Re: Quaternionen hier hilfreich?
Verfasst: 18. Jan 2018, 16:22
Gerne!positronium hat geschrieben: ↑18. Jan 2018, 11:22Vielen Dank für die umfangreiche Aufschlüsselung, Tom!
Im Rahmen der QM werden ganz unterschiedliche Objekte rotiert!positronium hat geschrieben: ↑18. Jan 2018, 11:22Du siehst es aber auch so, dass im Rahmen der QM tatsächlich ein reeller 3er-Vektor rotiert wird, oder?
Beginnen wir mal mit der SU(2) Fundamentaldarstellung. Diese zeichnet sich dadurch aus, dass sie die Darstellung niedrigster Dimension ist, die dennoch die Gruppenstruktur treu (= in allen Details) abbildet.
Man startet mit abstrakten Gruppenelementen g, h, … und deren Verknüpfung g⋅h = k. Dann definiert man Abbildungen d(g), d(h), … auf konkrete mathematische Objekte. Im Falle der SU(2) und deren Fundamentaldarstellung darf man diese d(.) mit den bekannten 2*2 Matrizen identifizieren. Das Kriterium, dass d(.) tatsächlich eine Darstellung definiert, ist, dass
wenn g⋅h = k, dann auch d(g) ⋅d(h) = d(k).
Das Gegenbeispiel zu einer treuen Darstellung ist die triviale Darstellung. Dabei gilt d(g) = d(h) = … = 1; alle Elemente werden auf die 1 abgebildet. Es gilt trivialerweise d(g) ⋅d(h) = d(k), nämlich 1⋅1 = 1.
Nun kann man zu jeder Liegruppe wie SU(n), SO(n), … Matrixdarstellungen finden; dabei zeigt sich, dass die SU(2) auch Darstellungen hat, die mit der SO(3) zusammenfallen.
Die Fundamentaldarstellung der SU(2) entspricht den bekannten 2*2 Matrizen, die auf den 2-dim. komplexen Vektoren operieren. Die 3*3 Matrizen der SO(3), die auf 3-dim. reellen Vektoren operieren, können ebenfalls als Darstellung der SU(2) interpretiert werden, wobei jedoch für jedes SU(2) Matrix gilt, dass d(g) = d(-g), d.h. die Darstellung ist nicht treu; g und –g werden auf dieselbe 3*3 Matrix abgebildet.
Nun zur Frage, was rotiert wird. Betrachten wir dazu einen 2-Spinor ψ, d.h. ein Element des 2-dim. komplexen Vektorraumes; ψ als „Wellenfunktion“ ist natürlich ortsabhängig, d.h. wir sprechen von ψ(r). Nun kann jede Drehung im Spinorraum, also jede Anwendung einer 2*2 Matrix g auf ψ, überführt werden in die Anwendung einer 3*3 Matrix D‘ = d (g) auf r (der ‘ zeigt an, dass noch eine Invertierung hinzukommt, die hier nicht so relevant ist). D.h.:
g ψ(r) = ψ(D‘ r)
D.h. dass die Rotation g im Spinorraum einer Rotation D im Ortsraum entspricht u.u. Ähnliches gilt auch für Lorentz-Transformationen von elektromagnetischen Feldern u.ä.
Ausgangspunkt in der QM ist aber eigtl. nicht die Wellenfunktion ψ(r) sowie die 2*2 Matrix g, sondern der abstrakte Zustand |ψ> sowie der abstrakte Rotationsoperator U = exp[iQ] mit der Rotation U|ψ>. Aus dieser einen abstrakten Notation kann man alle konkreten Darstellungen rekonstruieren. Das ist aber nur ein Ausblick.