Theorem zu einem korrekten und vollständigen Kalkül

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Pippen
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Theorem zu einem korrekten und vollständigen Kalkül

Beitrag von Pippen » 8. Feb 2018, 03:38

Gegeben ein beliebiges Kalkül K mit einer beliebigen Formelmenge F und einer beliebigen Interpretation:

Wenn K korrekt und vollständig ist, dann gilt definitionsgemäß: (F |- a) <-> (F |= a). Das wäre ein wahres Bikonditional und ein Blick auf dessen Wahrheitstabelle zeigt uns, dass damit entweder beide Teile wahr oder beide Teile falsch sein müssen, woraus folgt: (F |- a) -> (F |= a), d.h. a ist ableitbar, dann ist a wahr und ~(F |- a) -> ~(F |= a), d.h. a ist nicht ableitbar, dann ist a nicht wahr, also falsch.

MaW: In einem korrekten und vollständigen Kalkül kann man nicht nur von der Ableitbarkeit einer Formel auf deren Wahrheit schließen, sondern auch umgekehrt von der Nichtableitbarkeit auf deren Falschheit. Richtig?

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