Hyperraumgeometrie

[tomS]

Ich wollte im folgenden einige einfache geometrische Überlegungen anstellen, die zeigen, wie sich in höheren Dimensionen die Dinge teilweise seltsam entwickeln ... Diese Überlegungen sind keinesfalls neu (man könnte sagen, geklaut) und sie sind keinesfalls irgendwie besonders schwierig. Eigentlich reicht Schulmathematik und der Satz des Pythagoras.

Betrachten wir eine quadratische Anordnung von Kreisen. Die Kreise sollen Radius 1 haben und ihre Mittelpunkte sollen an den Ecken eines Quadrates mit den Koordinaten (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) liegen. Zwischen die vier Kreise passt ein kleinerer Kreis; dieser hat den Mittelpunkt im Koordinatenursprung bei (0,0).

Welchen Radius hat dieser Kreis?

Zunächst berechnen wir den Abstand des Mittelpunktes von einer Ecke, z.B. der bei (1,1). Für den Abstand s gilt gemäß des Satzes des Pythagoras



also



Der Radius des kleinen Kreises um den Mittelpunkt bei (0,0) ist so zu wählen, dass er die vier umgebenden Kreise gerade berührt. D.h. der Radius r ist gleich dem Abstand s minus dem Radius der vier Kreise:



Nun verallgemeinern wir das auf D Dimensionen. Die Hyperkugeln sitzen dann immer an den Ecken eines Hyperwürfels; diese Ecken haben die Koordinaten (1,1,...,1), (1,1,...,-1), ..., (-1,-1, ...,-1). In drei Dimensionen kann man sich das noch ganz gut vorstellen; man setzt die Kugeln einfach an die acht Ecken eines Würfels.

Zwischen die Hyperkugeln (2^D Stück in D Dimensionen) passt eine weitere Hyperkugel; diese hat den Mittelpunkt im Koordinatenursprung bei (0,0,...,0).

Welchen Radius hat diese Hyperkugel?

Zunächst berechnen wir wieder den Abstand des Mittelpunktes von einer Ecke, z.B. der bei (1,1,...,1). Für den Abstand s gilt gemäß des Satzes des Pythagoras (in D Dimensionen)



also



Der Radius der Hyperkugel um den Mittelpunkt ist so zu wählen, dass sie die umgebenden Hyperkugeln gerade berührt. D.h. der Radius ist gleich dem Abstand s minus dem Radius 1 der Hyperkugeln :



Betrachten wir nun den Fall für D=4; es gilt



In 4 Dimensionen ist also die im Zentrum sitzende Hyperkugel exakt gleich groß wie die Hyperkugeln an den Ecken des Hyperwürfels. Und der Radius dieser Hyperkugel wächst mit der Dimension D weiter an und wird größer als der Radius der Hyperkugeln an den Ecken. Insbs. wird die Hyperkugel auch größer als der Hyperwürfel, denn der hat ja Kantenlänge Eins. D.h. ab D=5 ragen die "Kugelkalotten" über den Hyperwürfel hinaus!

Nachtrag: Man kann auf diese Weise eine Art Kristallgitter konstruieren: zunächst setzt man an alle Punkte, für die die Koordinaten (x,y) beide ungerade sind Hyperkugeln mit Radius 1. Dann setzt man an alle Punkte, für die die Koordinaten (x,y) beide gerade sind ebenfalls Hyperkugeln. Zunächst ist der Radius kleiner als 1; in D=4 beträgt der Radius dieser Hyperkugeln ebenfalls 1, d.h. man kann eine identische Kopie des ursprünglichen Gitters in die Leerräume setzen; alle Kugeln berühren sich gegenseitig. In höheren Dimensionen dürfen die Radien nicht wie oben angegeben wachsen, denn sonst würden sich die Hyperkugeln des zweiten Gitters gegenseitig durchdringen, deren Mittelpunkt sind sind ja z.B. (0,0,...) und (0,2,0,...).

Nachtrag 2: man kann nun einen weiteren Hyperwürfel betrachten, nämlich den, der die o.g. Hyperkugel vollständig enthält (in drei Dimensionen kann man sich vorstellen, dass ein Würfel der Kantenlänge zwei acht Kugeln mit Durchmesser eins enthält; betrachtet man diesen Würfel von der Seite, so sieht man, dass zwischen den Kugeln kleine Lücken sind, durch die man bis ins Zentrum blicken kann). Nun untersuchen wir den Fall D=9. Es gilt



D.h. dass ab der Dimension 9 die innere Kugel durch diese (immer größer werdenden) Lücken nach außen dringt und sogar größer wird als der Hyperwürfel, der die äußeren Kugeln vollständig enhält!

[tensor]

In 4 Dimensionen ist also die im Zentrum sitzende Hyperkugel exakt gleich groß wie die Hyperkugeln an den Ecken des Hyperwürfels. Und der Radius dieser Hyperkugel wächst mit der Dimension D weiter an und wird größer als der Radius der Hyperkugeln an den Ecken. Insbs. wird die Hyperkugel auch größer als der Hyperwürfel, denn der hat ja Kantenlänge Eins. D.h. ab D=5 ragen die "Kugelkalotten" über den Hyperwürfel hinaus!

Bis zum sechsdimensionalen Fall ist im beschriebenen Fall das Volumen des Hyperwürfels größer als das der Hypelkugel.

Das Volumen des Hyperwürfels beträgt wegen Kantenlänge 2



und das der Hyperkugel

mit Radius beträgt



Im siebendimensionalen Fall beträgt das Verhältnis von Hyperkugel zu Hyperwürfel im beschriebenen Fall etwa

und im achtdimensionalen Fall etwa



Im n-dimensionalen Raum kann es schon recht bizarr und exotisch zugehen.

Gruß
tensor

[tomS]

Hey Tensor; danke dass du das ausgerechnet hast; ich hatte das auch vor :-)

Im letzten Beitrag haben wir ein Gitter kennengelernt, wo jede Kugel an ein den Eckpunkten der im Gitter gedachten Würfel saß. D.h. die Gittervektoren hatten Koordinaten (x,y) mit x und y ungerade. Allgemein kann man dieses Gitter durch zwei Vektoren definieren, nämlich (1,1) und (1,-1). Alle Gittervektoren ergeben sich daraus durch Linearkombinationen mit ganzzahligen Koeffizienten. Dann haben wir dieses Gitter auf mehrere Dimensionen verallgemeinert und in vier Dimensionen einen Spezialfall kennengelernt.

Nun betrachten wir ein Gitter, wobei die gedachten Hyperkugeln nicht an den Ecken sondern an den Kanten der Hyperwürfel sitzen. In drei Dimensionen wird dieses Gitter durch zwei Gittervektoren definiert: (1,-1,0) und (0,1,-1). Erlaubt sind nun alle ganzzahligen Kombinationen dieser Gittervektoren, sowie auch alle Spiegelungen; z.B. erhält man den Punkt (-1,1,0) als das negative des ersten, den Punkt (1,1,0) als Spiegelung der y-Richtung des ersten usw. In drei Dimensionen sieht man leicht, dass die Punkte alle an den Kanten der Würfel sitzen. Außerdem kommt (im Gegensatz zum ersten Gitter) noch der Koordinatenursprung (0,0,0) hinzu.

In Dimensionen D>3 funktioniert die Verallgemeinerung recht einfach, in dem wir die Gittervektoren (0,…,0,1,-1,0,…) sowie wiederum alle Linearkombinationen und Spiegelungen zulassen.

Wir betrachten nun den Abstand zweier benachbarter Punkte; er beträgt offensichtlich



Außerdem gilt für die Länge eines Gittervektors ebenfalls



Diese beiden Ergebnisse sind unabhängig von der Dimension.

Nun wollen wir wieder eine weitere Hyperkugel in unser Gitter hineinbasteln; die Frage ist nur, wohin? Am Koordinatenursprung sitzt bereits eine Kugel, d.h. wir probieren etwas exotischeres, nämlich den neuen Gittervektor

(-½,-½,…,½,½,…)

Dabei treten ½ und -½ jeweils D/2 mal auf, d.h. das Ganze funktioniert nur wenn D geradzahlig ist (ungeradzahlig funktioniert etwas anders, aber das brauchen wir hier nicht).

In zwei Dimensionen kann man das einfach zeichnen, man erhält ein zweites Gitter, das gegenüber dem ersten jeweils um ½ verschoben ist. Allerdings ist das entstehende Gitter „unsymmetrisch“, da die Abstände innerhalb des ersten und des zweiten Gitters anders sind als die zwischen dem ersten und dem zweiten Gitter. Wir wünschen uns also, dass das resultierende Gitter insgs. vollkommen symmetrisch ist, d.h.
- alle Gittervektoren haben die selbe Länge
- alle benachbarten Punkte haben denselben Abstand (= alle Hyperkugeln haben identischen Radius)

Daraus folgt, dass für die Länge des neuen Gittervektors ebenfalls gilt



Einsetzen ergibt



Es gibt aber D dieser Summanden ½ und wir erhalten



D.h. in acht Dimensionen (und nur in acht!) können wir eine identische Kopie des ersten Gitters in das zweite hineinlegen, so dass das resultierende Gitter völlig symmetrisch ist!!!

Wir haben also die folgenden 7+1 Gittervektoren

(1,-1,0,…)
…
(0,…,1,-1)
(-½,-½,-½,-½,½,½,½,½)

------------------------------

Zuletzt betrachten wir noch die Winkel zwischen den Gittervektoren; zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gittervektoren ist der Winkel 120°; zwischen allen anderen Gittervektoren ist der Winkel 90°, mit Ausnahme zwischen Vektor 4 und Vektor 8, denn hier gilt

(0,0,0,1,-1,0,0,0) * (-½,-½,-½,-½,½,½,½,½) = -½ - ½ = -1

D.h. wir erhalten wiederum einen Winkel von 120°.

Nach einer Umnummerierung der Vektoren zeichnen wir ein einfaches Diagramm wie folgt:
- für jeden Vektor einen Punkt
- für jeden Winkel von 120° eine Verbindungslinie
- für jeden Winkel von 90° keine Verbindungslinie

Das Ergebnis lautet

e8.jpg (1.32 KiB) 308-mal betrachtet

Spätestens jetzt sollte breaker stutzig werden …

[breaker]

Ja, stutzig schon, aber mehr auch nicht
Das wird wohl das Dynkin-Diagramm der e8 sein, aber ich hab leider von Dynkin-Diagrammen zuwenig Ahnung (und von der e8 noch weniger), um die Konstruktionsregel von hier irgendwie mit der Konstruktionsregel für das Dynkin-Diagramm einer Lie-Algebra in Verbindung zu bringen.
Aber dennoch sehr interessant

[tomS]

Ja, du hast recht, das ist das Dynkindiagramm der e8!

In knappen Worten kann man sagen, dass eine Untermenge der Generatoren einer Lie-Algebra als Vektoren interpretiert werden kann, die ein Kristallgitter aufspannen; die Beziehungen zwischen diesen Vektoren werden in dem Dynkin-Diagramm kodiert (aus dem sich tatsächlich die gesamte Lie-Algebra rekonstruieren lässt). Das e8 Gitter sowie die e8 Algebra sind außergewöhnlich. Die e8 Algebra ist die größte exzeptionelle Lie-Agebra, das e8-Gitter ist das einzige, das die o.g. Konstruktion zulässt. Darüberhinaus kann man auch die Kugelpackungen betrachten, die über die Gittern definiert werden; dabei stellt man fest, dass in allen Dimensionen < 9 die dichteste Kugelpackung durch ein Gitter definiert ist, das einer Lie-Algebra entspricht. Die Serie endet mit e8, da es keine e9 mehr gibt! Erst wieder in 24 Dimensionen taucht eine extrem dichte Kugelpackung auf, die auf dem sogenannten Leech Lattice basiert, dem aber keine Lie-Algebra entspricht.

lattice.JPG (29.09 KiB) 294-mal betrachtet

Man kann versuchen, die obige Konstruktion eines Gittervektors mit (-½,-½,…,½,½,…) auf höhere Dimensionen zu übertragen. Es funktioniert nicht! Das beste, was man erhält sind z.B. Gitter in hyperbolischen Räumen u.ä. Diese korrespondieren nicht zu Lie- sondern zu unendlich-dimensionalen Kac-Moody Algebren.

Die e8 hat zwei weitere interessante Eigenschaften:

Jede Lie-Algebra definiert eine Lie-Gruppe und diese operiert auf Vektorräumen; z.B. operiert die SO(3) als dreidimensionale Rotationsgruppe auf dem dreidimensionalen Raum. Was ist nun der kleinste Vektorraum, auf dem die E8 Lie-Gruppe operiert? Der Vektorraum der Lie-Algebra e8!!! D.h. die einfachste Definition der E8 ist über die E8 definiert.

Eine andere seltsame Eigenschaft ist die Verbindung mit den Oktonionen. Man betrachte dazu die reellen Zahlen R,die komplexen Zahlen Cund die Quaternionen QLetztere sind soetwas wie "vierdimensionale komplexe Zahlen", die man durch 2*2 Matrizen darstellen kann. Man kann mit ihnen addieren, multiplizieren und dividieren, allerdings ist die Multiplikation nicht mehr kommutativ, d.h. das Produkt a*b ist i.A. nicht gleich b*a. Geht es noch weiter? Ja, es gibt noch eine Erweiterung, nämlich die "achtdimensionalen Oktonionen" O, auf denen ebenfalls eine Division definiert ist. Allerdings ist die Multiplikation schon sehr seltsam, as giltnämlich kein Assoziativgesetz mehr, d.h. a*(b*c) ist i.A. nicht gleich (a*b)*c. Dies verhindert auch die Darstellung der Oktonionen als Matrizen. Jenseits der Oktonionen endet diese Konstruktion, denn alle weiteren Versuche führen immer auf Strukturen, in denen es Fälle gibt mit a*b=0, obwohl weder a noch b selbst gleich 0 sind. Interessanterweise ist die E8 eine Symmetrie der okto-oktonionischen projektiven Ebene (O*O)P², allerdings kennt niemand die Definition dieses mathematischen Gebildes, ohne dazu die E8 heranziehen zu müssen ...

[tomS]

Es gibt übrigens einen erstaunlichen Zusammenhang zwischen dem Leech-Gitter in 24 Dimensionen und der Stringtheorie in 26 Dimensionen. Dazu muss man zunächst ein Gitter konstruieren, das im Minkwoski-Raum lebt, d.h. dass die "Länge" eines Vektors nicht durch a² + b² + c² + ... gegeben ist, sondern durch -a² + b² + c² + ...

Man führt dazu einen 25-dimensionalen Vektor x im 26-dimensionalen Minkowski-Raum ein:

x = (70, 1, 2, 3, ... 24)

Berechnent man dessen "Länge", so findet man

-70² + 1² + 2² + 3² + ... + 24² = 0

m.W.n ist dies die einzige derartige Folge natürlicher Zahlen 1, 2, 3, ..., für die die Summe eine Quadratzahl (hier speziell 70²) ergibt. Aus diesem Gittervektor kann man nun durch bestimmte Operationen das 24-dimensionale Leech-Gitter im euklidschen Raum erzeugen. Das Leech-Gitter hat einige interessante Eigenschaften, u.a. eben dass es zu einer extrem dichten Kugelpackung führt. Im Gegensatz zu anderen oben vorkommenden Gittern existiert jedoch keine zugehörige Lie-Algebra ...

[wilfried]

Tag zusammen

innerhalb der Eichtheorieen gibt es die abstrakte Eichsymmetrie. (Eichkonstanten von physik. Größen (Fundament für die elementaren Gesetze) und für die partielle Vereinheitlichung der Grundkräfte mit der speziellen Reletivitätstheorie. Quentenfeldtheorie.

Einige der ich sag mal spekulativen Fortsetzungen dabei sind:

1. die geometrische Supersymmetrie . Das ist die vereinheitlichung der Elementarteilchen in einem 8-dimensionalem Hyperraum.
Stichworte dazu: Kaluza-Klein-Theorie. Diese spricht über diese Vereinheiltlichung jedoch in einem 11-dimensionalen HR.

2. die eichtheoretische Supergravitationstheorie. Hier wird die Vereinheitlichung der der goßen Vereinheitlichten Theoorie "GVT" und der der aus der ART bekannten Schwerkraft.
Darin wird die Quantengeometrodynamik QGD beschrieben, diese beschreibt die Vereinheitlichung der Grundkräfte mit it den Elemtarteilchen. Sie nutzt ebenfalls einen 11-dimensionalen Hyperraum. Di QGD zielt auf Vereinheitlichung der Relativitätstheorie mit der Quantenmechanik.

Die Probleme, welche hier aufgetaucht sind, werden in folgenden Punkten angesiedelt:

1.
- Chiralität (auf Deutsch: Händigkeit)
- Paritätsverletzung

beides bezgl. der schwachen Kernkraft. Diese fordert eine ungerade!! Zahl der Raumdimensionen. Auch unser 3-D RaUm gehört hier hinein.

Problemfeld in Zusammenhang mit der 11-Dimensionalität ist: eine Dimension daraus ist die Zeit. Alle anderen sind die geforderten Raumdimensinen und diese sind hier geradzahling!

2.

Bei unendlich großen Termen, die bei der Vereinheitlichung in Zusammenhang mit der den Anomalien, svorkommen. Soll heißen: der Zusammenbruch von Symmetrie als auch Erhaltungssätzen bei ihrer quentenmechanischen Umformulierung ist hier angesprochen.

Weitere spekulative Lösungen werden sich ergeben, wenn die Planck Dimensionen eingebracht werden.

Was antworten unsere Hyperraum Spezialisten darauf?

Sind diese Spekulationen so beschaffen, daß wir sie bald als Teil ener Theorie ansehen können. Was fehlt? Wo liegen die Kriterien?

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Magst du dazu einen eigenen Beitrag "Hyperraumgeometrie in der Physik" aufmachen? Ich wollte hier eigentlich rein mathematisch argumentieren.

[tomS]

Ein völlig anderes Beispiel, wie sich die Mathematik in höherdimensionalen Räumen ändert, erkennt man anhand der Borsuk-Vermutung.

Die Aufgabe besteht darin, einen "verallgemeinerten Körper", d.h. in n Dimensionen eine n-dimensionale Menge an Punkten in Körper mit kleinerem Durchmesser zu zerlegen. In einer Dimension muss einfach eine Strecke zerlegt werden; dies erfolgt durch die Zerschneidiung, z.B. in zwei halbe STrecken,. Dadurch wird der Durchmesser (= die Länge der Strecke) halbiert. In zwei DImensionen recith ein Halbieren eines Kreises nicht, denn der "Durchmesser" der beiden halben Kreise bleibt entlang des alten Durchmessers gleich; statt dessen benötigt man z.B. drei Tortenstück-ähnliche Teile.

DIe Borsuk-Vermutung (1933) lautet nun, dass man in n Dimensionen immer n+1 Teile ausreichen, d.h. dass diese n+1 Teile auch echt kleineren Durchmesser haben.

Es gab einige Beweise für 4 - 6 Dimensionen, aber keinen echten Fortschritt im allgemeinen Fall, bis ...

Jeff Kahn und Gil Kalai Gegenbeispiele fanden. Sie konstruieren n-dimensionale Mengen, deren Ecken alle an den Ecken eines (n+1)-dimensionalen Hyperwürfeld liegen, also so etwas wie "n-dimensionale Diagonalflächen". Bsp.:

x₁ = (0,1,0,0,1,0,0,1,...)
x₂ = (0,1,1,0,0,0,1,1,...)

Der Abstand dieser beiden Ecken ist gemäß dem n-dimensionalen Pythagoras

|x₂ - x₁|² =
(0-0)² + (1-1)² + (0-1)² + (0-0)² + (1-0² + ... =
0² + 0² + 1² + 0² + 1² + ...

Dabei tragen nur die Stellen in den beiden Vektoren bei, wo sich die Einträge (entweder 0 oder 1) unterscheiden.

Es zeigt sich sich nun, daß sich für bestimmte Konstruktionen die Mindestanzahl N der Teilstücken wie



verhält. Dies ist aber größer als n+1, wenn n im Bereich von 10000 liegt. Damit wird die Borsuk-Vermutung ab ca. 10000 falsch! Man hat inzwischen aber schon Gegenbeispiele im Bereich von ca. n=300 konstruiert.

[wilfried]

Tag Tom

Magst du dazu einen eigenen Beitrag "Hyperraumgeometrie in der Physik" aufmachen? Ich wollte hier eigentlich rein mathematisch argumentieren.

Ja gerne. Das mache ich dann. Ich wollte mit meinem kleinen Exkurs ja auch erst mal Eure Meinung "abklopfen".

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

ich habe in meinem ersten Beitrag noch einen "Nachtrag 2" geschrieben

[tensor]

Nachtrag 2: man kann nun einen weiteren Hyperwürfel betrachten, nämlich den, der die o.g. Hyperkugel vollständig enthält (in drei Dimensionen kann man sich vorstellen, dass ein Würfel der Kantenlänge zwei acht Kugeln mit Durchmesser eins enthält; betrachtet man diesen Würfel von der Seite, so sieht man, dass zwischen den Kugeln kleine Lücken sind, durch die man bis ins Zentrum blicken kann). Nun untersuchen wir den Fall D=9. Es gilt



D.h. dass ab der Dimension 9 die innere Kugel durch diese (immer größer werdenden) Lücken nach außen dringt und sogar größer wird als der Hyperwürfel, der die äußeren Kugeln vollständig enhält!

Der Hyperwürfel auf dessen Ecken die Hyperkugeln sitzen hat die Kantenlänge 2. Ein Hyperwürfel, der die Hyperkugeln enthält, hat eine Kantenlänge von 4. Im neundimensionalen Fall würde die innere Hyperkugel die Oberfläche des umfassenden Hyperwürfels berühren und erst im zehndimensionalen Fall durchstoßen.

Das Volumen des umfassenden Hyperwürfels beträgt im zehndimensionalen Fall 1048576 und dass der inneren Hyperkugel etwa 5697, trotz der Größe des Radius. Der Radius wird bei wachsender Dimensionszahl aber immer größer, während die Kantenlänge gleichbleibt.

Im hundertdimensionalen Fall beträgt der Radius 9, das Volumen des Hyperwürfels mit Kantenlänge 4 etwa 1,61*10⁶⁰ und das der Hyperkugel etwa 6,29*10⁵⁵, im tausenddimensionalen Fall beim Hyperwürfel 1,15*10⁶⁰² und bei der Hyperkugel 3,41*10⁶⁰⁰.

Gruß
tensor

[tomS]

Hallo tensor,

danke für deine Korrektur bzgl. D=9 und D=10.

Mir ist insbs. die Schlussfolgerung wichtig:

Man hat einen Hyperwürfel, an dessen Ecken die Hyperkugeln sitzen (die sich gerade berühren). Außerdem hat man einen zweiten Hyperwürfel, der die Hyperkugeln vollständig umschließt. Man stelle sich dazu einfach einen gewöhnlichen Würfel vor, in den man acht kleine Kugeln hineinpackt, die würfelförmig angeordnet sind. Nun konstruiert man eine weitere Hyperkugel im Zentrum dieser Anordnung, die die gegebenen Hyperkugeln gerade berührt.
Ab D=5 ist diese zentrale Hyperkugel größer als die gegebene Hyperkugeln.
Ab D=10 durchdringt die zentrale Hyperkugel sogar den äußeren Hyperwürfel, der die anderen gerade umschließt (wobei sie aber die gegebenen Hyperkugeln weiterhin nicht durchdringt, sondern berührt)

k.jpg (24.54 KiB) 244-mal betrachtet

Ich hoffe, das Bild macht das nochmal klar. Es handelt sich um die blaue, mittlere Kugel. Ab D=5 ist sie größer als die anderen Kugeln, obwohl sie diese gerade berührt; ab D=10 ist sie größer als der durch die anderen Kugeln aufgespannte Würfel und tritt sozusagen durch die Zwischenräume nach draußen.

[tensor]

Ab D=5 ist diese zentrale Hyperkugel größer als die gegebene Hyperkugeln.
Ab D=10 durchdringt die zentrale Hyperkugel sogar den äußeren Hyperwürfel, der die anderen gerade umschließt (wobei sie aber die gegebenen Hyperkugeln weiterhin nicht durchdringt, sondern berührt)

Das n-dimensionale Volumen der zentralen Hyperkugel ist erst ab D=7 größer als das des Hyperwürfels, auf deren Ecken die Hyperkugeln mit Radius 1 sitzen. Ab D=5 ist der Durchmesser größer als die Kantenlänge. Ab D=10 ist dann der Durchmesser der zentralen Hyperkugel größer als die Kantenlänge des umschließenden Hyperwürfels.

Selbst bei D=1000 ist bezüglich des n-dimensionalen Volumens der umschließende Hyperwürfel immer noch wesentlich größer als die zentrale Hyperkugel.

Bei D=10000 hingegen ist die zentrale Hyperkugel um etwa den Faktor 10⁹⁶ (eine 1 mit 96 Nullen)größer als der umschließende Hyperwürfel. Hier beträgt das n-dimensionale Volumen des umschließenden Hyperwürfels etwa 3,98*10⁶⁰²⁰ und das der zentralen Hyperkugel etwa 2,99*10⁶¹¹⁶.

Gruß
tensor

[tomS]

Ich habe jetzt endlich ein Bild gefunden und oben eingefügt.

Nochmal danke an Tensor für die Rechnungen.