Ok, angenommen, wir wollen
berechnen und wir wissen, dass
.
Dann können wir schreiben:
})
)
Der exakte Wert ist
. Daher ist unser Ergebnis noch nicht sooo berauschend. Wenn wir wollen, können wir einfach noch einen Term hinzunehmen und bekommen:
^2+... \right))
Schon besser, aber man sieht, die Reihe konvergiert langsam.
Wie man die Methode erheblich verbessern kann, sieht man, wenn man sich kurz überlegt, was wir eigentlich gemacht haben:
Wir haben die Zahl 7 zerlegt, als 4(1+3/4), weil wir aus 4 leicht die Wurzel ziehen können und wir dann den Rest
mit der bekannten Taylorreihe ausrechnen können. Die ersten Terme der Taylorreihe von
liefern natürlich immer bessere Werte, je kleiner x ist, daher kann man sich fragen, ob man die Zahl 7 nicht vielleicht geschickter zerlegen kann, sodass der Term in der Klammer (1+(was sehr kleines)) lautet. Probieren wir's:
})
)
Hier gibt also schon der lineare Term der Taylorreihe einen besseren Wert, als der zweite Term der vorherigen Reihe.
Würde man den zweiten noch dazu nehmen, hätte man schon 2,64814...
Je kleiner man das x im
-Term kriegt, desto besser funktioniert die Methode und man braucht vllt nur den ersten Term der Reihe (den man tatsächlich gut im Kopf ausrechnen kann). Bei höheren Zahlen als 7 bekommt man so schon sehr gute Annäherungen.
Beispiel:
=9,\overline 1)
(exakter Wert: 9.1104335791443...)
ists ne unendliche Reihe??
