Abenteuer-Universum

Klar, 2+0i ist nicht die natürliche Zahl - das ginge ja schon von der Form her nicht - sondern eine komplexe Zahl. Aber die Mengen der natürlichen Zahl 2 und der komplexen Zahl 2+0i sind gleichmächtig und das würde man dann meinen, wenn man davon spräche, 2 und 2+0i wären das Gleiche. Wird vllt. so ein Schuh draus?

So ähnlich Pippen.

Man kann auch zum Beispiel 2 nicht durch 1+1i dividieren; 2+0i hingegen ist durch 1+1i dividierbar.
Ähnlich wie man vom reelen -1 keine Wurzel ziehen kann, vom komplexen -1+0i hingegen schon.
Zur Körpererweiterung gehören nicht nur zusätzliche Elemente, sondern auch zusätzliche Rechenregeln und Relationen.
Das reele -1 besitzt einfach nunmal keine Wurzel. Da dies jedoch in der Praxis keine Rolle spielt (man weiss ja wenn man sich im komplexen bewegt), ist es völlig überflüssig das "komplex-sein" gesondert zu markieren.
Daher sind 2 und 2+0i beim Lesen, Schreiben und damit Rechnen in der Praxis und dem Umgang damit gleich.

@Ralfkannenberg:
Ich werde bei Gelegenheit einmal darauf eingehen mit einem guten Beispiel. Leider habe ich gerade keine Zeit mich nochmal in die verschiedenen Arten von Körpererweiterungen einzuarbeiten und will hier auch keine falschen Fachbegriffe verwenden.
Soweit ich in Erinnerung habe, lassen sich auch Strukturen oder Körper definieren, bei denen das Ergebnis davon abhängt, aus welcher Menge das faktorielle Element entnommen wurde. Ist aber zu lange her um das hier spontan widerzugeben.
In jedem Fall muss man dort die Elemente speziel markieren um zu erkennen, ob sie aus z.B. R₁ oder R₂ sind.
Bei den komplexen Zahlen spielt das nur deshalb keine Rolle, da die Multiplikationen mit 2 oder 2+0i dasselbe Ergebnis liefern und die jeweiligen Elemente der beiden Mengen im Schaubild zusammenfallen.
Aber ich muss das noch einmal recherchieren, bevor ich mehr dazu sagen kann.

Skeltek hat geschrieben: ↑

13. Mär 2017, 20:56

Man kann auch zum Beispiel 2 nicht durch 1+1i dividieren; 2+0i hingegen ist durch 1+1i dividierbar.

Hallo Skeltek,

in welcher Struktur ? So wie Du es aufgeschrieben hast ist das die Struktur der ganz-komplexen Zahlen. Diese ist natürlich gerade wegen ihrer Teilbarkeits-Eigenschaften sehr interessant.
Lassen wir das uns mal anschauen, wobei ich die Terme 0i ersatzlos weglasse:

2/(1+i) = 2(1-i)/( (1+i)(1-i) ) = 2(1-i)/(1+1) = 2(1-i)/2 = 1-i

Wow, hätte ich nicht gedacht

Skeltek hat geschrieben: ↑

13. Mär 2017, 20:56

Ähnlich wie man vom reelen -1 keine Wurzel ziehen kann, vom komplexen -1+0i hingegen schon.

Und auch das geht schon in den ganz-komplexen Zahlen, also dem Ring IZ[ i ]


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

13. Mär 2017, 22:41

2/(1+i) = 2(1-i)/( (1+i)(1-i) ) = 2(1-i)/(1+1) = 2(1-i)/2 = 1-i

Hallo zusammen,

gilt eigentlich ein ähnliches Resultat auch im Ring IZ[Quadratwurzel(2)] ?

Sei der Einfachheit halber sqrt(2) := Quadratwurzel(2); sqrt kommt von "square root"

2/(1-sqrt(2)) = 2(1+sqrt(2))/( (1-sqrt(2))(1+sqrt(2)) ) = 2(1+sqrt(2))/(1-2) = -2(1+sqrt(2)), und diese Zahl ist in IZ[sqrt(2)]


Ok, jetzt will ich es wissen:
sei sqrt(3) := Quadratwurzel(3). Was ergibt 2/(1-sqrt(3)) ?

2/(1-sqrt(3)) = 2(1+sqrt(3))/( (1-sqrt(3))(1+sqrt(3)) ) = 2(1+sqrt(3))/(1-3) = 2(1+sqrt(3))/(-2) = -(1+sqrt(3)), und diese Zahl ist tatsächlich in IZ[sqrt(3)]


In diesen drei Strukturen ist die Zahl 2 also keine Primzahl !!!


Freundliche Grüsse, Ralf

Mit der (eindeutigen) Primfaktorzerlegung in algebraischen Körpern machst du natürlich ein Fass auf

163

tomS hat geschrieben: ↑

13. Mär 2017, 23:11

Mit der (eindeutigen) Primfaktorzerlegung in algebraischen Körpern machst du natürlich ein Fass auf

163

Hallo Tom,

in Körpern hast Du keine Primfaktor-Zerlegung, weil dort jedes Element ausser der 0 jedes andere Element teilt

Aber darum ging es mir gar nicht: ich wollte einfach einmal drei nicht schwer verständliche Ringe vorstellen, nämlich IZ[ i ], IZ[sqrt(2)] sowie IZ[sqrt(3)], und dabei mit Hilfe von Skelteks Beispiel ganz zwanglos zeigen, dass die 2 keineswegs immer eine Primzahl zu sein braucht.


Freundliche Grüsse, Ralf

Deswegen war auch die Rede von algebraischen Körpern, also Erweiterungen von Q

tomS hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 00:14

Deswegen war auch die Rede von algebraischen Körpern, also Erweiterungen von Q

Hallo Tom,

das verstehe ich nicht, denn Körper haben keine Primelemente.

Meine obigen Betrachtungen betrafen Erweiterungen des Integritätsbereiches IZ. Um das anzudeuten habe ich übrigens das zu adjunierende Element in eckigen Klammern und nicht in runden Klammern geschrieben; tatsächlich ist per conventionem IZ[sqrt(2)] der kleinstmögliche Ring, der alle Elemente der Form z + w*sqrt(2) enthält, mit z,w ganze Zahlen, während IZ(sqrt(2)) der kleinstmögliche Körper ist, der alle Elemente der Form z + w*sqrt(2) enthält, mit z,w ganze Zahlen; man kann zeigen, dass das IZ(sqrt(2)) = IQ(sqrt(2)) ist, also streng genommen natürlich IZ(sqrt(2)) isomorph zu IQ(sqrt(2)).


Freundliche Grüsse, Ralf

Ich glaube wir reden vom Selben: https://de.wikipedia.org/wiki/Algebrais ... %C3%B6rper. Ich hatte den wichtigen Zusatz "algebraischer Zahlkörper" vergessen.

tomS hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 13:13

Ich glaube wir reden vom Selben: https://de.wikipedia.org/wiki/Algebrais ... %C3%B6rper. Ich hatte den wichtigen Zusatz "algebraischer Zahlkörper" vergessen.

Hallo Tom,

ja und nein: ich rede derzeit von den in der 3.Zeile Deines Links genannten Ganzheitsringen.

In einem Körper macht Teilbarkeit keinen Sinn, weil mit Ausnahme des Nullelementes jeder durch jedes teilbar ist.

Das gilt ja auch schon bei den rationalen Zahlen: im Körper der rationalen Zahlen gibt es keine Primzahlen; solche gibt es nur im Ring der ganzen Zahlen !

Der Grund dafür ist übrigens keineswegs derjenige, dass man die rationale Zahl 2/1 beispielsweise als Produkt der rationalen Zahl 1/2 mit der rationalen Zahl 4/1 darstellen kann, sondern daher, dass sowohl 1/2 als auch 4/1 im Körper der rationalen Zahlen Einheiten sind - eine Einheit ist bekanntlich ein Element, welches ein multiplikativ Inverses hat.

Und im Ring der ganzen Zahlen gibt es nur zwei solcher Einheiten, nämlich 1 und -1, und im Ring der komplex-ganzen Zahlen gibt es vier solcher Einheiten, nämlich 1, -1, i und -i.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 14:40

eine Einheit ist bekanntlich ein Element, welches ein multiplikativ Inverses hat.

Und im Ring der ganzen Zahlen gibt es nur zwei solcher Einheiten, nämlich 1 und -1, und im Ring der komplex-ganzen Zahlen gibt es vier solcher Einheiten, nämlich 1, -1, i und -i.

Hallo zusammen,

ganz hübsch ist noch die Situation im Ring IZ[sqrt(3)]: hier gilt ja (2+sqrt(3)) * (2-sqrt(3)) = 4-3 = 1, die beiden sind also gegenseitig ihre multiplikativ Inversen. Dasselbe gilt natürlich auch, wenn man sie in die k.-te Potenz nimmt; somit gibt es im Ring IZ[sqrt(3)] unendlich viele Einheiten.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 14:51

(2+sqrt(3)) * (2-sqrt(3)) = 4-3 = 1, die beiden sind also gegenseitig ihre multiplikativ Inversen. Dasselbe gilt natürlich auch, wenn man sie in die k.-te Potenz nimmt; somit gibt es im Ring IZ[sqrt(3)] unendlich viele Einheiten.

Hallo zusammen,

ok ok, das habe ich in der Wikipedia abgeschrieben.

Man braucht aber nicht abzuschreiben, denn es geht noch viel einfacher:

Im Ring IZ[sqrt(2)] gilt nämlich: (sqrt(2)+1)*(sqrt(2)-1) = 2-1 = 1; sie sind also auch ihre gegenseitigen multiplikativ Inversen, und die kann man natürlich auch in die k.-te Potenz erheben, d.h. im Ring IZ[sqrt(2)] gibt es auch unendlich viele Einheiten.

Mir ist nicht ganz klar, warum man in der Wikipedia nicht dieses einfachere Beispiel für einen Ring mit unendlich vielen Einheiten gewählt hat, wobei ich persönlich beide Beispiele dort platzieren würde, denn das Beispiel mit (2+sqrt(3))*(2-sqrt(3)) im IZ[sqrt(3)] ist m.E. ebenfalls ein sehr schönes Beispiel und immer noch hinreichend einfach zu verstehen.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 14:57

ok ok, das habe ich in der Wikipedia abgeschrieben.

Hallo zusammen,

das Beispiel der englischen Wikipedia möchte ich Euch natürlich auch nicht vorenthalten, hier präsentieren sie ein Beispiel aus dem Ring IZ[sqrt(5)]:

(sqrt(5)-2)*(sqrt(5)+2) = 5-4 = 1

Also auch gegenseitig mulitplikativ-inverse Elemente, gilt natürlich auch in der k.-ten Potenz, also auch unendlich viele Einheiten !


Ich hoffe, ich konnte ein Euch ein bisschen diese Ringe näher bringen, zu denen eine positive Quadratwurzel hinzuadjungiert wird. - Es müssen also nicht immer gleich komplexe Zahlen sein, die man hinzuadjungieren muss, um interessante aber nach wie vor einfach-verständliche Ergebnisse zu erhalten.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

13. Mär 2017, 22:41

2/(1+i) = 2(1-i)/( (1+i)(1-i) ) = 2(1-i)/(1+1) = 2(1-i)/2 = 1-i

Du drehst dich im Kreis.
Lassen wir dir mal das Kommutativgesetz bei 2(1+i).
Dann hast du trotzdem hinten 2(1-i)/(2+0i) stehen.
2/(2+0i) ist für die reele 2 nicht definiert.
Klar kann man das durch die Nutzung des Inversen aushebeln.
Aber wie gesagt, das kommt lediglich durch die strukturelle Gleichheit der komplexen und reelen x-Achsen zustande.
Was machst du, wenn die Verknüpfung mit reeler und komplexer "2" nicht dasselbe Ergebnis liefern würde?

Weiß nun wirklich kaum noch was ich hier machen soll, um noch deutlicher zu machen, dass es zwischen Identität, Gleichheit und Äquivalenz einen Unterschied gibt.
In jedem Fall sollte die Antwort nicht von den Formulierungskünsten des Autors abhängig sein.
Die arithmetische Äquivalenz zweier Elemente garantiert noch keine Gleichheit.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

Lassen wir dir mal das Kommutativgesetz bei 2(1+i).

Hallo Skeltek,

dabei wäre das das erste, was man aufgeben würde. Mit der Konsequenz nota bene, dass der Hauptsatz der Algebra nicht mehr gilt, aber den braucht man ja nicht immer.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

2/(2+0i) ist für die reele 2 nicht definiert.

Hier ist das Problem, dass Du nicht anzuerkennen bereit bist, dass 0i = 0 ist.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

Klar kann man das durch die Nutzung des Inversen aushebeln.

Und das ist nun mal ein sehr starkes Argument, zumal diese Inversen eindeutig sind.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

Aber wie gesagt, das kommt lediglich durch die strukturelle Gleichheit der komplexen und reelen x-Achsen zustande.

Wie oft muss ich Dir noch schreiben, dass das algebraisch falsch ist ? - Wenn Du zu meiner Antwort eine Frage hast, dann stell' diese doch bitte. Du klebst aus einem mir unverständlichen Grunde im Vektorraum fest und übersiehst, dass nicht nur eine Vielfachenbildung, sondern eine echte Produktbildung vorliegt !

Im Vektorraum - ja, da sind die 1 ~ (1,0) und i ~ (0,1) gleichwertig, aber doch nicht bei der Produktbildung !

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

Was machst du, wenn die Verknüpfung mit reeler und komplexer "2" nicht dasselbe Ergebnis liefern würde?

Bis auf Isomorphie liefern sie aber nun mal dasselbe Ergebnis.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

Weiß nun wirklich kaum noch was ich hier machen soll, um noch deutlicher zu machen, dass es zwischen Identität, Gleichheit und Äquivalenz einen Unterschied gibt.

Ich hatte Dir einmal angeboten, zwischen der natürlichen Zahl 2, der ganzen Zahl +2, der rationalen Zahl 2/1, der algebraischen Zahl Nullstelle von p(x) = x-2 und der reellen Zahl 2.0 zu unterscheiden, aber bis heute bist Du leider nicht darauf eingegangen.

Und da zwischen IN, IZ, IQ, IA_reell und IR eine echte Teilmengen-Beziehung besteht, erscheint es mir auch nicht zweckmässig, zwischen den verschiedenen Varianten von 2 zu unterscheiden, sondern es erscheint mir zweckmässiger, die konkrete Struktur zu unterscheiden, also IN als Halbgruppe, IZ als Gruppe und als Ring, der überdies ein Einselement enthält, in der Multiplikation kommutativ ist und zudem nullteilerfrei ist, d.h. sogar ein Integritätsbereich ist, so dass man aus ihm einen Quotientenkörper bilden kann, sowie dem Körper IQ, dem algebraisch abgeschlossenen Körper IA und dem vollständigen Körper IR zu unterscheiden.

Vorsicht noch an dieser Stelle: IR ist nicht algebraisch abgeschlossen ! Algebraisch abgeschlossen und vollständig hast Du erst in IC.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

In jedem Fall sollte die Antwort nicht von den Formulierungskünsten des Autors abhängig sein.

Dem stimme ich zu. Ich halte mich an die Konventionen, wie sie an den Universitäten im Bereich der Algebra vereinbart sind. Das braucht aber nicht zu heissen, dass es nicht bessere Knventionen gibt.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

Die arithmetische Äquivalenz zweier Elemente garantiert noch keine Gleichheit.

Das hängt davon ab. Wenn in einer Gruppe die Differenz zweier Elemente den Wert 0 hat, so sind diese beiden Elemente gleich.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 23:45

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mär 2017, 19:32

Weiß nun wirklich kaum noch was ich hier machen soll, um noch deutlicher zu machen, dass es zwischen Identität, Gleichheit und Äquivalenz einen Unterschied gibt.

Ich hatte Dir einmal angeboten, zwischen der natürlichen Zahl 2, der ganzen Zahl +2, der rationalen Zahl 2/1, der algebraischen Zahl Nullstelle von p(x) = x-2 und der reellen Zahl 2.0 zu unterscheiden, aber bis heute bist Du leider nicht darauf eingegangen.

Das ist mir gar nicht aufgefallen. Hab ich das dann wohl überlesen?

Und da zwischen IN, IZ, IQ, IA_reell und IR eine echte Teilmengen-Beziehung besteht, erscheint es mir auch nicht zweckmässig, zwischen den verschiedenen Varianten von 2 zu unterscheiden, sondern es erscheint mir zweckmässiger, die konkrete Struktur zu unterscheiden, also IN als Halbgruppe, IZ als Gruppe und als Ring, der überdies ein Einselement enthält, in der Multiplikation kommutativ ist und zudem nullteilerfrei ist, d.h. sogar ein Integritätsbereich ist, so dass man aus ihm einen Quotientenkörper bilden kann, sowie dem Körper IQ, dem algebraisch abgeschlossenen Körper IA und dem vollständigen Körper IR zu unterscheiden.

Ja, eine semantische Unterscheidung ist tatsächlich weder zweckmäßig noch in der breiten Praxis sinnvoll.
Wenn man die über den beiden von uns diskutierten (Teil-/)Mengen aufgespannten Relationen von den Elementen abgekoppelt betrachtet hast du durchaus Recht und die Gebilde sind tatsächlich isomorph.
Man kann der Einfachheit halber sogar dieselben Bezeichner für äquivalente Elemente verwenden.
Wir haben einen Punkt P in Q mit Namen R, wir wollen ihn S nennen... unser Problem hier ist ja eher philosophischer Natur - weshalb Q nicht in die Reihe passt ist denke ich klar.
Wir haben zwei überabzählbare Mengen zunächst namenloser Elemente mit einer Struktur-erhaltenden Bijektion zwischen ihnen. Es spricht nichts dagegen, den einander entsprechenden Elementen dieselben Namen zu geben.
Wenn zwei Mengen nicht unterscheidbar sind, ist es schlicht Ansichts-Sache ob man sie als dieselbe Menge behandeln möchte oder nicht.

Ich gebe dir in deinem Kontext hier erstmal völlig recht, allerdings glaube ich immer noch nicht ob du weisst worauf ich hinaus möchte.
Auch wenn es meiner Meinung nach eher eine philosophische Frage ist, war ich bisher davon überzeugt, dass die gängige Meinung der wenigen echten Spezialisten eher für eine Unterscheidung der Elemente spricht (90-95% der Mathematik-Professoren betreiben Mathematik immerhin nur auf Universitäts-Niveau).
Für mich ist das so, als würde man Äpfel und Birnen vergleichen, sich dabei auf die Addition beschränken und dann schlussfolgern, dass Birnen Äpfel sind, weil ja 1B+3B+5B=9B genau den gleichen Vorgang wie 1A+3A+5A=9A beschreiben (auch wenn man jetzt Äpfel und Birnen in speziel dem Fall nicht miteinander multiplizieren kann).

Skeltek hat geschrieben: ↑

15. Mär 2017, 20:29

allerdings glaube ich immer noch nicht ob du weisst worauf ich hinaus möchte.

Hallo Skeltek,

lass uns bitte noch dieses Beispiel anschauen ehe wir überlegen, ob ich verstanden habe, worauf Du hinaus möchtest.

Seien p,q rationale Zahlen und sqrt(2) die Quadratwurzel von 2, welche per definitionem die positive Lösung der quadratischen Gleichung x²-2=0 ist.

Wir betrachten die Menge p+q*sqrt(2), also die IQ(sqrt(2)).

Auch hier können wir eine "Äquivalenz" zur IR² herstellen, nur dass der Vielfachenkörper IQ ist, also eine IQ² vorliegt. 2-dimensionaler Vektorraum, (1,0) ~ 1, (0,1) ~ sqrt(2), alles perfekt. Und keine einzige imaginäre Einheit. Und hier haben wir eben die Produktbildung:

(1,0)*(1,0) := (1,0)
(0,1)*(0,1) := (2,0)

Auch hier gilt: 1 und sqrt(2) sind nicht gleichberechtigt.

Bist Du mit dieser Feststellung einverstanden ?

Wenn ja, dann kannst Du eine "Äquivalenz" bilden zwischen der Menge aller p+q*sqrt(2), also der IQ(sqrt(2)), und der Menge p+q*i, also der IQ(i).

Wenn Dir das zu schnell geht (mir ging das damals zu schnell ) kannst Du vorgängig dieselben Überlegungen auch noch für die Menge aller p+q*sqrt(3), also der IQ(sqrt(3)), und die Menge aller p+q*sqrt(5), also der IQ(sqrt(5)), tätigen; die zweite Produktbildung in der IQ² lautet dann (0,1)*(0,1) := (3,0) bzw. (0,1)*(0,1) := (5,0).


Ok, Cauchy-Folgen konvergieren nicht, weil IQ(i) nur abzählbar ist, aber in der Algebra sind Konvergenzfragen "out-of-scope", so etwas macht man in der Analysis, wenn einem ein Kontinuum zur Verfügung steht, in dem man Eigenschaften für alle epsilon > 0 herleiten kann.


Freundliche Grüsse, Ralf

Verstanden habe ich schon was du sagst. Dir geht es um eine besondere Auffassung des Wortes 'gleichberechtigt'?
Die Äquivalenz wäre ja da, wenn nur das mit den Äquivalenzklassen an 'x-Achsen-Intervallen' nicht wäre, da lassen sich in dem Beispiel beliebig viele (sqrt(2)^2)^z hinein interpretieren wie man will.
Bei z.B. (1,0) weiss man gar nicht wie viele "2"er wirklich drin stecken, aber da kann man ja darüber hinweg sehen.
Als Fragestellung ungeeignet, da du vergessen hast da eine Frage hinzuschreiben
Aber ich les mir alles gerne durch was du schreibst, zumindest macht es Spaß.

Vielleicht hilft dir das meiner Meinung etwas näher zu kommen:
Ich hab früher sehr viel mit mehrdimensionalen Körpern (Würfel, Kugeln, Polyeder) herumgemacht, entsprechend ist es für mich schwer von einem Element wie zB. einem Punkt, die zugehörigen Relationen wie z.B. höheren mehrdimensionalen Ableitungen nach allen möglichen Achsen usw weg zu denken.
Für mich gehören zu einem Element immer auch seine Eigenschaften und Relationen, welche seine Bedeutung, Identität und Zusammenhänge in der Menge festlegen. Ohne diese wäre die Menge einfach nur eine überabzählbare Menge an namenlosen, bedeutungslosen unzusammenhängenden Elementen, welche noch nicht einmal eine Topologie oder ähnliches aufweist.
Deshalb betrachte ich z.B. einen Punkt in einer Linie oder Fläche als etwas völlig anderes als einen Punkt im höherdimensionalen Raum.

Ist auch irgendwie eine philosophische Frage bzw Ansatz: Wird das große ganze durch die Summe seiner Elemente aufgebaut, oder sind die Elemente lediglich eine Folge der Relationen, durch deren Definition man das Ganze bis ans Maximum in Elemente aufspaltet?

Skeltek hat geschrieben: ↑

16. Mär 2017, 10:55

Verstanden habe ich schon was du sagst. Dir geht es um eine besondere Auffassung des Wortes 'gleichberechtigt'?
Die Äquivalenz wäre ja da, wenn nur das mit den Äquivalenzklassen an 'x-Achsen-Intervallen' nicht wäre, da lassen sich in dem Beispiel beliebig viele (sqrt(2)^2)^z hinein interpretieren wie man will.
Bei z.B. (1,0) weiss man gar nicht wie viele "2"er wirklich drin stecken, aber da kann man ja darüber hinweg sehen.
Als Fragestellung ungeeignet, da du vergessen hast da eine Frage hinzuschreiben

Hallo Skeltek,

ich bin ich einem Kurs, deswegen nur ganz kurz:

Irgendwie gibt es da keine Frage. (1,0) ist ein Basisvektor und der entspricht in diesen Koerpern mit einem adjungierten Wurzel (z.B. Quadratwurzel) dem "Realteil", also den rationalen Vielfachen von 1. Da stecken also alle rationalen Vielfachen von 2 drin, und das sind alle rationalen Zahlen.


Freundliche Gruesse, Ralf