Analysis-Frage-Antwort

[Alexander]

Damit habe ich doch den anfangs komplexen Ausdruck in die Form x+iy gebracht, wobei x und y reelle Zahlen sind?

@rick: Der Trick, den du mir gezeigt hast, war ja gerade die Idee aus meinem vorherigen Beitrag, ich war versucht, den Ausdruck auf einen reellen Nenner zu bringen, daher habe ich ja auch mit dem nicht komplex konjugierten von (1-2i) multipliziert.

[breaker]

Genau so war's gemeint, aber es ist immernoch ein Rechenfehler drin. Ich weiß nicht, wo du immer diese doppel-Minusse herzauberst.
Es gilt:

[Alexander]

4. Finde alle komplexen Zahlen z, die erfüllen.

Hier kann ich keine Lösung finden.

[breaker]

Hast du einen Ansatz? Die Aufgabe lautet ja: Löse die Gleichung .
Da da drin ein Betrag steht, musst du auf jeden Fall die Definition des Betrags nachschauen und einsetzen.

[Alexander]

Sowas bekomme ich bisher.

[breaker]

Dass nach dem ersten Gleichzeichen die Betragsstriche verschwinden, kann nicht sein.
Noch ein Tipp: Es gilt die Regel .

Du kannst auch mal probieren, ein paar Zahlen für z einzusetzen und zu schauen, ob's stimmt, um ein Gefühl dafür zu bekommen, was alles eine Lösung sein könnte.

[Alexander]

Ich habe jetzt eine Lösung, bei der ich allerdings die z unverändert gelassen habe. Wenn ich den Realteil der beiden komplexen Zahlen z gleich lasse, jedoch im Imaginärteil der im Zähler stehenden Zahl ni+2i setzte und bei der unteren dann +i stehen habe, dann sollte doch 1 herauskommen, oder? Danach kann für z jede komplexe Zahl eingesetzt werden. Ich glaube aber nicht, dass das stimmt, aber dennoch:

[rick]

Kann es sein, dass du nicht beachtest, dass in der Aufgabe 'z' selber , wiederum eine komplexe Zahl ist und daher z=a+ib ? Dann erinnere dich an eine Seite vorher, wo wir den Betrag der komplexen Zahl definiert haben. Und setzte den dann ein. Alles zusammen fassen und gut ist.

*edit* egal, kannst z auch so lassen, kann man auch ohne lösen

[Alexander]

Wenn ich die Definition für den Betrag zugrunde legen, kann ich für schreiben und analog für .

[rick]

Sind die Fragezeichen von dir? Du musst doch noch untersuchen, für welche z das gilt. Überleg dir doch mal den "worst case" und dann gug, welche z du deswegen als Lösungsmenge ausschließen musst.

[Alexander]

Also bei diesem letzten Beitrag von mir ist was schief gelaufen, diese Fragezeichen habe ich nicht gesetzt.
Also, wenn ich die Betragsdefinition zugrunde lege, dann kann ich die Beträge als Wurzel derer quadrierter Audrücke schreiben, also .

Aber hat dieser Bruch, den ich am Ende geschrieben habe, gestimmt, wenn man davon absieht, dass ich die Wurzelzeichen vergessen habe? Wenn das stimmen würde, dann würde man doch beliebige z einsetzten können?

[breaker]

Die Definition des Betrags ist nicht, "wurzel aus den quadrierten Ausdrücken". Das würde in mehrfacher Hinsicht gar keinen Sinn ergeben.
Die Definition lautet: "Wurzel aus der Summe der Quadrate von Realteil und Imaginärteil".

D.h. du musst erst Real- und Imaginärteil von z+i und z-i bestimmen, um die Definition des Betrags einsetzen zu können.

[Alexander]

Wenn ich für z = x+iy schreibe und für i=0+1i, dann kann ich die Ausdrücke umschreiben zu |z+i| = |x+0+iy+i| = |x+iy+i| und |z-i|= |x+0+iy-1i| = |x+iy-i|
Jetzt sollte ich es sinnvoll quadrieren können, da ich nun einen Real- und Imaginärteil habe:
Wenn ich das als gültig betrachte, dann kann ich doch für z beliebige komplexe Zahlen einsetzen, oder? Demnach wäre die Definitionsmenge für diesen Bruch der ganze Körper C?

[rick]

Und was passiert wenn ich für x=0 und y=1 einsetze?

[breaker]

Schreib mal separat den Real- und den Imaginärteil von x+iy+i hin.

[Alexander]

Schreib mal separat den Real- und den Imaginärteil von x+iy+i hin.

Realteil: x
Imaginärteil: iy+i

Ich glaube, ich habe bei dem Bruch mit den Wurzeln -i und +i vertauscht. Aber stimmt er sonst?

[rick]

Ich würde das oben als falsch werten.
Und wegen der Lösungsmenge, hast du dir meinen Post angeschaut?

[Alexander]

Ja, dann würde doch Null herauskommen, oder? Demnach muss ich diese von der Definitionsmenge ausschließen.

[breaker]

Ich würde das oben als falsch werten.

Aber nur geringfügig.

Realteil: x
Imaginärteil: y+1

Real- und Imaginärteil sind immer reelle Zahlen. Imaginärteil ist einfach alles, was "hinterm" i steht. Das ist eben so definiert.
Siehst du nun den Fehler, den du beim Betrag ausrechnen gemacht hast (also warum nicht gilt)?

[Alexander]

Wenn der Imaginärteil als alles, was hinter der imaginären Einheit i folgt, definiert ist, dann ist das i selbst sozusagen per definitionem überflüssig, da klar ist, dass das Bezeichnete der Imaginärteil ist. Mir fällt gerade auf, dass ich bei meinen letzten Beiträgen außer Acht gelassen habe, dass wir Beträge ausschließlich ohne i geschrieben haben.

[rick]

Wenn du kein i hättest, wüsstest du aber nicht was der Imag.Teil ist , daher ist es nicht überflüssig. Außer du trennst es ganz klar ohne i. Z.b mit der Tupelschreibweise.
Ohne Tupel kennzeichnet dein i den Imaginärteil und durch die einfache Formel i^2=-1, muss man nicht mal die Tupelrechenregel beachten bzw. sie sind gleich "enthalten".

[Alexander]

Ich glaube, ich habe mich missverständlich ausgedrückt, denn ich wollte sagen, dass nach der Definition des Betrags, nach der, wie breaker nochmals explizit erwähnte, beide Teile reelle Zahlen sind, das i gar nicht mehr vorkommen darf.

[breaker]

So ist es.
Das ist ja gerade der Sinn des Betrags: Dass kein i mehr drin vorkommt.
Für reelle Zahlen ist der Betrag immer eine nichtnegative reelle Zahl. Für komplexe Zahlen will man auch, dass der Betrag immer eine nichtnegative reelle Zahl ist, deshalb ist er so definiert, wie er definiert ist.
Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl ihr Abstand vom Nullpunkt in der komplexen Ebene (was auch erfordert, dass der Betrag eine positive, reelle Zahl ist).

[Alexander]

5. Finde alle komplexen Zahlen z, die z³=1 erfüllen. (Hinweis: Es gibt drei solche z)

Da z³=1 gegeben ist, muss ich die Kubikwurzel aus z ziehen. Aber dann hatte ich ein Problem, und zwar das, dass ja die wievielte Wurzel auch immer von 1 wiederum 1 ist. Hier musste ich, um ehrlich zu sein, Wikipedia konsultieren. Wiewohl ich keine Lösung zu exakt dieser Aufgabe gefunden habe (zum Glück, sonst müsste ich ja nicht mehr überlegen ), habe ich folgende Aussage zugrunde gelegt: Die n-te komplexe Wurzel kann man sich veranschaulichen durch eine n-fache zerlegung der Gaußschen Zahlenebene in n "äquidistante" Einheiten. Demnach sollte hier = 120°. Das heißt, dass in im zweiten Quadranten die y-Komponente gleich isin(60°) ist, und das ist . Im dritten Quadranten ergibt sich dasselbe mit inversem Vorzeichen, also Wenn man dann nochmals 120° weitergeht, gelangt man auf die x-Achse, wo der Sinus 1 wird. Legt man den Pythagoras zugrunde, ergeben sich für die x-Komponenten wenn ich mich nicht verrechnet habe (das Minus habe ich gesetzt, da dies der Ausdruck negativ sein muss).
Die drei gesuchten komplexen Zahlen sollten demnach , und 1 sein.


An dieser Stelle noch eine Frage: Ist vielleicht viel vorteilhafter, wenn ich mir die komplexen Zahlen stets in der Gaußschen Zahlenebene vorstelle? Denn damit habe ich schnell die obige Lösung gefunden, davor habe ich diesen Ansatz hier verfolgt: z³ kann man schreiben als (x+iy)³ = x³-2xy²+2x²iy+iy³ und bin damit nicht wirklich vorangekommen.

[breaker]

Die Lösung ist richtig (ja, das mit der komplexen Zahlenebene hätten wir eigentlich früher machen können. Die Anschauung bringt auf jeden Fall eine Menge...)

Mit dem Aufspalten in Real- und Imaginärteil hätte man die Aufgabe auch lösen können. Wenn ich Zeit hab', stell ich die Lösung mal hier rein.

Ich denke, als nächstes sollten wir die komplexe Zahlenebene besprechen (nachdem wir die Lösung von Aufgabe 4 geklärt haben).