Das große Fermat Problem

[Skeltek]

Hallo Leutz,

vor kurzem bin ich mal wieder über ein älteres Problem gestolpert, das mich bereits in der Schulzeit beschäfftigt hatte und einige Jahre später aus meinem Kopf nach und nach verschwand. Es geht ums große Fermat Problem.

x^n + y^n = z^n
Die Annahme war ja, dass diese Gleichung für keine Kombination x,y,z natürlicher Zahlen eine Lösung besitzt, falls n>2.

Also zum Beispiel für x³+y³=z³ soll es keine Kombination natürlicher Zahlen geben, für die die Gleichung eine Lösung besitzt.
Vor einiger Zeit jedoch habe ich gehört, dass Andrew Wiles den Beweis für diese 350 Jahre alte einfache Annahme nun letztendlich gefunden hat.
Kennt sich damit hier irgendjemand aus bzw könnte es grob erläutern? Soweit ich weiss, soll es nur eine handvoll Mathematiker geben, die behaupten den Beweis vollständig zu verstehen, aber eine grobe Abhandlung für den Leien wäre sicherlich auch was nettes = )


Werde hier später nochmal was hinzufügen, wenn ich morgen nach Hause komme.

Viele Grüße, Skel

[tomS]

Erstmal nur ganz kurz: ich bin sicher keiner derjenigen, die das tatsächlich verstehen. Nur soviel:

Andrew Wiles (bzw. auch Vorläufer) haben gezeigt, dass das Zahlentripel a,b,c

mit

a[up]n[/up] + b[up]n[/up] = c[up]n[/up]

mit einer kubischen Gleichung

y[up]2[/up] = x (x-a[up]n[/up]) (x+b[up]n[/up])

zusammenhängt, die eine sogenannte elliptische Kurve in x und y definiert. Letztere ist dabei für komplexe Zahlen (d.h. in vier reellen Dimensionen!) zu betrachten. Nun gibt es bestimmte Eigenschaften von elliptischen Kurven, u.ä. ihr Geschlecht, d.h. die Zahl ihrer Löcher (vgl. mit einem Torus).

Für bestimmte elliptische Kurven soll es nun eine 1:1 Zuordnung zu sogenannten Modulformen geben

Modulformen sind bestimmte Funktionen auf der komplexen Zahlenebene, die sich im wesentlichen dadurch auszeichnen, dass sie soetwas wie doppelt-periodisch sind (der Sinus ist einfach periodisch entlang der reellen Achse und nicht periodisch entlang der imaginären Achse). Eine einfache Modulform müsste nun in C zwei linear unabhängige Richtungen haben, entlang derer sie periodisch ist (jede Funktion auf einem Torus ist z.B. periodisch entlang der beiden Kreise um den Torus, d.h. Modulformen definieren eine Art Kompaktifizierung von C bzw. bestimmten Riemannschen Flächen auf verallgemeinerten Tori). Allgemein ist eine Modulform in gewisser Weise invariant unter Transformationen der modularen Gruppe.

Diesen Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven und Modulformen nennt man Taniyama-Shimura-Vermutung (heute: -Theorem). Interessant ist nun, dass sich aus der Gültigkeit dieser Vermutung gleichzeitig ergibt, dass eben x,y,z nicht die o.g. Eigenschaft haben dürfen. Bzw. umgekehrt würde die Existenz eines Tripels a,b,c für n=3,4,... die Taniyama-Shimura-Vermutung verletzen (Vermutung von Gerhard Frey, Beweis von Ken Ribet).

Konkret: aus der Existenz einer Lösung von

a[up]n[/up] + b[up]n[/up] = c[up]n[/up]

mit a,b,c,n natürliche Zahlen und n=3,4,...

würde folgen, dass die elliptische Kurve

y[up]2[/up] = x (x-a[up]n[/up]) (x+b[up]n[/up])

nicht-modular ist, d.h. dass keine ihr zugeordnete Modulform existiert.

Andrew Wiles und Kollegen (insbs. Richard Taylor) haben nun bewiesen, dass die Vermutung ein exaktes Theorem der Mathematik ist - und haben dadurch gleichzeitig umgekehrt bewiesen, dass die Existenz eines Zahlentripels a,b,c für alle n=3,4,... ausgeschlossen ist. Der größte Erfolg war dabei eben der Beweis des Taniyama-Shimura-Theorems das zwei bis dahin völlig unverbundene Bereiche der Mathematik eng verknüft. Der Beweis des Fermatschen Satzes war "nur ein nettes Beiwerk".

Der Zusammenhang zwischen den elliptischen Kurven und den Modulformen ist übrigens sehr kompliziert. Man definiert über die Fourierkoeffizienten der Modulform eine sogenannte Dirichlet L-Reihe. Außerdem kann man jeder elliptischen Kurve ebenfalls eine L-Reihe zuordnen. Dazu betrachtet man die elliptische Kurve bzw. ihre Lösungen nicht über den komplexen Zahlen sondern nur bestimmte rationale Punkte. Das Taniyama-Shimura-Theorem besagt nun im wesentlichen, dass die so konstruierten L-Reihen übereinstimmen, d.h. man hat eine 1:1 Abbildung der Form

Modulform => Dirichlet L-Reihe <= elliptische Kurve

Lies doch dazu auch mal unter Wikipedia nach (insbs. die oben kursiv geschriebenen Begriffe); es gibt sehr viel Literatur im Internet, wobei ich leider keine wirkliche Empfehlung aussprechen kann.