Eine spezielle Fakultätsfunktion

[monarch87]

Hey Leute ich sag es von vornerein am besten

Hab einen ähnlichen Post bei matheplanet gepostet, aber ich wills auch gerne mit euch diskutieren mit gravi und seeker und so !

Ich schau mir grad Fakultäten an und hab überlegt und gesucht, ob man sich folgende Art der Fakultätenaddition von Zahlen sich schon mal angeschaut hat:

wenn x sagen wir 3 ist bedeutet das für die Funktion:

A(f)=1/f mit f=3

->

A(f)=1/3!+ 1/(3!)!+1/3!!!+...= 1/6 +1/6! +1/720! usw...

Und die fakultäten Reihen beispielsweise von A(f)=f mit f=3; 3!+3!!+3!!!... steigen auch schneller als 3^3^3^3 die exponentiellen Reihe

gibt es dazu irgendwas bzw wenn ihr Lust hab können wir ne Zahentheoriediskussion draus machen

mfg m87

[tomS]

Also du definierst



Man kann das mittels der Gamma-Funktion umschreiben, wobei diese nicht nur für natürliche Zahlen sondern für komplexe Zahklen definiert ist: Γ(n+1) = n!



Das ergibt für reelle z mit n>1 eine extrem schnell konvergente Reihe. Für bestimmte Zahlenwerte wird die Reihe divergent sein, insbs. für die Fixpunkte Γ(n) = 1 → Γ(Γ(n)) = 1 → ...

Man kann noch eine Abkürzung einführen, nämlich Γ[down]k[/down](z) = Γ(Γ(...Γ(z)...)) wobei die Gammafunktion k-fach angewandt wird.

Dann kann man schreiben



Bevor man die gesamte Reihe betrachtet, würde ich die Iteration der Gammafunktion selbst über der komplexen Ebene studieren. Das ist eine algemeine Iterationsvorschrift mittels einer Funktion f(z) wie man sie z.B. von der Mandelbrotmenge und anderen Fraktalen her kennt, nämlich z → f(z) wobei f(z) hier der Gammafunktion entspricht, also z → Γ(z)

Ich würde der Form halber noch einen Parameter c einführen und die allgemeinere Vorschrift z → Γ(cz) betrachten. Das hat nicht mehr viel mit deiner ursprünglcihen Funktion zu tun, aber ich finde diese Iteration analog zur Mandelbormenge für wesentliche interessanter. Wenn du ein Computerprogramm zur Berechnung der Mandelbormenge hast, dann kannst du (mit einem geeigneten Mathematikpaket) sofort die dort verwendete Funktion durch Γ ersetzen und direkt die entstehende Menge betrachten.

[tomS]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Pl ... 2C+5%7D%5D+

[monarch87]

Danke!! Das Programm hab ich, muss es nur noch bisschen besser verstehen. Werds mir genauer anschauen ,bald hab ich ja auch endlich "urlaub" . Nochma danke für die ausführliche Antwort!

[Skeltek]

Ich definiere mal:
F(1)=1!
F(2)=2!!
F(13)=13!!!!! !!!!! !!!

F(n)= n(!^n)
Ich denke die Zunahmen sprengen so einige Funktion ^^

[monarch87]

aber der Kehrwert würde doch schnell konvergieren oder

[monarch87]

und einige sp. F-Funktionen gehen ja in andere rüber:
!sp= spezielle Fakultätsfunktion

3!sp => 6!sp usww

3!sp geht also in 6!sp rüber, wodurch wir uns theoretisch diese reihe sparen können, bzw beim Kehrwert bsp 1/6!sp => 1/3!sp -1/3!

Es können also ein Großbereich von sp F-Funktionen von Zahlen weggelassen werden.

Von vorne rein kann man sagen, dass keine Fakultätsfunktion Primzahlen ausspuckt, ausser wenn man mit Primzahlen anfängt.
Dennoch gehen auch sp F-Funkt. mit Primzahlen als "Primor"(erster eingesetzter Wert) in sp F-Funkt. von anderen Zahlen über ? (vermute ich nur)

Dann könte man noch vergleichen zwischen sp.FF für alle Zahlen und nur für Primzahlen + die Kehrwerte dieser- ich belass' erstma dabei


mfg m87