Analysis-Frage-Antwort

[Alexander]

OK, dann wäre diese Frage auch endlich geklärt.

Wie willst du nun weitermachen?

[breaker]

Gut, wenn das mit der Produktregel klar ist, kommen wir zur Kettenregel.
Dazu ist ein wenig Vorarbeit notwendig.

Verkettung von Funktionen:
Wir betrachten folgenden Sachverhalt: Angenommen, wir haben eine Funktion f. Man kann dieser Funktion Zahlen übergeben, und sie macht uns daraus andere Zahlen (also beispielsweise macht die Funktion f(x)=x² aus der Zahl 2 die Zahl 4, aus der 3 die 9 und so weiter). So. Angenommen, ich habe noch eine Funktion g, die auf irgendeine andere Art aus Zahlen andere Zahlen macht. Dann kann man, wenn man will, auf eine Zahl erst die Funktion f anwenden, und dann auf das Ergebnis die Funktion g. Man kann das formal so schreiben: Ich nehme mir eine Zahl x, und wende f darauf an. Dann bekomme ich die Zahl f(x). Auf diese Zahl wende ich jetzt g an, und bekomme dann "g von dieser Zahl", also g(f(x)).
Naja, und das kann ich prinzipiell für alle Zahlen aus dem Definitionsbereich von f machen¹. So erhalte ich die Vorschrift "Jedem x aus dem Definitionsbereich von f wird die Zahl g(f(x)) zugeordnet". Diese Zuordnungsvorschrift ist wieder eine Funktion (warum?). Man kann sie h nennen und schreiben: h(x)=g(f(x)).
Im folgenden werden wir uns etwas mit den Eigenshaften solcher Verkettungen beschäftigen.

Um das ganze etwas verständlicher zu machen, hier ein Beispiel:
Angenommen, wir haben f(x)=x² und g(x)=sin(x) (mit anderen Worten: f macht aus irgendeiner Zahl das Quadrat dieser Zahl, und g macht aus irgendeiner Zahl den Sinus dieser Zahl). Was ist dann g(f(x))?
Wir gehen vor, wie oben beschrieben: Wenn wir wissen wollen, was die Funktion g(f(x)) macht, müssen wir schauen, wie sie auf Zahlen aus dem Definitionsbereich von f wirkt. Das heißt, wir nehmen uns zunächst ein x aus dem Definitionsbereich von f (also hier irgendeine reelle Zahl) und wenden f darauf an. Das gibt uns einfach f(x)=x². Steht ja oben, was f macht. So. Jetzt auf diese Zahl g anwenden. g anwenden bedeutet, ich muss den Sinus dieser Zahl nehmen, also g(f(x))=sin(f(x))=sin(x²).
Also ist g(f(x))=sin(x²).

Man kann auch das umgekehrte machen und f(g(x)) bilden. Dies ergibt nicht das selbe Ergebnis!
Wenn ich nämlich auf irgendeine Zahl erst g anwende, bekomme ich erst g(x)=sin(x) und muss hierauf dann f anwenden, d.h. diese Zahl quadrieren. Dies ergibt also f(g(x))=(sin(x))².

Dazu Fragen?



¹Das ist eigentlich grob falsch, aber dazu sag' ich vielleicht später was. Jetzt soll erstmal ansatzweise ein Gefühl für den praktischen Umgang mit der Verkettung von Funktionen erworben werden.



Ansonsten hier eine Aufgabe zum ыchauen, ob du es verstanden hast:
Es seien f(x)=1/x und g(x)=cos(x). Was sind dann f(g(x)) und g(f(x))?

[Skeltek]

Falls es hilft, würde ich auch gerne noch etwas mit dazu werfen:
zur Produktregel:
Stellt man sich einen n-dimensionalen Quader vor, bei dem jede Kantenlänge einer der miteinander multiplizierten Funktionen entspricht, dann ist die Ableitung der Gesammtfunktion die Summe der n-1 -dimensionalen Flächen/Quader, die ihn aufspannen.

z.B.:
Quadrat:
f(x)=x²
f´(x)=x+x ; die Ableitung eines Flächeninhaltes mit der Fläche x² nach x abgeleitet ist die Summe seiner aufspannenden Kanten

Würfel:
f(x)=x³
f´(x)= x² + x² + x² ;nimmt bei einem Würfel die Kantenlänge um delta x zu, so steigt das Volumen um delta x multipliziert mit der Summe der aufspannenden Flächen

Geht auch mit beliebigen Funktionen(Produktregel):
f(x)=g(x)*h(x)*i(x)
f´(x)=g(x)*h(x) + g(x)*i(x) + h(x)*i(x) uch hier bei dem dreidimensionalen Quader ist die Ableitung durch die 3 Flächen gegeben, die diesen aufspannen.

Bei einem n-dimensionalen Körper entspricht die Ableitung den n-1 -dimensionalen aufspannenden Quadern, von denen es n Stück gibt.
Wenn man sich mehrdimensional vorstellen kann, was die zusammengesetzten Funktionen repräsentieren, kann man sich vieles leichter merken oder selbst herleiten meiner Erfahrung nach.

Schönen Gruß, Skel

[Alexander]

Es seien f(x)=1/x und g(x)=cos(x). Was sind dann f(g(x)) und g(f(x))?

f(g(x)=1/x(cos(x))

g(f(x))=cos(1/x)

[breaker]

g(f(x))=cos(1/x) ist richtig,
f(g(x))=1/x(cos(x)) ist falsch.
Überleg nochmal kurz.

[Alexander]

f(g(x))=1/(sin(x))

[Skeltek]

Hmm, wieder falsch, aller guten Dinge sind drei
Man braucht ja nur die eine Funktion in die andere rein setzen =)
Die Klammern bei f(g(x)) sind ganz normale Klammern, gelten die gleichen Rechenregeln. Punkt vor Strich, Klammer vor Punkt usw

[Alexander]

Also das sin(x) war ein Versehen, das steht ja bei keiner gegebenen Funktion dabei. Eigentlich wollte ich schreiben

f(g(x))= 1/cos(x)

[breaker]

Ok, das ist richtig.
Ich mach dann demnächst weiter.