Lie-Gruppen

Beitrag von **breaker** » 21. Jul 2009, 19:08

Ich bin mal Tensors Vorschlag gefolgt und hab nen Thread zu Lie-Algebren aufgemacht, da ich das Thema wirklich sehr interessant finde.
Die Fragen, die mich im Weltformel-Thread umgetrieben haben, waren:

Mich würde mal genau der Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren interessieren. Warum sind Lie-Algebren gerade so definiert, wie sie definiert sind? Wir haben sie damals in der Vorlesung wie folgt definiert: Zu einer gegebenen Lie-Gruppe G sucht man alle Kurven c : R--> G, die c(0)=1 erfüllen. Die Lie-Algebra besteht dann aus allen Ableitungen dieser Kurven im Nullpunkt: g:={ c'(0)|c(0)=1}.
Was hat das für einen Sinn?

Und auch die Sache mit den Darstellungen. Wie findet man denn eine besonders einfache Darstellung einer Lie-Algebra, bzw. woher weiß man, dass man die einfachste gefunden hat?

Beitrag von **tomS** » 21. Jul 2009, 22:59

Bevor ich dir antworte - was ich gerne tue - lies doch mal in meine Beiträgen zur Elementarteilchenphysik nach, insbs. den Teil 8. Symmetrien I – Liealgebren und -gruppen

Evtl.wird da schon einiges klarer.

Beitrag von **tomS** » 21. Jul 2009, 23:27

Eine kurze "physikalische" Motivation vorweg:

Kompakte Liegruppe lassen immer eine Darstellung der Form

g = e[up]ix[/up]

zu. Dabei ist g ein Element der Gruppe G und x ein Element der Algebra X, d.h. eine orthogonale / hermitesche / ... Matrix. Für X sind mehrere Bedingungen erfüllt:
- X ist ein Vektorraum, d.h. auf X ist eine Addition, ein Skalarprodukt sowie eine Basis definiert
- auf X ist eine Multiplikationdefiniert, hier die sog. Lie-Klammer x*y = [x,y]

Die erste Bedingung lässt eine Zerlegung in Basisvektoren von x gemäß

x = t[down]1[/down] x[down]1[/down] + t[down]2[/down] x[down]2[/down] + ...

zu. Da eine Liegruppe immer auch eine topologische Mannigfaltigkeit ist, kann man darauf einen Umgebungs- und sogar einen Differenzierbarkeitsbegriff einführen. In diesem Sinne lässt sich die Exponentialfunktion in eine Taylorreihe entwickeln umd man erhält

g = 1 + i(t[down]1[/down] x[down]1[/down] + t[down]2[/down] x[down]2[/down] + ...)

Damit hat man nun eine Schar von Kurven durch den Nullpunkt, für jeden Parameter genau eine. Und damit erhält man auch die Elemente der Lie-Algebra wieder zurück.

Beitrag von **breaker** » 23. Jul 2009, 11:39

Ich hab jetzt mal den Teil8 über Symmetrien und Lie-Gruppen gelesen. Ist sehr physikalisch, dafür hab ich glaub noch zu wenig Ahnung von Teilchenphysik usw.
Deshalb fand ich das relativ schwer zu lesen. Ich kenne ein paar mathematische Grundlagen zu Lie-Algebren (Satz von Lie war das höchste, was wir gemacht haben) und hier wird auf einmal alles mit Elementarteilchen begründet

Was Darstellungen angeht bin ich ein bisschen verwirrt. Gibt es Darstellungen von Gruppen und von Algebren?
Ich kenne eine Darstellung einer Lie-Algebra g als eine Abbildung f: g --> End(V), für die gilt f([x,y]) = f(x)f(y) - f(y)f(x) (V irgendein Vektorraum), was ich relativ schön und sinnvoll finde, weil es aus irgendeiner blöden Lie-Algebra eine schöne Matrizenmenge mit anständiger Lie-Klammer macht.
Hier hab ich mich gefragt, wie man mit dieser Definition rausfindet, ob man die einfachste Darstellung gefunden hat.
Die Darstellung in Deinem Text sieht irgendwie nach einem normalen Gruppenhomomorphismus aus.
Sind Darstellungen bei Lie-Gruppen wichtiger als bei Lie-Algebren?

Beitrag von **tomS** » 23. Jul 2009, 18:52

Puh - jetzt wird's echt mathematisch.

Die Darstellung der Algebra korrespondiert immer zur Darstellung der Gruppe u.u.

g = e[up]ix[/up]

x ist ein Element der Algebra, g ist über das Matrixexponential definiert, d.h. eine Reihe mit den Termen

(ix)[up]n[/up] / n!

Beide sind gleichwichtig.

x ist in der Praxis z.B. ein Linearkombination von Drehimpulsperatoren, g wäre dann der entsprechende Drehoperator; die Parameter in x sind dann die Eulerwinkel der Drehung g. x sind hermitesche Operatoren, im Falle von SU(N) und SO(N) ist x² der (erste) Casimiroperator, also im Falle des Drehimpulses eben L².

Im Falle des Matrixexponentials führt eine "Drehung" eines Operators O generiert durch x gemäß

e[up]ix[/up] O e[up]-ix[/up]

auf

[ix, [ix, ... [ix,O] ... ]] / n!

D.h. eine endliche Drehung wird wiederum auf die Algebra abgebildet.

Die einfachste Darstellung ist die Fundamentaldarstellung, d.h. die Darstellung mit der niedrigsten Dimension, in der die (abstrakten) Gruppenelemente G treu auf Matrizen g = rep(G) abgebildet werden; treu heißt, dass z.B. für G ungleich H auch g ungleich h gilt; gleiches natürlcih auch für G*H usw. (es gibt immer die triviale Darstellung, in der alle G auf id abgebildet werden; damit sind die Gruppenrelationen trivialerweise erfüllt, da es nur ein g=1 gibt - aber das ist eben trivial).

Im Falle der SO(N), SU(N), Sp(N) weiß ich eben, dass die Fundamentaldarstellung auf einem N-dimensionalen Vektorraum operiert (ich kann das weder beweisen noch dir sagen, wo du den Beweis findest, aber ich weiß, dass es so ist :-)

Ergänzung

Die Liegruppen sind insofern wichtiger als die Liealgebren, als sie "mehr" Struktur tragen. Die Algebra ist quasi die am Eonheitselement linearisierte Gruppe, d.h. eine Art "Tangentialraum" an die Gruppenmannigfaltigkeit. D.h. dass die globale Struktur der Gruppe nicht immer in der entsprechenden Lie-Algebra kodiert ist. So haben die beiden Gruppen SU(2) und SO(3) dieselbe Algebra, d.h. die Lie-Klammer bzw. die Strukturkonstanten sind identisch. Global sind die beiden Gruppen jedoch verschieden; die Abbildung SU(2) => SO(3) ist nicht bijektiv, sondern sie ist 2:1; die SO(3) ist nicht einfach zusammenhängend.

Beitrag von **wilfried** » 23. Jul 2009, 22:17

Tag zusammen

Das Kapitel Lie ist auf mittlerweile mehrere Themen verteilt. Mein Vorschlag:

wir ziehen das gesamte Kapitel Lie in die Mathematische Fragestellungen Sparte.

In anderen Sparten wie Elementarteilchen haben wir ebenfalls Lie behandelt. Diese Beiträge tät ich gern hierhinein umziehen.
Der Vorteil ist, daß wir dann in dieser Sparte das Kapitel Lie zentral haben und nicht dauernd springen müssen. Macht die Suche und auch das nachlesen einfacher.

Seid ihr damit einverstanden?

Netten Gruß

Wilfried

Beitrag von **tomS** » 23. Jul 2009, 22:29

Da stimme ich dir zu. Im Rahmen der "Elementarteilchen" sollten wir keine mathematischen Basics sondern die physikalischen Anwendungen diskutieren.

Beitrag von **breaker** » 24. Jul 2009, 23:15

Puh, ich hab das Gefühl, ich muss mich erstmal noch ein bisschen in Lie-Gruppen einlesen, um sinnvoll diskutieren zu können...

Das mit dem Tangentialraum war eine gute Erklärung, jetzt verstehe ich ansatzweise den Sinn der Lie-Algebra.

Beitrag von **tomS** » 25. Jul 2009, 10:48

Ich würde dir vorschlagen, dass alles mal am Beispiel der SU(2) zu untersuchen. Die hat den Vorteil, dass sie alle wesentlichen Strukturen enthält, dass man aber praktisch alles auch explizit ausrechen kann. So lassen sich die die Generatoren der SU(2) ,mittels der Pauli-Matrizen darstellen.

$t^a \ = \ {\sigma^a \over 2}$

Für die Kommutatoren gilt

$\[t^a, t^b\] \ = \ i\epsilon^{abc} t^c$

Außerdem lässt sich das Matrixexponential

$e^{i\alpha^a t^a} \ = \ e^{i\alpha^a \sigma^a / 2} \ = \sum_{n=0}^\infty {(i \alpha^a t^a)^n \over {n!}}$

explizit berechnen. Dazu verwendet man folgenden Trick:

$t^a t^b = \frac{1}{2}{\[t^a, t^b\]} + \frac{1}{2}{\{t^a, t^b\}}$

Der Kommutator ist oben angegeben, der Antikommutator ist für zwei verschiedene Matrizen gleich Null.

Damit kannst du dann auch die Ableitung nach den drei Drehwinkeln bestimmen und so die Generatoren verifizieren.

Beitrag von **wilfried** » 25. Jul 2009, 21:57

Liebe Freunde

so kurz vor meinem Urlaub sage ich dazu:

factum est, tractamus sunt!

Ich hoffe, ich bin mit meinem Latein noch nicht zu Ende....

Gruß

Wilfried

Beitrag von **wilfried** » 26. Jul 2009, 12:05

Tag zusammen

ich habe etwas gefunden:

http://www.math.uni-hamburg.de/home/sch ... tware.html

Schaut mal, ob Euch das weiterhilft.

Netten Gruß

Wilfried

Beitrag von **kostja** » 13. Nov 2009, 12:06

Hallo!

Ich möchte noch einen anderen Aspekt der Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ins Rennen schicken. Eine Lie-Gruppe G definiert durch $L_g: G \times G \to G, (g,h) \mapsto gh$ auf sich selbst eine Gruppenaktion, die sog. Linkstranslation. Jede Linkstranslation ist offensichtlich eine Diffeomorphismus mit Inversem $L_g^{-1} = L_{g^{-1}}$ . Nun kann man sich fragen, ob es auf G Vektorfelder sind, die invariant unter Linkstranslationen sind, d.h. ob es Felder X gibt mit $L_g^* X = X \Leftrightarrow L_{g,*}^{-1} X (h) = X \circ L_g = X(gh)$ . Erstaunlicher Weise ist diese Frage aber sehr einfach zu beantworten und wirft noch eine weitere Konsequenz auf. Setzt man in obiger Gleichung auf der Rechten Seite h = e, so definiert jedes Element $v \in T_e G$ ein linksinvariantes Vektorfeld $X_v := L_{g,*}^{-1} v$ . Der Clou ist nun, dass diese Vektorfelder schon globale Basis bilden und jedes Vektorfeld ist als Linearkombination von Pushforwards der Lie-Algebra bestimmt.

Zugegebener Maßen hat das jetzt wenig mit Teilchenphysik zu tun, aber leider verstehe ich auch nichts von Teilchenphysik.

Herzliche Grüße
Konstantin

Beitrag von **tomS** » 13. Nov 2009, 12:25

dagegen umso mehr von Lie-Gruppen :-)

Beitrag von **tomS** » 13. Nov 2009, 12:32

Vielleicht kannst du ja folgende Frage beantworten:

Die "einfachste" treue Darstellung einer Liegruppe ist die sogenannte Fundamentaldarstellung, z.B. in der SU(2) generiert durch die Paulimatrizen. Die (eindeutige) Darstellung, in der der Vektorraum, auf dem die Liegruppe operiert, gleich der Liealgebra selbst ist, heißt adjungierte Darstellung. Nun gibt es den Spezialfall der Liegruppe E[down]8[/down], für den fundamentale und adjungierte Darstellung identisch sind. E[down]8[/down] ist die einzige Liegruppe, für die das zutrifft. Unschön daran ist, dass man offensichtlich die E[down]8[/down] nicht als Symmetriegruppe von etwas Einfacherem als der E[down]8[/down] selbst verstehen kann; Dagegen kann man z.B. die SU(2) als Symmetriegruppe zweidimensionaler komplexer Vektoren verstehen.

Das Skalarprodukt ist

(z[down]1[/down]*, z[down]2[/down])

Die Drehung lautete

z' = gz

Frage: kann man ein ähnliches Skalarprodukt auch für die E[down]8[/down] konstruieren, nd wenn ja, wie sieht es aus?

Beitrag von **kostja** » 13. Nov 2009, 12:44

Haha, wenn das eine Aufnahmeprüfung ist, muss ich mich wohl gleich wieder abmelden.

Sorry Tom, aber da muss ich passen!

Ich kann aber noch anfügen, dass die Definition der Exp Abbildung auf einer Lie Gruppe sehr stark mit den Linksinvarianten Vektorfeldern zusammen hängt.

Grüße
Konstantin

Beitrag von **tomS** » 13. Nov 2009, 12:52

Das ist keine Aufnahmeprüfung! Ich bin seit Jahren auf der Suche nach einer Antwort. Als prominentester "Kandidat" hat schon John Baez geantwortet "... nicht dass ich wüsste" (nicht die mit den Blumen, sondern der http://math.ucr.edu/home/baez/README.html)

Beitrag von **wilfried** » 13. Nov 2009, 17:33

herzlich Wilkommen im Forum, lieber Konstantin

Du machst Dich ja mit Deinem ersten Beitrag so richtig ran bei uns. So, wie Du dieses Thema anfasst,habe ich Eindruck, Du kommst von der Mathematik Faklutät. Liege ich da richtig?

Ich habe gerad wenig zeit, deshalb kann ich mich hier nicht weiter beteiligen, eventuell stosse ich dann später wieder dazu.

Viel Spass bei uns....und: lass Dich von Tom nicht verscheuchen, wir brauchen hier gute Leute für unsere Diskussionen. Wenn wir das Glück haben, einen Mathematiker in unseren Reihen zu haben, dann wirst Du ganz sicher von uns feste eingespannt.

Hab Spass bei uns

netten Gruß

Wilfried

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