Geometrisches Problem mit regelm. Vielecken

[seeker]

Nachdem ihr mir meinen Kopf zum Rauchen gebracht habt, hätte ich hier mal ein geometrisches Problem für euch.
Vielleicht hat einer Lust, sich das mal anzuschauen?

Ich bin neulich von einer technischen Fragestellung auf eine interessante geometrische Frage gestoßen:

Nehmen wir ein regelmäßiges Vieleck, also eine Figur, bei der die Seitenlängen und die Innenwinkel alle gleich sind, z.B. ein gleichseitiges Dreieck oder ein Quadrat.
Die Seitenlänge der Figur oder der Radius des Umkreises soll gleich 1 sein (je nachdem was euch lieber ist).

Jetzt sollen von jedem Eckpunkt dieser Figur ausgehend jeweils gleich lange Strecken gezeichnet werden.
Die Streckenlänge darf dabei frei zwischen 0 und 10 gewählt werden (sie kann evtl. noch etwas länger sein).
Jede dieser Strecken soll unterschiedlich und beliebig frei drehbar um ihren jeweiligen Eckpunkt sein. Ich kann also mit den Endpunkten der Strecken gleich große Kreise um den jeweiligen Eckpunkt zeichnen.
Wichtig ist, dass die Strecken gleich lang sein müssen sich nicht überschneiden dürfen.

Jetzt sollen die Strecken so gedreht werden, dass ihre Endpunkte auf einer beliebig einzuzeichnenden Geraden genau so zum Liegen kommen (diese berühren), dass der Abstand zwischen zwei Endpunkten auf der Geraden immer gleich ist.
Die Gerade darf beliebig eingezeichnet werden. Wie sie eingezeichnet wird, ist völlig egal.
Sie darf auch das Vieleck schneiden. (Jedoch nicht die Eckpunkte des Vielecks und auch nicht die Strecken, was aber eh nicht möglich ist.)

Beispiel:
Bei einem gleichseitigen Dreieck erhalten wir so z.B. 3 Strecken, die eine Gerade mit ihren Endpunkten an 3 Punkten P1, P2, P3 berühren. Die 3 Anfangspunkte der Strecken liegen auf den drei Eckpunkten des Dreiecks, die 3 Endpunkte liegen auf der Geraden.
Der Abstand x1 auf der Geraden zwischen P1 und P2 soll dort genau so groß sein, wie der Abstand x2 zwischen P2 und P3.

Die Bedingung ist also: x1 = x2 = x3 … = xn

Ich hätte ein Bild rein gestellt, ich weiß aber immer noch nicht genau, wie das geht.

Jedenfalls kann man mit Zirkel und Lineal leicht zeigen, dass so eine Gerade bei einem gleichseitigen Dreieck und auch bei einem Quadrat existiert.

Jetzt kommt meine Frage:

Existiert so eine Gerade auch bei einem regelmäßigen Neuneck?
Falls nein: Wie viele Ecken darf die symmetrische Figur, bei der noch mindestens eine solche Gerade existiert, maximal haben?

Viele Grüße
seeker

[tomS]

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[seeker]

Hier ist das Beispiel mit dem Dreieck.
Ich bin mir nicht mehr sicher, ob es auch eine Lösung bei einem Quadrat gibt, bei dem sich die Strecken nicht überschneiden.
Also: Zur Not dürfen sich die Strecken auch überschneiden.

Grüße
seeker

Beispiel gleichseitiges Dreieck

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