag von **Skeltek** » 24. Dez 2012, 16:47

Sei |a(n)| eine Folge und die Partialsumme von 1 bis n sei A(n).

Prüfen sie, ob es sich bei
lim ( (a(n+1)/a(n)) / ((n+1)/(n)) ) < 1
um eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Partialsumme für n->unendlich handelt.

Beitrag von **breaker** » 25. Dez 2012, 13:44

Ich gehe davon aus, dass
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\,\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\cdot\frac{n}{n+1}$
gemeint war. Wenn man den Betrag weglässt, ist die Aussage sicherlich falsch.

Ich setze als bekannt voraus:

Wenn lim(c[down]n[/down]) und lim(b[down]n[/down]) existieren und b[down]n[/down] für alle n ungleich 0 ist, dann gilt
lim(c[down]n[/down] / b[down]n[/down]) = (lim(c[down]n[/down])) / (lim(b[down]n[/down])).

Setze

$c_n=\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\cdot\frac{n}{n+1}$ und

$b_n=\frac{n}{n+1}$

Nach Voraussetzung ist lim(c[down]n[/down])<1 und man sieht leicht, dass lim(b[down]n[/down])=1.
Aus dem oben zitierten Lemma folgt nun
$\lim \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim (c_n/b_n) = \frac{\lim c_n}{\lim b_n}=\frac{\lim c_n}{1}<1$ .

Damit folgt die Konvergenz der Reihe aus dem Quotientenkriterium.
(d.h. es folgt absolute Konvergenz der Reihe $\Sigma a_n$ und damit Konvergenz der Reihe $\Sigma |a_n|$ .)

Frohe Weihnachten.

Beitrag von **breaker** » 27. Dez 2012, 23:36

War das eigentlich eine Frage, die Du dir selbst gestellt hast, oder nur eine Aufgabe zur allgemeinen Unterhaltung?

Beitrag von **Skeltek** » 28. Dez 2012, 01:29

Bin seit einiger Zeit dabei einen unentscheidbaren Grenzfall zu konstruieren, aber ich bekomme ständig etwas wo ich mir nicht sicher bin, ob die Summe bzw Funktion nun logarythmisch ist oder nicht.
In jedem Fall wächst sie langsamer als jede konstuierbare Log-Funktion, bin aber nicht in der Lage eine obere Schranke zu determinieren. Weiss noch nicht so genau wie ich das einordnen soll.
Hatte auf ein paar falsche Antworten gehofft die mich auf neue Ideen bringen = )
Melde mich wieder, wenn ich Zeit hab weiter auszuarbeiten.
Schönen Gruß & Danke für dein Beitrag

Beitrag von **breaker** » 28. Dez 2012, 11:12

Weiß nicht genau, ob ich dich richtig verstanden habe, aber wenn mein Beweis stimmt, dann ist es völlig egal, ob man n/(n+1) nimmt oder irgendwas anderes, das schneller oder langsamer gegen 1 konvergiert. Solange der Zusatzfaktor gegen 1 konvergiert, funktioniert der obige Beweis und man hat ein Kriterium für absolute Konvergenz.

Beitrag von **Skeltek** » 29. Dez 2012, 02:41

Ja, für lim(A) = lim( (a(n+1))/(a(n)) ) <= q <1 hast du auch recht.

Allerdings glaube ich muss es Fälle geben für lim(A)=1, für die es nicht entscheidbar ist.

So wie
(1+1/n)^n = e
ergibt(man kann es nicht auf 1^n=1 reduzieren), kann man das jedoch nicht so pauschal sagen.

Beitrag von **breaker** » 29. Dez 2012, 17:24

Was meinst du mit "unentscheidbar"?
Wenn lim(a[down]n+1[/down] / a[down]n[/down])=1 gilt, kann man mit dem Quotientenkriterium nie entscheiden, ob die Reihe konvergiert. Das heißt aber nicht, dass die Frage der Konvergenz unentscheidbar ist; es bedeutet nur, dass diese eine Methode nicht funktioniert.

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