Algebra

[breaker]

Ich finde es eigentlich fast beschämend, dass ich das noch gar nicht weiß, aber wie findet man denn alle Lösungen einer solchen Gleichung: sin(x) = sin(kx) ?

Ich komm da immer nur auf x = kx und, wenn k nicht 1 ist, bedeutet das immer x=0, aber wie finde ich die anderen Lösungen??

[AlTheKingBundy]

die beantwortung der frage hängt auch stark von dem definitionsbereich für x ab. gehen wir von x>=0 aus, möchte ich noch ein paar lösungen hinzufügen:

ist x = pi/2 gibt es auch Lösungen für k = 1,3,5,7....

der negative bereich gestaltet sich analog.

[wilfried]

Lieber breaker

was bitte ist beschämend, wenn jemand etwas nicht wiess und danach ganz einfach fragt?

Ein weiterer Suchbegriff in dieser Thematik ist: FOURIER.
Hier werden zeitliche Abhängigkeiten eines Signals (oder von mir aus einer Date) in den Frequenzbereich trnasformiert.
Du erkennst darin wiederum die Periodoiztäten, das was Al die erzählte.

Neben FOURIER Trafo gibt es dann auch noch die Laplace, z, Hartley Trafo, die alle zueinander verwandt sind.

Netten Gruß

Wilfried

[breaker]

Beschämend ist vielleicht ein etwas harter Ausdruck, ich meine nur, wenn ich jeden Tag irgendwas am Rechnen bin, müsste ich eigentlich mittlerweile in der Lage sein, eine so einfache Gleichung zu lösen.

Andere Frage.
Irgendwie tut sich mir da ein grundsätzliches Problem auf. Es heißt ja, man verändert eine Gleichung nicht, wenn man auf beiden Seiten das Gleiche macht.
Hat man nun aber die Gleichung x = kx+b, dann gibt es eine Lösung für x und die ist x = b/(1-k).
Wenn ich jetzt die Gleichung quadriere, bekomme ich auf einmal 2 Lösungen, statt eine, und wenn ich den Sinus von beiden Seiten nehme, hab ich auf einmal unendlich viele, obwohl ich ja eigentlich nichts verändert haben dürfte.

[AlTheKingBundy]

ich hoffe, dein mathelehrer hat dir nicht beigebracht, dass man alles machen darf auf beiden seiten einer gleichung

ansonsten empfehle ich: lehrer/schule wechseln

[gradient]

@ Al: Beim Umformen von Gleichungen legen viele Lehrer keinen Wert darauf, z.B. die Äquivalenzpfeile hinzuschreiben, oder wenn nötig "=>". Das das Niveau in der Schule so gesunken, ist liegt daran, dass alle meinen, nur pure Anwendungen wären wichtig. Fragen wie "Warum?" sind egal, solange man hat das Prinzip erkannt. Wir werden eben zur Elite erzogen.

@ Breaker: Man kann auf beiden Seiten nur dasselbe machen, wenn diese Umformungsschritte äquivalent, also gleichbedeutend sind. Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Genauso wenig sin auf beiden Seiten zu schreiben. Die Beweise für die Aussagen hast du ja bereits erbracht.

[breaker]

ich hoffe, dein mathelehrer hat dir nicht beigebracht, dass man alles machen darf auf beiden seiten einer gleichung

ansonsten empfehle ich: lehrer/schule wechseln

Schule wechseln geht nicht mehr, weil ich nicht mehr in der Schule bin.
Dass man auf beiden Seiten alles machen darf, hab ich wohl noch aus der Realschule mitgenommen, da wurde uns das bei der Einführung ins Thema Gleichungen so beigebracht.

[wilfried]

Lieber breaker

mal eine grundsätzliche Bemerkung zu Deinen Mathe Interessen.

Aus Deinen vielen Beiträgen rund um Mathefragen ersehe ich Deinen Wissensdurst. Ich finde es aber andererseits auch nicht ganz zielführend jedes kleinere Problem erst mal ins Forum zu stellen um zu sehen was wir antworten.

Solch ein Forum soll und will ja keine Schulveranstaltung sein, sondern eine Diskussionsbühne.
Ich empfehle Dir entweder die Fernsehkurse anzusehen oder was evenuell für Dich auch sinnvoll ist eine Fernweiterbildung zu starten.

Solch ein Wissensdurst ist unterstützenswert und dieser sollte aber verwertbar untermauert werden.

Das Forum kann Dir nichts verwertbares geben. Ich meine damit, wenn Du Dich irgendwo bewirbst oder zu Deinem Chef hingehst und sagst: "im Astrophysikforum habe ich das alles gelehrt bekommen" erntest Du bestenfalls ein müdes Lächeln. Wenn Du aber eine zertfizierte Weiterbildung -VH oder sowas- besuchst und dies vorweist, dann hilft es Dir beruflich sehr viel weiter.

Bitte versthe meine antwort hier nicht als "Schweigegebot" oder sowas, sondern ich sehe Dich als wissensstrebenden jungen Menschen und ich will Dir ja nur helfen, dieses Streben auch zielgerichtet und damit erfolgreich für Dich umzusetzen.

Gerne helfen wir Dir weiter und bleiben "auch am Ball" bei Deinen Fragen. Aber denke auch mal über meine Worte nach.

Ganz netten Gruß

Wilfried

[breaker]

Die meisten Sachen, die ich wissen will, schaue ich auch zuerst woanders nach, bevor ich im Forum frage.

Eine Fernweiterbildung halte ich für nicht besonders Sinnvoll, weil ich sowieso in einigen Monaten mit Studieren anfange und ich glaube eigentlich kaum, dass in der Volkshochschule oder so Kurse über höhere Mathematik angeboten werden, weil es da keine Nachfrage gibt.
Und ich wüsste auch nicht, was ich mit einem Zertifikat von einem Mathekurs anfangen soll. Bis ich mal so weit bin, mich irgendwo zu bewerben, wird da wohl kaum einer mehr danach fragen.

[wilfried]

Lieber breaker

danke für Deine Antwort. Ich habe es ja nur deshalb angeregt, da ich ja nicht wissen konnte was Du vorhast. Passt schon, nicht falsch verstehen: es war ja meinerseits kein Vorwurf oder ähnliches sondern nur ein gut gemeinter Rat, der sich aber auf Grund Deiner Antwort klarerweise erledigt hat.

Mach nur so weiter, ist alles i.O.

Netten Gruß

Wilfried

[breaker]

Schon gut, als Vorwurf hab ichs auch nicht verstanden.

[gravi]

...und lass Dich bloß nicht bremsen!

Frag den Wilfried die größten Löcher in den Bauch, schließlich hat er Dir als Moderator stets Rede und Antwort zu stehen

Aber was rede ich hier, Ihr versteht Euch auch ohne meinen überflüssigen Kommentar ja ganz prima!

Gruß
gravi

[wilfried]

Lieber gravi

was stellst Du da an, Du hetzt mir den lieben breaker auf. Ich will kein Loch im Bauch, sonst fließt doh mein allabentliches Bier raus und mein Wurstbrot bleibt nicht drin. Wie soll meine Frau je diese Sauerei wegbringen?????

Also nein -Kopfschüttel- von Dir hätte ich das nicht erwartet....

Lieber breaker, lass Dich nicht auf solche Machenschaften ein. Ich will keinen kaputten Bauch, keinen Bauch mit Löcher...
So, das mach ich jetzt mit unserem gravi:

Das hast Du davon, anderen Leuten Löcher zu wünschen...

Netten Gruß

Wilfried

[gravi]

Ooooch, lieber Wilfried,

so lange es kein Schwarzes Loch wird, wäre das für eine gute Durchlüftung doch ganz prima!
Ich will aber nun nicht vertiefen, wie es in unsereinem aussieht und dort müffeln könnte - das würde dann doch etwas zu weit vom Thema abweichen! Also lieber zurück zur Algebra und den mathematischen Fragestellungen.

By the way, ich habe mich zwar noch nie sonderlich damit beschäftigt, aber zu was sind eigentlich die imaginären Zahlen gut? Werden die überhaupt irgendwo benötigt und gibt es praktische Anwendungen, in denen man mit ihnen rechnen kann?

Also da habe ich wirklich keine blasse Ahnung...

Sorry Wilfried, das ist wohl wieder ein kleines Loch!

Netten Gruß
gravi

[gradient]

Ja, imaginäre Zahlen sind auch in der Praxis nützlich, weil die halbe Elektrotechnik auf ihnen basiert.

Man kann z.B. für Widerstände imaginäre Zahlen benützen:
\fedon\mixonKondensator: X_c=1/(i\omega C)
Spule: X_L=i \omega L

Bei einer Reihenschaltung von Spule und ohmschen Widerstand R gilt
dann: R_ges = R+ i \omega L
oder, wenn man den reellen Wert haben will: abs(R_ges)=sqrt(R^2+\omega^2 L^2)

Denn eine komplexe Zahl z kann geschrieben werden als z=a+b*i.
\fedoffDer Betrag davon ist gerade abs(z)=sqrt(a^2+b^2).

Ich hatte Mitleid mit Wilfried, daher der Beitrag.

@ Breaker: cool, will auch studieren. Wo studierst du denn, wenn ich fragen darf? Fängst du im kommenden Wintersemester an?

[wilfried]

Lieber gravi

nein, das ist kein Loch...

Zahlen an sich sind eine Darstellung der Position innerhalb EINER Dimension.
Sagen wir: auf einer Skala von 0 bis 10 sei die Position 3. Das ist eine Zahl.

Nun stell Dir mal vor, diese Zahl hätte noch eine Eigenschaft dazu. Als Beispiel führe ich an den Phasenwinkel. Dann müssen wir diese eigenschaft dieser zahl in irgendeiner Form mitgeben. Diese Zahl wird dadurch zu einer 2-dimensionalen Zahl, wobei die erste Dimension die der Original-Zahlenbedeutung ist -lass mich dazu "reel" sagen und die andere Dimension ist der Phasenwinkel. Nun kommt die Frage: wie eigentlich stellt man das dar?
Dazu greifen wir etwas zurück:
Sei der Phasenwinkel 0 Grad heisst das, diese Zahl entspricht der Originalzahl, der reelen Zahl. Sei der Phasenwinkel ungleich 0 Grad, so heisst das, wir haben eine andere Ausrichtung dieser Zahl. Der Phasenwinkel ist aber ein Winkel und hat eine Periode. Damit wiederholt sich, wenn wir uns diesen Phasenwinkel einmal fortlaufend sich ändernd vorstellen im Abstand von 360Grad oder 2 Pi der Charakter dieser Zahl.

Der nächste Schritt führt uns damit auf die Darstellung:

sinnvoll ist es doch eine solche 2-dimensionale Zahlendarstellung auf einemKoordinatensystem zu plazieren. Wir malen auf der X-Achse unsere "normale" Zahlenvorstellung, die der reelen Zahlen auf. Auf der Y-Achse, welche wir einmal senkrecht auf die X-Achse plazieren malen wir die andere Dimension auf. Wir benennen sie mal nicht.

4 +
3 + ~~~~~~~~~* dieser Stern bezeichnet die Position einer Zahl, die sich mal auf 2
2 + Dimensionen bezieht
1 +
0 ---+--+--+---+--
1 2 3 4 ---reelle Zahlen (Lieder vermag ich das hier nicht als schönes Bild darzustellen, aber kommt schon klar damit oder?)

Damit kann dann eine solche Zahl als Punkt in einem Koordsystem angesehen werden. Solch eine Zahl besitzt dann auf dem Koordinatensystem 2 Spuren, nämlich diejenige auf der X und selbige auf der Y Achse.

Euler erkannte, ähnlich wie ich es oben beschrieb, dass es ja eine Periodizität gibt, wenn man denn die Zahlencharaktere noch etwas weiter einschränkt. Denn: wo kennen wir Perioden, naja bei Schwingungen. Damit schreiben wir einmal eine Schwingung hin:
Y = A*sin (omega t) Ich lass den Phasenfehler einmal weg, der spielkt hier nur eine untergeordnete Rolle.

Euler erkannte auch, dass solch eine Schwingung auch als Spur auf eine Achse aufzeichenbar ist. Das ist so, als wenn Du frontal auf einen sich drehenden Fahrradreifen schaust und das Ventil beobachtest. Das geht dann nur noch auf und ab.
Dem gegenüber geben wir nun dieser bewegung, welche ja periodisch ist eine weitere periodische Bewegung, die damit auf der Y-Achse in gleicher Art als Spur aufgetragen wird. Wenn man jetzt diese Bewegungen so zueinander ansieht, dass die eine Bewegung zur anderen Bewegung einen Phasenversatz, als eine Verzögerung erhält, so kann damit erreicht werden, dass z.B. bei erreichen der Maximalposition der andere Wert seinen Nulldurchgang hat.
Nächster Schritt: beide Schwingungen werden miteinander verbunden, zeichentecnisch.
Trage diese Bewegungen der Einfachheit halber in einem äquidistanten Mass auf, sagen wir mal pi/10 oder so was und verbinde die Projektionen, also die Spuren miteinander, so findest Du für diese äquidistanten Orte einen Kurvenverlauf, welcher kreisfömig zu sein scheint. Mehr Punkte, umso klarer das Kreisbild.

Damit kannst Du nun zu jedem Treffpunkt einen vom Ursprung des Koordsystems ausgehenden Strahl mit einem Pfeil zu diesem Treffpunkt hin zeichen (Vektor). Ist das Koordsystem karthesich, gilt der Pythagoras. Sagen wir sin(omega T) dann ist der Betragsextremwert immer 1. Und damit läßt sich jeder Punkt als sin^2 + cos^ 2 = 1 schreiben.

Solche Systeme, die deratige oder auch schiefwinklige Verhältnisse zueinander besitzen werden über 2-dimensionale Zahlen geschreiben. Es hat sich irgendwann mal "eingebürgert" diese Y-Achse "komplexe Achse" zu nennen und diese Zahlendarstellung "komplexe Zahl" zu nennen. Der Begriff komplex kommt soweit ich weiß aus gem Griechich und bedeutet "zusammengesetzt". Vieleicht haben wir einen Altphilologen an Bord, der hier helfen kann diese Begrifflichkeit herzuleiten.

Damit ist die 2-Dimensionalität einmal dargestellt. Jetzt geht es noch um die Anwendbarkeit. Wie ich soeben ausführte, gibt es Zugehörigkeiten gewisser physiklaischer Zusammenhänge. Das sind sehr häufig zeitliche Zuordnungen, welche innerhalb eines definierten Systems als Verzögerungen oder als Phasen auftreten. Wie passiert so etwas?
Nehem wir mal die Wirkung eines elektrischen Feldes. Erst einmal muss ein solches Feld durch Aufbringen einer Spannungsdifferenz erzeugt werden. Diese Spannungsdifferenz ist aber nur hinreichend. So erzeugen wir über einem Widerstand auch eine Spannungsdifferenz, aber haben wir deshalb ein elektrisches Feld?
Wir brauchen demzufolge boch eine notwendige bedingung nämlich die der Ladungstrennung. Diese ladungstrennung bedeutet aber, dass wir erst einmal energie hingeben müssen um diese Feld zu erzeugen. Der alte Spruch:
AM KAPAZITOR GEHT DER STROM VOR

Haben wir eine Spule, so bildet sich diese erst einmal als Widerstand ab. Lassen wir also durch diesen Widerstand einen Strom fliessen (Energiefluß gefällt mir besser, aber ich bleib mal beim landläufigen Begriff), und schalten dann den Strom ab. Damit haben wir um den Draht herum ein magnetisches Feld erzeugt, da ja durch ein Volumen -von mir aus auch durch eine Fäche einen Energiefluss aufgezeigt haben
Alter Spruch:
AN DER INDUKTIVITÄT KOMMT DER STROM ZU SPÄT

Beide Effekte besutzen demzufolge gekoppelte Beeinflussungen, zeitliche Abhängigkeiten, welche duch solche 2 dimensionalen zahel -komplexe Zahlen- leicht darstellbar sind.

Gehst Du wieder auf die Darstellung zurück, so ergibt sich unmittelbar rein aus der Geometrie dieser 2-dimensionalen Zahl, der Zahlenebene auch die Rechenvorschriften zur Behandlung solcher Zahlen.

Du siehst lieber gravi, Diene Frage ist gar nicht so unberechtigt.

Weiter wird diese Gruppe von Zahlen gerne dort angewandt, wo solche Phasenbeziehungen sich ebenfalls zeigen: Drehprozesse. Eine Drehdarstellung -Drehmatrix- kann auch durchaus mit 2-dimensionalen Zahlen, also in komplexer Darstellung durchgeführt werden.

Ich hoffe meine Ausführungen haben die Grundideen etwas erläutert.

Netten Gruß

Wilfried[/math]

[gravi]

Das ist ja wirklich interessant!
Vielen Dank für diese Hinweise.

Aber dass die halbe Elektrotechnik darauf basiert - das glaube ich nun doch nicht. Ich habe mich schon viel mit Elektronik beschäftigt und so manches berechnen müssen. Doch imaginäre Zahlen sind mir da bislang nicht begegnet.

Doch nochmals Danke!

Gruß
gravi

[wilfried]

Lieber gradient


danke für Dein Mitleid mit mir. Aber viel mehr Dank für diese schöne Darstellung einiger Beispiele. Ich denke damit hast Du dem gravi bestimmt auch weitergeholfen.

Ich denke aber in der theoretischen Chemie wird doch sicher auch mit solchen komplexwerigen Größen gerechnet oder nicht?

Gruß

Wilfried

[wilfried]

Lieber gravi

gewiss rechnet nicht die halbe E-Technik mit komplexen Zahlen. Aber es wird schon viel damit gemacht. Schau mal in der HF Technik, die nutzt die Komplexdarstellung extensiv. Wir in der Signalverarbeitung auch. Aber es sind halt die Theoretiker, die das machen. Die Praxis-orientierten E-Techniker haben in der tat wenig damit zu tun und vergessen deren Existenz nach einigermaßen kurzen zeit nach dem Studium auch tunlichst.

Ich beispielsweise habe damit nahezu jeden Tag zu tun. Ich merk es schon gar nicht mehr, für mich ist das Alltag.

Gruß

Wilfried

[breaker]

Hui, da ist ja einiges zusammengekommen.

Erstmal @gradient: Ich hab bis jetzt vor, in Heidelberg zu studieren. Die haben, was Physik angeht, glaub einen recht guten Ruf und ich war auch schonmal da und hab mir eine Vorlesung angehört. Am nächsten Studientag geh ich wahrscheinlich nochmal hin. Nächstes Semester fang ich noch nicht an, weil ich gerade erst als Zivi angefangen hab und noch 8 Monate vor mir hab.

Das mit den Komplexen Zahlen find ich auch interessant.
@Wilfried: Ich verstehe jetzt gerade nicht ganz den usammenhang zwischen der Darstellung von Schwingungen und den Wurzeln aus negativen Zahlen, wofür ich komplexe Zahlen bisher ausschließlich gehalten habe.

[wilfried]

Hallo leiber breaker

die Sache mit den Wurzeln aus negativen Zahlen ist exakt so zu sehen, dass eben diese Y-Achse mit dem "Attribut" j pder sqrt(-1) versehen wird. Die Darsellung der rein komplexen Zahl z.B. J3 heist auf eben dieser Y-Achse befindet sich diese Zahl 3 ganzzahlige Stufen im positiven Bereich.

Nur habe ich in meiner vorherigen Erklärung bereits daraufhin gewirkt, dass eben, da wir hier eine Ebene aufspannen es auch zusammengesetze Zahlen gibt z:b 4 + J7 oder -3 +j4 oder -3 -j8 usw. Und diese zusammengesetzten Zahlen besitzen in dieser Darstellung einen Zielpunkt in dieser Ebene irgendwo eben innerhalb eines der Quadranten. Der Vektor dieser "Zielgeraden" wird dann mit Hilfe des Pythagoras Satzes ermittelt.

Jetzt etwas klarer geworden?

Netten Gruß

Wilfried

[gravi]

Uff, da habe ich wohl ein Thema aufgetan!

Ich wusste wirklich nicht, dass man so viel mit den imaginären Zahlen anfangen kann.

Um auf Deine Frage sprechen zu kommen, lieber Wilfried: in der Chemie sind sie mir noch nicht begegnet. Elemente und Moleküle und all die netten Sachen, die man daraus basteln kann, sind alle sehr real!

Da hätte ich noch etwas für die Matheexperten:

Kann man eigentlich (sinnvolle) Rechnungen mit der Zahl "Unendlich" anstellen? Wenn ja, wie? In der Natur gibt es sie wohl nicht...

Gruß
gravi

[wilfried]

Lieber gravi

oh ja durchaus:

nehmen wir mal an, Du hättest einen Operationsverstärker...hat nix mit Krankenhaus zu tun!!
Operationsverstärker kurz OPs sind Verstärker für Signalverarbeitung, mit denen kann man Addieren, Multiplizieren usw.

Diese haben eine endliche innere oder auch intrinsische Verstärkung A0. Damit meint man die freie Verstärung ohne Aussenbeschaltung. Mit einer Aussenbaschaltung spriche man dann von der extrinsischen oder der Signalverstärkung A_S.

Zurück zur inneren verstärkung. Diese ist für die Genauigkeit massgebend. So rechnet sich ein solcher Verstärker damit (Übertragungsfunktion = ÜTF) hier vereinfacht dargestellt:

Ausgang = -(Eingang-Referenzspannung) * A_S * 1/(1-1/A0)

Auf den hinteren Term kommt es an:

Damit wir solche eine ÜTF leichter rechnen können setzen wir erst einmal A0 = infinity. Damit wird der term 1-1/A0 = 1/1-infinity = 1

Dass sind Vereinfachungen, die wir sehr gerne zwecks Prüfung durchführen.

Es gibt noch andere Beispiele:

Sehen wir mal ein Signal im Zeitbereich x(t)

Damit wir uns eine Vorstellung darüber machen, wie dieses im Frequenzbereich aussieht führen wir eine Fouriertrafo durch. Das ist:

int from -infinity to infinity x(t) * exp(-j*omega*t) dt mit omega = 2 pi f

Das Integral kommt aus theoretischen berlegungen zusammen, die mit der e-j Funktion zusammenhängen, denn darin enthalten sind die Frequenzterme sin .. und j cos ..
und zwar alle.

Beschneidet man dieses Integral, wie man es in der technik tut, so wird ein Fehler gemacht. Ergo führt int from -t1 to t1 von diesem Fourierintegral zu einem Fehler im Frequenzbereich.
Wir nennen das "destuktive Interferenz". Das erkennt man an Störungen im Spektrum und diese müssen berücksichtigt werden.

Darüber könnt ich jetzt noch viel erzählen, aber gerade diese Unendlichkeitsbetrachtungen spielen bei uns in der Signaltheorie und damit in der täglichen Anwendung eine Schlüsselrolle.

Netten Gruß

Wilfried

[breaker]

Hui, je mehr ich lese, desto mehr glaube ich, dass ich unbedingt ein Buch über Funktionentheorie/komplexe Zahlen brauche...

Zum Rechnen mit Unendlich fällt mir noch ein, dass man mit Grenzwerten oft viel machen kann. Zum Beispiel:

Das ergibt genau 1, obwohl die Fläche ins Unendliche reicht (und e so eine krumme Zahl ist).

[gravi]

Danke für Eure Antworten!

Ich habe zwar nicht alles komplett verstanden, aber so im Hintergrund klingt das doch recht einleuchtend. Ich hätte nicht geglaubt, dass man mit einer solchen "Zahl" auch tatsächlich rechnen kann.

Allerdings werden einfache Rechenoperationen - wie z.B. Unendlich minus 1 - wohl eher unsinnig sein?

Lieber Wilfried, die kleinen Achtbeiner namens OP- Amps sind mir durchaus geläufig. Allerdings berechne ich sie nicht, sondern "brate" sie in meine Platinen, wenn mal wieder ein neues Kästchen für die Gitarren entseht. Hab 'ne ganze Sammlung von denen. War ich damals entzückt, als ich den ersten µA 741 erworben hatte!

Gruß
gravi