Betrachten wir eine quadratische Anordnung von Kreisen. Die Kreise sollen Radius 1 haben und ihre Mittelpunkte sollen an den Ecken eines Quadrates mit den Koordinaten (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) liegen. Zwischen die vier Kreise passt ein kleinerer Kreis; dieser hat den Mittelpunkt im Koordinatenursprung bei (0,0).
Welchen Radius hat dieser Kreis?
Zunächst berechnen wir den Abstand des Mittelpunktes von einer Ecke, z.B. der bei (1,1). Für den Abstand s gilt gemäß des Satzes des Pythagoras
also
Der Radius des kleinen Kreises um den Mittelpunkt bei (0,0) ist so zu wählen, dass er die vier umgebenden Kreise gerade berührt. D.h. der Radius r ist gleich dem Abstand s minus dem Radius der vier Kreise:
Nun verallgemeinern wir das auf D Dimensionen. Die Hyperkugeln sitzen dann immer an den Ecken eines Hyperwürfels; diese Ecken haben die Koordinaten (1,1,...,1), (1,1,...,-1), ..., (-1,-1, ...,-1). In drei Dimensionen kann man sich das noch ganz gut vorstellen; man setzt die Kugeln einfach an die acht Ecken eines Würfels.
Zwischen die Hyperkugeln (2[up]D[/up] Stück in D Dimensionen) passt eine weitere Hyperkugel; diese hat den Mittelpunkt im Koordinatenursprung bei (0,0,...,0).
Welchen Radius hat diese Hyperkugel?
Zunächst berechnen wir wieder den Abstand des Mittelpunktes von einer Ecke, z.B. der bei (1,1,...,1). Für den Abstand s gilt gemäß des Satzes des Pythagoras (in D Dimensionen)
also
Der Radius der Hyperkugel um den Mittelpunkt ist so zu wählen, dass sie die umgebenden Hyperkugeln gerade berührt. D.h. der Radius ist gleich dem Abstand s minus dem Radius 1 der Hyperkugeln :
Betrachten wir nun den Fall für D=4; es gilt
In 4 Dimensionen ist also die im Zentrum sitzende Hyperkugel exakt gleich groß wie die Hyperkugeln an den Ecken des Hyperwürfels. Und der Radius dieser Hyperkugel wächst mit der Dimension D weiter an und wird größer als der Radius der Hyperkugeln an den Ecken. Insbs. wird die Hyperkugel auch größer als der Hyperwürfel, denn der hat ja Kantenlänge Eins. D.h. ab D=5 ragen die "Kugelkalotten" über den Hyperwürfel hinaus!
Nachtrag: Man kann auf diese Weise eine Art Kristallgitter konstruieren: zunächst setzt man an alle Punkte, für die die Koordinaten (x,y) beide ungerade sind Hyperkugeln mit Radius 1. Dann setzt man an alle Punkte, für die die Koordinaten (x,y) beide gerade sind ebenfalls Hyperkugeln. Zunächst ist der Radius kleiner als 1; in D=4 beträgt der Radius dieser Hyperkugeln ebenfalls 1, d.h. man kann eine identische Kopie des ursprünglichen Gitters in die Leerräume setzen; alle Kugeln berühren sich gegenseitig. In höheren Dimensionen dürfen die Radien nicht wie oben angegeben wachsen, denn sonst würden sich die Hyperkugeln des zweiten Gitters gegenseitig durchdringen, deren Mittelpunkt sind sind ja z.B. (0,0,...) und (0,2,0,...).
Nachtrag 2: man kann nun einen weiteren Hyperwürfel betrachten, nämlich den, der die o.g. Hyperkugel vollständig enthält (in drei Dimensionen kann man sich vorstellen, dass ein Würfel der Kantenlänge zwei acht Kugeln mit Durchmesser eins enthält; betrachtet man diesen Würfel von der Seite, so sieht man, dass zwischen den Kugeln kleine Lücken sind, durch die man bis ins Zentrum blicken kann). Nun untersuchen wir den Fall D=9. Es gilt
D.h. dass ab der Dimension 9 die innere Kugel durch diese (immer größer werdenden) Lücken nach außen dringt und sogar größer wird als der Hyperwürfel, der die äußeren Kugeln vollständig enhält!
