ich habe seit vielen Jahren immer wieder mal folgende Problemstellung untersucht. Man zeichne einen Kreis vom Radius r[down]2[/down]=1. Anschließend zeichne man in diesen Kreis ein gleichseitiges Dreieck, so dass der Kreis den Umkreis bildet. Man berechnet den Radius des Inkreises zu
Man fahre weiter fort, indem man diesem neuen Dreieck wieder einen Inkreis einbeschreibt und diesen nun als Umkreis eines gleichseitigen Vierecks ansieht. Der Radius des Inkreises dieses Vierecks ergibt sich zu
Den Inkreisradius berechnet man recht einfach durch geometrische Überlegungen rechtwinkligen Dreiecken im jeweiligen Inkreis.
Damit gilt allgemein
Nun berechnet man den Inkreisradius für den Fall, dass n gegen unendlich geht, also
Numerisch findet man
Frage 1: kennt jemand eine analytische Ableitung dieser Zahl?
Zunächst kann man eine einfache Umformung durchführen, nämlich den Logarithmus dieser Zahl definieren. Man erhält
Nun verallgemeinere ich die Definition etwas, indem ich nämlich eine Funktion einer Variablen a definiere
Frage 2: kennt jemand eine geschlossene Darstellung dieser Funktion?
So, daran habe ich immer wieder rumgebastelt, diverse Transformationen vorgenommen, komplexe Kurvenintegrale und Residuensatz angewandt, nichts. Nun habe ich einmal die Funktion geplottet und mir ist aufgefallen, dass sie sich - zumindest für kleine a - ziemlich perfekt durch eine quadratische Gleichung darstellen lässt. Ich habe dann mal die Taylorentwicklung dieser Funktion bis zum quadratischen Term betrachtet; man sieht leicht, dass der konstante und der lineare Term verschwinden. Für den quadratischen Term erhalte ich
Mit der Riemannschen Zeta-Funktion.
Hat jemand weitere Ideen dazu? Ich finde diese Funktion (die auf einer einfachen geometrischen Überlegung beruht) ziemlich interessant, aber ich sehe keinen Weg, wie ich ihr mathematisch weiter zu Leibe rücken kann.
