Die Delta-Funktion

Beitrag von **kostja** » 20. Jun 2010, 12:13

breaker hat geschrieben:Ich schreib das mal hier rein, weil ich für die Frage nicht extra einen neuen Thread aufmachen will.

Ich wollte fragen, ob jemand vielleicht brauchbare Literatur zu topologischen Aspekten von Distributionenräumen kennt.
Ich suche beispielsweise seit Tagen nach einem Beweis, dass die Räume $\mathsc{D(\Omega)}$ und $\mathsc{E(\Omega)}$ reflexiv sind und finde nirgendwo etwas. Wäre toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte...

Reflexivität hängt vom Dualraum ab. Und dazu musst Du erst eine Topologie angeben.
Aber D(\Omega) wird wohl nicht reflexiv sein. Das Symbol E(\Oemga) kenne ich nicht.

Gruß
Konstantin

Beitrag von **breaker** » 20. Jun 2010, 18:14

Oh, das hat sich inzwischen erledigt...

Die Räume D(Omega) und E(Omega) sind beide reflexiv, das folgt, soweit ich herausgefunden hab, aus dem Satz von Mackey-Arens (steht in den meisten Funktionalanalysis-Büchern).

Der Raum $\mathsc{E}(\Omega)$ ist der Raum $C^\infty(\Omega)$ mit einer Topologie als lokalkonvexer Raum, die von den Halbnormen

$p_{K,\alpha}(\phi)=\sup_{x\in K}|\partial_\alpha\phi(x)|$
(K kompakte Teilmenge von Omega, alpha ein Multiindex, dh. $\partial_\alpha$ ist irgendeine gemischte partielle Ableitung)

erzeugt wird. Mit dieser Topologie ist $\mathsc E(\Omega)$ reflexiv.

Man kann nun den Raum $\mathsc{D}_K(\Omega):=\{\phi\in \mathsc{D}(\Omega)|supp(\phi)\subset K\}$ definieren. Dieser ist mit der induzierten Topologie von E(Omega) (also den auf D[down]K[/down] eingeschränkten Halbnormen) vollständig (sogar ein Fréchet-Raum).

Eine vernünftige Topologie auf D(Omega) zu definieren, ist gar nicht so leicht. Es zeigt sich, dass D(Omega) vollständig wird, wenn man zur Erzeugung der Topologie alle Halbnormen auf D(Omega) nimmt, deren Einschränkung auf jedes D[down]K[/down](Omega) (dort) stetig ist.
Das gibt einem eine lokal konvexe Topologie und mit dieser ist D(Omega) reflexiv.

Ich gebe zu, das hätte man vielleicht dazu schreiben sollen

Beitrag von **kostja** » 20. Jun 2010, 19:37

Hallo Frank!

Schön, dass Du hier noch was dazu geschrieben hast. Hab wieder etwas dazu gelernt.

Gruß
Konstantin

Beitrag von **breaker** » 20. Jun 2010, 19:50

Ja, war ein recht glücklicher Zufall, dass Du gerade jetzt danach gefragt hast. Ich muss nämlich übermorgen genau darüber einen Seminarvortrag halten, deshalb hab ich das gerade parat.

Ja, Distributionen sind ganz schön, wenn man sie mathematisch sauber behandelt. Und das ist natürlich gerade für Physiker interessant.

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