Aufgabe zum Würfel

[Skeltek]

Hallo alle miteinander

Damit ihr mal wieder etwas zum knobeln habt dachte ich stelle ich einmal eine Aufgabe hier rein, die es dieses Jahr bei uns an der Hochschule als kleine Preisaufgabe gab:

Ein Würfel der Kantenlänge 1 rotiere um eine seiner Hauptdiagonalen. Er rotiert also um eine zwischen zwei gegenüber liegenden Eckpunkten gespannte Achse.

Wie groß ist das Volumen des Rotationskörpers. Also wieviel Platz braucht der Würfel mindestens um sich ungehindert um die Achse drehen zu können?
Die Aufgabe ist nicht ganz leicht, aber mit Grundlagen eines ersten Semesters oder mit gutem mathematischen Verständnisses/geometrischen Vorstellungsvermögens durchaus lösbar.

Wer die Lösung gefunden zu haben glaubt kann diese gerne per PM an mich schicken; ich werde dann später auf Wunsch die Antworten in der Reihenfolge des Eingangs hier posten.

[seeker]

Schöne Sache!
Nicht so leicht wie zuerst gedacht...
Hab dir ne PN geschickt.

Grüße
seeker

[tomS]

ich hab mich auch schon vertan

[gradient]

Hallo Skeltek,

vielen Dank für die schöne Aufgabe. Meine (erste) Lösung ist auch falsch.

MfG
Patrick

[Skeltek]

2 richtige Lösungen sind gestern abend fast zeitgleich eingetroffen = )
(Abstand 9 Minuten)

[seeker]

Das obere und das untere Drittel des Rotationskörpers ist trivial zu berechnen (Kegel).
Schwierig ist das mittlere Drittel.

Mein Ansatz ging so:

Ich betrachte den Würfel von oben (Draufsicht) und drehe eines der unteren Ecken (P1) direkt nach vorne:

Würfel oben.jpg (22.13 KiB) 9914 mal betrachtet

Dann zeichne ich ein Koordinatensystem ein:

Würfel KS.jpg (29.96 KiB) 9914 mal betrachtet

Ich schneide das untere Drittel des Würfels ab, indem ich sage h(P1) = 0.
Zur Bestimmung des Volumens des mittleren Drittels des Rotationskörpers muss ich zunächst eine Gleichung r(h) für die Strecke zwischen P1 und P2 finden
Ich bestimme die x- und y-Radius-Komponenten rx und ry der Punkte P1 und P2 und berechne daraus über die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung zwei Gleichungen rx(h) und ry(h). Mit diesen beiden Gleichungen berechne ich über den Pythagoras r(h):

r(h)[up]2[/up] = rx(h)[up]2[/up] + ry(h)[up]2[/up]

Nachdem r(h)[up]2[/up] bestimmt ist, integriere ich und erhalte über V = Pi * Integral [r(h)[up]2[/up] dh] das Volumen des mittleren Drittels.
Der Rest ist wieder einfach.

Frage: Ist mir im Ansatz ein Fehler eingeschlichen, insbes. bei den Werten der Punkte P1 und P2 bei rx und ry (die im 2. Bild zu sehen sind)?

Grüße
seeker

[positronium]

Soweit ich das sehe, stimmt alles, nur hast Du zu erwähnen vergessen, dass die Geradengleichung P1->P2 für h=0 P1 und h=1/sqrt(3) P2 liefern muss - ersteres ergibt sich aus Deinem Ansatz sowieso und für P2 ist natürlich zu skalieren.


Kennt jemand eine Möglichkeit ohne zu integrieren?
Wenn man den Mittelteil als durch einen Torus beschnitten betrachten würde, und es eine Herleitung für einen Torusabschnitt entlang des grossen Umfangs gäbe...

[seeker]

Soweit ich das sehe, stimmt alles, nur hast Du zu erwähnen vergessen, dass die Geradengleichung P1->P2 für h=0 P1 und h=1/sqrt(3) P2 liefern muss - ersteres ergibt sich aus Deinem Ansatz sowieso und für P2 ist natürlich zu skalieren.

Hast du Recht. Damit kann man die Rechnung überprüfen.

Kennt jemand eine Möglichkeit ohne zu integrieren?

Ich glaube nicht, dass das geht.

Ich dachte zuerst der Rotationskörper würde in der Mitte einen doppelten Kegelstumpf bilden und hatte dann zuerst falsch ("konventionell") gerechnet.
Er sieht aber überraschenderweise von der Seite her im Prinzip so aus:

Würfel Seite.jpg (26.58 KiB) 9906 mal betrachtet

Die Kurve in der Mitte ich auch kein Kreis, sondern eine Parabel.

Ich konnte ein V nach obigem Lösungsweg errechnen, das aber wohl falsch ist (V(Ges) = 1,9415663, V(Mitte) = 1,1354333).
Nun suche ich nach dem Fehler.

Grüße
seeker

[positronium]

Ich dachte zuerst der Rotationskörper würde in der Mitte einen doppelten Kegelstumpf bilden und hatte dann zuerst falsch ("konventionell") gerechnet.

Ja, ich auch.

Er sieht aber überraschenderweise von der Seite her im Prinzip so aus:

Hab's gerade geplottet:

wuerfel1.png (2.66 KiB) 9904 mal betrachtet

wuerfel2.png (14.96 KiB) 9904 mal betrachtet

wuerfelanim.gif (43.13 KiB) 9904 mal betrachtet

Die Kurve in der Mitte ich auch kein Kreis, sondern eine Parabel.

Ich hatte eher zum Kreis tendiert, aber Du hast Recht.

Ich konnte ein V nach obigem Lösungsweg errechnen, das aber wohl falsch ist (V(Ges) = 1,9415663, V(Mitte) = 1,1354333).
Nun suche ich nach dem Fehler.

Ich habe es jetzt nicht nachgerechnet, aber Dein Lösungsweg sollte eigentlich nicht schwer zu rechnen sein - Du musst wohl irgend einen Leichtsinnsfehler gemacht haben. Ich würde es so schreiben:
P(h) = P1 + (P2-P1) / (1/3 sqrt(3)) * h
Dann den Pythagoras
sqrt(Px^2+Py^2)
und integrieren...

[Skeltek]

Ich kann in dein zweites Bild zwei Linien einzeichnen wenn es euch anschauungstechnisch etwas hilft.
Solange es euch Spaß macht und ihr das Gefühl habt euer 3d-Vorstellungsvermögen kommt auf Touren will ich euch den Spaß nicht nehmen. Andererseits bevor es anfängt zu nerven oder so sagt bescheid...
Lg

[positronium]

@seeker: Dein Ansatz funktioniert, wenn ich die beiden Formeln aus meinem letzten Posting verwende. Es kann also nur eine Kleinigkeit sein.

[seeker]

@positronium:
Großes Kino, was du da gschwind an Plots aus dem Ärmel schüttelst!
Und du hattest Recht: Ich habe inzwischen einen blöden Fehler beim Einsetzen in die Stammfunktion gefunden.

@Skeltek:

Ich bin mir immer noch sicher, dass meine Funktion r(h) für den Mittelteil des Körpers stimmt:



bzw.



(Dazu hast du mir noch nix gesagt...)

Das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse beträgt:



Man kann dort einsetzen und erhält:



Ich komme nun (nachdem der gefundene Rechenfehler korrigiert wurde) auf



wobei dann mit



und





herauskommt.

Stimmt das nun endlich?
Falls nicht, wäre es echt hilfreich, wenn du das richtige Ergebnis bekannt machen würdest.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Ja,

r(h)^2 = 2h^2 -2/sqr(3)*h +2/3

verwirrt mich noch etwas, da ich grade nicht weiß, welcher Ausdruck sich worauf genau im Schaubild bezieht, aber das Ergebniss ist richtig.

Ich hatte das Nullniveau einfach genau in die Mitte gesetzt und dann r^2= r(0)^2 + s^2 gesetzt, wobei s der Kante des Würfels aus der Draufsicht entspricht.
Dann nach s integriert von -sqrt(2)/2 bis sqrt(2)/2.
Das Integral dann mit dh/ds=(1/sqrt(3))/(1/sqrt(2)) multipliziert(s ist der horizontale Anteil der Kante, h der vertikale Anteil der Kante).
Die Integrationsgrenzen ändern wäre im Grunde genommen der gleiche Vorgang.
Das Ergebniss ist Pi/sqrt(3).

Ein relativ einfaches und schönes Ergebniss für eine so komplexe Rechnung = )

3D mit Draufsicht

Würfel.jpg (25.9 KiB) 9882 mal betrachtet

Hier hat es das Schaubild unten abgeschnitten, bitte herunter scrollen.

Wie man sieht kann man den Radius r(s)=sqrt(2+s²) in direkte Abhängigkeit zu r(h) setzen. Integriert man r(s) nach s mit den Integrationsgrenzen -1/sqrt(2) bis 1/sqrt(2) bekommt man einfach ein kleineres Volumen, da sich die beiden Integrationsgrenzen um den Faktor dh/ds unterscheiden.

[seeker]

Das Ergebniss ist Pi/sqrt(3).

Ein relativ einfaches und schönes Ergebniss für eine so komplexe Rechnung = )

Ja, ein sehr schönes Ergebnis!
Ich hatte das nicht gesehen, dass 1,8137... = Pi/sqrt(3) ist.

...verwirrt mich noch etwas, da ich grade nicht weiß, welcher Ausdruck sich worauf genau im Schaubild bezieht, aber das Ergebniss ist richtig.

Wir sind irgendwie anders vorgegangen.
Wenn du den Nullpunkt in die Mitte setzt ist das evtl. eleganter.
Deine Formel für r(h) sollte dann gleich dem hier sein:



Wenn man das ausrechnet, muss deine r(h)-Formel herauskommen.
Es muss dieselbe Formel sein, nur um 1/6 sqrt(3) nach links verschoben.

Edit:
Ich hab's ausgerechnet.
Es kommt heraus:



(bei Nullpunkt in der Mitte)


Ich bin von deiner Lösung auch noch verwirrt:

r[down]0[/down](h) ist bei dir doch nicht sqrt(2) sondern 1/2 * sqrt(2). sqrt(2) gibt es schon, aber halt schräg herunter gesehen (die gestrichelte Linie in deinem Schaubild, in 3D). Du rechnest irgendwie mit nem Integral einer schrägen Linie und kommst erst am Ende zu r(h), irgendwie anders herum als ich.
Aber gut, ich glaube, wir lassen's gut sein...
Jedenfalls eine sehr schöne Aufgabe!

Beste Grüße
seeker

[Skeltek]

Naja, der Vollständigkeitshalber fänd ichs gut wenn du es verstehst ^^
Vielleicht hilft ja das hier:

Würfel Diagonale.jpg (30.47 KiB) 9828 mal betrachtet

Übrigens hast du mich bei meinem Erklärungsversuch gerade noch auf eine wirklich gute Idee gebracht bevor ich das Thema abhacken wollte, das Volumen als Teilvolumen eines viel größeren Körpers zu betrachten, wodurch sich glaube ich eine recht einfache Formel ergeben sollte = )
Gruß