Hyperraumgeometrie

[tomS]

Noch eine Idee: Man betrachte ein kubisches Gitter in n Dimensionen. Die Gitterpunkte haben also alle ganzzahlige Koordinaten (x₁, x₂, x₃, ...x_n). Gegeben sei nun ein Stab der Länge z (ebenfalls eine ganze Zahl). Die Frage ist, ob man diesen Stab so in das Gitter legen kann, dass Anfangs- und Endpunkt auf einen Gitterpunkt zu liegen kommen, wobei der Stab natürlich nicht parallel zu den Gitterlionien liegen soll.

Mit dem n-dimensionalen Pythagors erhält man also eine Gleichung für die Länge des Stabes:

z² = x₁² + x₂² + x₃² + ... + x_n²

DIe Frage ist, in welcher Dimension n und für welche Länge z es jeweils Lösungen gibt.

In zwei Dimensionen handelt es sich um die pythagoräischen Zahklentripel, z.B. 5² = 3² + 4², d.h. ein Stab der Länge 5 würde mit seinem Anfangs- bzw. Endpunkt an den Koordinaten (0,0) bzw. (3,4) zu liegen kommen. Andererseits sind natürlich viele Zahlen nicht so darstellbar, z.B. gibt es keine Lösung für z=3. In genügend großen Dimensionen ist das Problem dagegen immer lösbar, denn man kann ja jede Zahl z darstellen als

z² = 1² + 1² + ... + 1²

mit z² Summanden vom Wert 1. Das ist natürlich langweilig.

Eine verwandte Frage lautet also: Ist jede Quadratzahl z² darstellbar als Summe von n Quadratzahlen? Das ist jetzt keine Frage aus der Geometrie sondern aus der Zahlentheorie.

[tensor]

Wenn man n keine Beschränkungen auflegt, dann ist jede Quadratzahl darstellbar als Summe von n Quadratzahlen.

siehe

z² = 1² + 1² + ... + 1²

Gruß
tensor

[tomS]

Es gibt auch eine Satz, nachdem jede Zahl als Summe von vier Quadratzahlen darstellbar ist. D.h. ab n=4 ist die Aufgabe immer nicht-trivial lösbar.

[tomS]

Noch eine Eigenart des dreidimensionalen Raums: Man kann nur in drei Dimensionen ein Vektorprodukt definieren! Von einem Vektorprodukt erwartet man, dass zwei n-dim. Vektoren "multiplikativ" auf einen dritten n-dim. Vektor abgebildet werden. Außerdem soll die gewöhnliche Addition von zwei Vektoren funktionieren. Eine derartige Struktur nennt man "Algebra", bekannte Beispiele sind die reellen und die komplexen Zahlen sowie Matrizen.

Im Falle des Vektorproduktes stellt sich heraus, dass dieses eng mit den Quaternmionen zusammenhängt. So wie man die reellen zu den "zweidimensionalen" komplexen Zahlen erweitern kann, indem man eine imaginäre Einheit mit i² = -1 hinzufügt, so kann man auch die "vierdimensionalen" Quaternionen durch das Hinzufügen von drei derartigen Einheiten mit i² = j² = k² = -1 definieren. Außerdem kann man die Quaternionen über die Einheitsmatrix sowie die Pauli-Matrrizen darstellen. Leider ist die Multiplikation nicht mehr kommutativ, d.h. für zwei Quaterniuonen q₁ und q₂ gilt i.A. nicht q₁q₂ = q₂q₁. Nun haben die Quaternionen vier Dimensionen entsprechend der Basiselemente 1, i, j, k; das Vektorprodukt erhält man aus Quaternionen, die ausschließlich auf der Basis i,j,k aufbauen, für also die 1-Komponente Null ist. Letztlich liegt das an der Multiplikationsregel für die i, j, k bzw. für die Pauli-Matrizen.

Für das Vektorprodukt zweier Vektoren gilt



Für die Pauli-Matrizen gilt



Bis auf das "i" sind diese beiden Algebren strukturell gleich.

Man kann nun die Pauli-Matrizen auch auf mehr Dimensionen verallgemeinern; warum also funktioniert das mit dem Vektorprodukt nicht? Der Grund ist, dass die Quaternionen eines sogenannte (nullteilerfreie) Divisionsalgebra darstellen. D.h. dass aus q₁q₂ = 0
immer folgt, dass entweder q₁ oder q₂ selbst Null ist. Damit ist die Multiplikation über den QUatermionen invertierbar und es gibt ein eindeutiges inverses Element, so dass q₁ (q₁)^-1 = 1.

Diese Eigenschaft der Nullteilerfreiheit, d.h. der Existenz einer Divisionsalgebra gilt nur in den Dimensionen 1, 2, 4 - und 8!!! Entsprechend erhält mit die reellen Zahlen R, die komplexen Zahlen C, die Quaternionen H - und die Oktonionen O!!!

Letztere lassen sich ähnlich wie die Quaternionen über die Hinzunahme von sieben Elementen zu den reellen Zahlen definieren, wobei die Quaternionen enthalten sind. IN den sieben "zusätzlichen DImensionen" existiert soetwas wie ein Vektorprodukt im 7-dim. Raum. Aber die Oktonionen sind nicht assoziativ, d.h. die bekannte Gleichung a(bc) = (ab)c gilt hier nicht! Nun ist aber die gewöhnliche Matrizenmultiplikation immer assoziativ, d.h. die Oktonionen lassen sich auch nicht als Matrizen darstellen!

Aus der Existenz der Oktonionen folgt nun eine Reihe ganz bemerkenswerter Strukturen:
0) wie erwähnt eine Art Vektorprodukt auf der 7-dim. Unterstruktur dr Oktonionen
1) auf der 7-dim. Kugeloberfläche S⁷ existieren nicht-diffeomorphe Strukturen, d.h. es gibt verschiedene S⁷, die topologisch identisch, jedoch bzgl. dre Differentialrehcnung unterschiedlich sind
2) die Lie-Gruppe E8 kann als Symmetriegruppe über einer oktonionischen Struktur aufgefasst werden; genausowenig wie man die Oktonionen erweitern kann, kann man eine E9 konstruieren

Bei gewöhnlichen Matrizen "misst" man die Kommutativität über den Kommutator [a,b] = ab-ba; für die Oktonionen definiert man entsprechend der Assoziator [a,b,c] = (ab)c - a(bc). Interessanterweise gibt es für "gewöhnliche" Lie-Gruppen ein Skalarprodukt, das unter der Lie-Gruppe invariant ist. Für die E-Gruppen kann man etwas ähnliches konstruieren, allerdings benötigt man dazu drei (und nicht wie beim Vektorprodukt zwei) Objekte. Derartige 3-Invarianten findet man auch in Eichtheorien für die E8, die wiederum aus der Stringtheorie resultieren. Letztere kann man zur sogenannten M-Theorie erweitern, wobei in dieser die Verallgemeinerung einer Lie-Algebra Verwendung findet, die ebenfalls statt des Kommutators ein aus 3 Objekten zusammengesetztes Gebilde benutzt.

Man weiß heute noch nicht genau, was man da entdeckt hat; die Mathematik ist hier dabei, die Spitze eines Eisberges in sieben bzw. acht Dimensionen zu erforschen ...

[tensor]

Das mit dem Assoziator ist ja interessant. Bisher habe ich hinsichtlich Vertauschungsrelationen nur von Kommutatoren und Antikommutatoren gelesen.

Es sei bemerkt, dass Oktonionen das Flexibilitätsgesetz erfüllen.

Es gilt



Zudem gelten für die Oktonionen die schärferen Moufang-Identitäten



und



Gruß
tensor