Analysis-Frage-Antwort

[Alexander]

http://www.pictureupload.de/originals/p ... x_127_.jpg

Stimmt das?

[breaker]

Nicht ganz. Überleg mal, was falsch sein könnte.


Die Formel (1) könnte man in Worten auch so ausdrücken:
Bei der Ableitung kommt die Hochzahl von jedem x als Faktor nach vorne vor das x und die neue Hochzahl ist um eins kleiner als die alte.

[Alexander]

1+4x²+x³+8x⁷
=1+4*3x¹+3x²+7x⁶

So?

[breaker]

Es war f(x) = 1+4x²+x³+8x⁷

Das war die Funktion, die gegeben war. Was waren unsere Regeln?
einmal: Konstanten (also Zahlen, bei denen kein x steht) fallen beim Ableiten immer weg. Also kann die 1 am Anfang in der Ableitung schonmal nicht mehr vorkommen. Dann kommen bei allen anderen Summanden jeweils die alten Hochzahlen als Faktor vor das x (und der alte Faktor bleibt dort auch noch stehen, weil gerade (a·f)'=a·(f') gilt).
Das ergibt:

f'(x) = 4·2·x¹ + 3·x² + 8·7·x⁶
= 8x + 3x² + 56x⁶


Du hast irgendwie bei jedem Summand eine andere Regel zum Ableiten verwendet. Dass Du die 1 dringelassen hast, kann passieren. Den mittleren Summanden (3x²) hast Du richtig abgeleitet. Bei dem letzten (7x⁶) kann es sein, dass meine Erklärung ("die alte Hochzahl kommt als Faktor nach vorne") etwas missverständlich war. Der alte Vorfaktor soll natürlich auch noch da bleiben. Bei dem Term 4*3x¹ weiß ich nicht, was Du gemacht hast. Eine 3 kann da eigentlich nirgendwo herkommen.


Glaubst Du, du hast die Regeln jetzt besser verstanden?

[Alexander]

Ich sollte nochmal eine Aufgabe machen, oder?

[Koschi]

f(x) =1/3 x³-4x+10

f(x) = 2X³+x²+10x-3

Bitte wenn du noch mal Üben magst

[Alexander]

Also ich mach mal die erste:

f(x) =1/3 x³-4x+10
=3*1/3x²-1*4x¹

Stimmt das?

[breaker]

Fast richtig, hinten müsste es eigentlich 4x⁰ heißen, und da x⁰=1 ist, wird das ganze zu:

f'(x) = x² - 4

[breaker]

Willst du noch die andere Aufgabe probieren, oder sollen wir mit dem nächsten Thema weitermachen?

[Alexander]

f(x) = 2X³+x²+10x-3
= 2*2x¹+2x¹

So?

[breaker]

Nö, auch nicht

Lass dich nicht von den Vorfaktoren irritieren. Du musst eigentlich immer nur n·x^n-1 anstelle von xⁿ schreiben und alles andere unverändert lassen.
Das heißt, alle Zahlen ohne x (die man auch als a·x⁰ schreiben könnte) fallen beim Ableiten weg (da die ableitung hiervon rein formal a·0·x^-1 wäre, also Null).
Alles, wo ein einfaches x steht, (also Ausdrücke der Form a·x¹) wird beim Ableiten zu einer Konstanten (da die Ableitung hiervon a·1·x⁰ = a ist), fällt aber nicht weg, da es ja vorher noch keine Konstante war.

Das sind nur zwei Spezialfälle der allgemeinen Regel (xⁿ)' = n·x^n-1. Wenn man diese immer anwendet, kann man eigentlich nichts falsch machen.

[Alexander]

Hier können wirs auch wieder aufnehmen.

[tomS]

So, ich habe ein neues Thema eröffnet: Trigonometrie-Frage-Antwort

[breaker]

Soo.
Sorry, dass ich wieder so lange abwesend war. Waren wieder Klausuren. Aber jetzt hab ich viel zeit

Wir hatten im Trigonometrie-Thread die Ableitung der Sinusfunktion berechnet. Es hatte sich
(sin(x))'=cos(x) ergeben.
Die Ableitung von Cosinus und Tangens stellen wir hinten an, weil wir dafür die Regeln benutzen wollen, die wir jetzt kennen lernen.

Als erstes stellen wir uns folgende Frage:
Wenn ich zwei Funktionen f und g habe, von denen ich die Ableitung kenne, was ist dann die Ableitung des Produktes dieser Funktionen, also der Funktion
h(x)=f(x)g(x)

(h(x) ist hier eine reine Namensgebung)

Wir suchen also nach einer Formel der Form h'(x)=[irgendwas mit f,g,f',g']



Erste Frage, um wieder ein bisschen rein zu kommen:
Wie war denn überhaupt nochmal die Ableitung einer Funktion definiert und was für Eigenschaften hatte sie?

[Alexander]

Die Ableitung ist die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt des Funktionsgraphen. Sie ist ein Maß dafür, wie steil die Steigung in einem bestimmten Punkt ist.

Die Ableitung einer Funktion ist wiederum eine Funktion.