Peano-Axiome

[Pippen]

Die Peano-Axiome scheinen mir unvollständig. Da wird davon gesprochen, dass n einen Nachfolger n' hat.

1. Woraus ergibt sich, dass "n" Zahlen sein sollen und nicht "Kühlschränke", "Schlagertitel von Helene Fischer", Winkelsummen oder sonstwas?

2. Es wird in den Peano-Axiomen auch nichts dazu gesagt, wie sich dieser Nachfolger n' berechnet. Das ist aber mE sehr wichtig, sonst kann man daraus keine Zahlentheorie ableiten. Woher also nimmt der Mathematiker seine Erkenntnis, dass zB 1 der Nachfolger von 0 ist und 2 der Nachfolger von 1 und nicht von 0? Da brauch man doch weitere Axiome...wieso hat die Peano nicht gleich mit aufgestellt?

[rick]

Also ich hatte die Axiome so in Errinerung, das dort explizit

gesetzt wird. Trotzdem könntest du natürlich auch mit Kühlschränken rechnen, vorausgesetzt es gibt unendlich viele unterschiedliche und du kannst jeden Kühlschrank eine natürliche Zahl zuordnen ;D.


Es wird zumindest gesagt, welche Eigenschaften der Nachfolger hat, das reicht aus.

[Skeltek]

Daß n einen Nachfolger hat ist keine Herleitung. Das sind Axiome, also Annahmen, die als wahr angenommen werden. Jede Theorie muss von Annahmen ausgehen, die man nicht weiter hinterfragen kann. Das ist wie den Grund für das Universum zu suchen. Jeder Grund hat einen vorausgehenden Grund, jedes logische und widerspruchsfreie System ist letztlich ein Zirkelschluss.
-> Die natürlichen Zahlen(wie sie heute in der Mathematik verwendet werden) sind ein Konstrukt, das keine Verbindung zur Realität als Anspruch verlangt oder das zu repräsentieren behaupten, was jeder individuellen Mensch als Zahl oder Menge wahrnimmt erhebt.
in der Mathematik werden viele Konstrukte entworfen in denen dann zusammenhänge und Relationen analysiert oder endeckt werden. Wenn dieses Konstrukt sich ähnlich wie ein Sachverhalt in der Realität verhält, hat man auch noch einen praktischen Nutzen davon und kann Rückschlüsse entsprechend ziehen.
kein Konstrukt muss seine eigenen Axiome beweisen oder widerlegen.

[Pippen]

Also ich hatte die Axiome so in Errinerung, das dort explizit

gesetzt wird. Trotzdem könntest du natürlich auch mit Kühlschränken rechnen, vorausgesetzt es gibt unendlich viele unterschiedliche und du kannst jeden Kühlschrank eine natürliche Zahl zuordnen ;D.


Es wird zumindest gesagt, welche Eigenschaften der Nachfolger hat, das reicht aus.

Eben nicht. Die Peano-Axiome (siehe bei wikipedia) setzen die nat. Zahlen schon voraus und sagen nichts dazu, wie man von n zum Nachfolger n' kommt. MaW: Es muss noch andere Axiome geben, welche die Peano-Axiome ergänzen. Welche sind das?

[tomS]

Ich denke, die Peano-Axiome setzen eine Klassenlogik oder Mengenlehre voraus. Wichtig dabei ist, dass die natürlichen Zahlen nicht vorausgesetzt werden sondern im Zuge der peanoschen Axiomatisierung eingeführt werden.

Im Rahmen der der formalen Mengenlehre kann man eine Zahl als die Mächtigkeit einer Menge definieren. Man geht aus von der leeren Menge {} und bezeichnet deren Mächtigkeit als |{}| = 0, d.h. 0 ist die Eigenschaft, die allen leeren Mengen zueigen ist. Die Zahl Eins erhält man aus der Menge, die nur die leere Menge enthält, also { {} } mit |{ {} }| = 1. Damit sind Zahlen nur noch Eigenschaften von Mengen, wobei diese generisch bleiben, d.h. es ist egal, ob es sich um Kühlschränke oder Badehosen handelt.