Trigonometrie-Frage-Antwort

[breaker]

Beide können maximal nur den Wert 1 haben, bzw. auch -1? Sinus bei 90° und bei 270° und Kosinus bei 360° 1 und bei 180° -1.

Richtig. In unsere neue Sprache übersetzt heißt das: .
(Natürlich gelten alle Gleichungen immernoch, wenn man die x-Werte um 2pi verschiebt, siehe Aufgabe 2)

Das sollte das sein, wass ich bei 1. geschrieben habe. Wenn man den Sinus betrachtet und ihn bei der y-Achse aufliegen lässt, dann besitzt er dort den Wert 1, von der x-Achse aus wurde der Radius um 90° verschoben. Wenn man den Sinus betrachtet und man von cer y-Achse ausgeht, muss man den Radius immer nur um 180° verschieben, dann besitzt der Sinus den Wert 1, bzw. bei 270° dann -1. Das Selbe gilt für den Kosinus, nur muss man bei dem von der x-Achse ausgehen, bei der der Kosinus den Wert 1 hat, verschiebt man den Radius von dieser aus auch um 180°, so besitzt er bei 180° den Wert -1. Nur muss man bei der x-Achse von 360° ausgehen, denn nur dann ist der Kosinus mit dem Wert 1 belegt.

Hier bin ich mir nicht ganz sicher, ob Du das richtige meinst, bzw. ob Du die Frage richtig verstanden hast.
Ich wollte eigentlich hören: und .
Das ist klar, denn x durch x+2pi zu ersetzen bedeutet ja nichts anderes, als den Winkel 360° zu addieren. Wenn man einen vollen Umlauf hinzuaddiert, ändert sich aber die Position im Einheitskreis nicht, und damit können Sinus und Cosinus sich auch nicht geändert haben. Deshalb müssen für alle Winkel x die obigen beiden Gleichungen gelten.

3. Hier komme ich auf nichts vernünftiges.

Ja, wenn man das nicht auswendig weiß, kann man eigentlich auch nicht draufkommen.
Es gibt sehr viele Gleichungen, die sin und cos in irgendeiner Form verbinden, aber die meisten sind sehr kompliziert und man braucht sie fast nie. Ich will hier zunächst nur zwei Stück nennen, die sehr grundlegend, einfach und nützlich sind:





Beide Gleichungen gelten für beliebige reelle Zahlen x. Die erste kann man sich am Einheitskreis gut veranschaulichen, die zweite kann man sich mit der alten Definition über Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken leicht herleiten (kannst Du ja mal probieren. Einfach ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, von irgendeinem Winkel sin und cos als Seitenverhältnisse hinschreiben und die Quadrate addieren. Du brauchst dazu nicht die Seitenlängen des Dreiecks, es reicht, wenn Du sie mit a,b,c bezeichnest und damit rechnest.)

Der Kosinus ist 1, wenn man für x 360° einsetzt, das entspräche, wenn das, was ich oben schrieb, richtig ist, der positiven x-Achse. der Kosinus ist 0, wenn man für x die beiden Werte einsetzt, die beim Sinus 1 bzw. -1 liefern würden, nämlich bei 90° und bei 270°. Bei dem letzten ist es 315°. Ich muss aber dazu sagen, dass ich ein wenig ausprobiert habe, mir aber natürlich dennoch Gedanken gemacht habe, wie beispielsweise, dass wahrscheinlich nur die Zahlen leicht zu berechnen sind, die entweder Vielfache von 90 oder 45 sind.
So bin ich dann auch recht schnell auf die 315 gekommen, aber wie gesagt, mit ausprobieren.

Ist alles richtig, lediglich ein paar Kommentare dazu:
1. Es ist tatsächlich so, dass der Sinus immer gerade dann maximal, bzw. minimal ist, wenn der Coainus Null ist und umgekehrt. Das hat einen tieferen Grund, zu dem wir später noch kommen.
2. Der Wert ist insofern ein besonderer Funktionswert, als dass Sinus und Cosinus ihn immer für die gleichen x-Werte annehmen. 315° entspricht und hierfür gilt tatsächlich .
Allerdings gilt das selbe für 45°, bzw. , sowie für alle Zahlen der Form , wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist. Zum Beispiel gilt gerade

Warum Sinus und Cosinus hier gleich sind, und gerade diesen Wert annehmen, lässt sich leicht erklären. Schau dir die angehängten Bilder an. Im ersten siehst Du einfach den Winkel 45° und das rechtwinklige Dreieck, das sich daraus ergibt. Die Diagonale in diesem Dreieck hat die Länge 1 (Radius des Einheitskreises) und wenn man genau hinschaut, sieht man, dass das Dreieck gerade ein halbes Quadrat ist. Da dieses Dreieck als halbes Quadrat insbesondere gleichschenklig ist, stimmen schonmal Sinus und Cosinus überein, denn sie sind einfach das Verhältnis aus Kantenlänge des Quadrats und Länge seiner Diagonalen.
Da wir wissen, dass Sinus und Cosinus nur vom Winkel abhängen und nicht von der Größe des Dreiecks, können wir anstelle des Dreiecks mit Diagonale 1 auch ein Dreieck mit Kantenlänge 1 betrachten (zweites Bild).
Nun weiß man (Pythagoras), dass die Diagonale in einem Quadrat mit Kantenlänge 1 immer die Länge hat. Damit müssen sin und cos als Verhältnis von Kantenlänge und Länge der Diagonalen aber gerade sein.
Das aber nur am Rande

[Alexander]

Beide Gleichungen gelten für beliebige reelle Zahlen x. Die erste kann man sich am Einheitskreis gut veranschaulichen, die zweite kann man sich mit der alten Definition über Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken leicht herleiten (kannst Du ja mal probieren. Einfach ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, von irgendeinem Winkel sin und cos als Seitenverhältnisse hinschreiben und die Quadrate addieren. Du brauchst dazu nicht die Seitenlängen des Dreiecks, es reicht, wenn Du sie mit a,b,c bezeichnest und damit rechnest.)

Also ich hätte die zweite jetzt assoziiert mit dem Einheitskreisbild, bei dem der Sinus immer größer und der Kosinus immer kleiner wird, je weiter sich der Radius, der immer den Wert 1 behält, auf die y-Achse zubewegt, wäre das falsch?

[breaker]

Öhm ja, da hast Du eigentlich vollkommen recht. Der Radius ist immer eins und, da Sinus und Cosinus die waagerechten, bzw. senkrechten Projektionen vom Radius auf die Achsen sind, muss laut Pythagoras immer sin²(x)+cos²(x)=1 gelten. Viel einfacher.

Ist der Rest klar?

[Alexander]

Ich denke schon.

[breaker]

Okay, dann wollen wir uns jetzt überlegen, wie es aussieht, wenn man die Funktionen sin(x) und cos(x) in einem Koordinatensystem darstellt, mit x auf der waagerechten und sin(x), bzw. cos(x) auf der senkrechten Achse (wie schon vorher bei den Polynomen).
Kannst Du sagen, wie das Schaubild von sin(x) aussieht? (Nach der Konstruktionsvorschrift aus meinem Beitrag vom 29.10.09)
(Achtung! Das Koordinatensystem, das wir jetzt betrachten, hat absolut nichts mit dem zu tun, in das wir den Einheitskreis gezeichnet haben. Das war nur zur Veranschaulichung; dort war die Variable x ein Stück vom Kreisumfang. Jetzt tragen wir die Variable x auf der waagerechten Achse eines anderen Koordinatensystems ab und wollen wissen, wie die Funktionswerte der Funktion sin in diesem Koordinatensystem aussehen.)

Die Frage ist wahrscheinlich sehr schwer, wenn man es nicht schon irgendwo gesehen hat, aber das macht nichts. Sag mal, was Du dir dazu denkst, und dann entwickeln wir das gegebenenfalls gemeinsam.

[Alexander]

Sieht es so aus?:

[breaker]

Wenn ich das richtig sehe, hast Du x- und y-Achse vertauscht. Das, was man in die Funktion einsetzt (hier also die Winkel) muss immer auf der x-Achse sein und das, was herauskommt, auf der y-Achse.
Und versuch mal, nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß zu rechnen:
Nehmen wir erstmal nur den Sinus, der Cosinus geht danach einfach. Trage mal die Werte von sin(x) für in ein Koordinatensystem ein.

[Alexander]

So?

[breaker]

Jetzt hast Du nicht die Werte der Sinusfunktion gemalt, sondern nur den Zusammenhang zwischen Gradmaß und Bogenmaß. Für diesen gilt ja . Das heißt, wenn man alpha als Funktion von x auffasst, könnte man sagen, es ist eine Gerade mit der Steigung 180/pi.
Das hast Du gerade gezeichnet.
Wir wollen aber die Sinusfunktion untersuchen und wir haben das Bogenmaß extra eingeführt, damit wir uns ums Gradmaß keine Gedanken mehr machen müssen, also vergiss das komplett.
Es gibt für uns jetzt nur eine einzige Art, Winkel zu messen, und das ist die Bogenlänge des zugehörigen Einheitskreissegments.
Der Sinus ist das zugehörige Seitenverhältnis zwischen dem Radius und seiner Projektion auf die y-Achse. Dieser Wert hängt überhaupt nicht davon ab, wie man den Winkel misst, sondern einzig und allein davon, welcher Winkel es eben ist.
Du sollst nun den Winkel (im Bogenmaß) als x-Wert nehmen, und das zugehörige Seitenverhältnis von Radius und Projektion des Radius auf die y-Achse (also den Sinus) als y-Wert.

Ist es damit klarer?

[Alexander]

So?

[breaker]

Ja, das sieht sehr gut aus.
Wenn man das nun für alle Punkte macht, erhält man eine Kurve, die so aussieht:

(Die Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse haben die Werte 0, pi, 2pi)

sinus.gif (4.43 KiB) 182-mal betrachtet

Kannst Du dir anhand der Gleichung vorstellen, wie das Schaubild der Cosinusfunktion aussieht?

[tomS]

@Alexander: hast du Excel oder ein anderes Tool zur Erzeugung von Funktionsgraphen?

[Alexander]

Ja, Excel habe ich, da müsste ich mal versuchen, ob ich das hinbringe, denn ein bisschen ein Geschmier sind diese Zeichnungen schon...weil ich mich auch immer verschreibe.

[breaker]

Ja, ist vielleicht ganz sinnvoll, wenn Du ein bisschen mit einem Plot-Programm rumspielen kannst. Dann kannst Du dir viele Schaubilder anschauen, und überlegen, warum die jetzt gerade so aussehen, wie sie aussehen.

[breaker]

Na, wie sieht's aus?
Die Frage nach dem Schaubild des Cosinus steht noch im Raum.