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Counting

Mathematische Fragestellungen
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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 26. Okt 2017, 15:22

Neue Frage: Eine Serie hat 90 Folgen, ich schaue mir zufällig 400mal eine Folge an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich dabei letztlich alle 90 Folgen "erwische"? Der Erwartungswert ist schonmal 1/90 * 400 = 4.444, d.h. ich schaue mir im Schnitt jede Folge 4mal an, aber wie berechne ich die genaue Wahrscheinlichkeit dafür, alle 90 "zu erwischen"?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 26. Okt 2017, 18:34

Das ist eine schöne Aufgabe!

Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Folgen zu betrachten. Schaut man nur 90mal die Folgen an, ist die Berechnung einfach. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, alle zu erwischen



Ich habe das Problem mal runtergebrochen auf drei Folgen. Bei drei Betrachtungen ist die Wahrscheinlichkeit alle zu erwischen 1/9 und bei vier Betrachtungen 2/9. Bei fünf Betrachtungen ist der händische Aufwand, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, schon hoch. Es gilt also eine Systematik zu finden, die die Berechnung im Handumdrehen erlaubt. Ob es eine einfache geschlossen Formel gibt, ist vielleicht zweifelhaft. Es läuft vielleicht auf eine Summenformel hinaus.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 27. Okt 2017, 03:23

Ich sehe das so: (Einfacher Fall) Wir haben nur 2 Folgen der Serie und schauen 2mal zufällig. Das ist wie eine Urne mit zwei Kugeln (1,2) und wir ziehen 2mal mit Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, mit 2mal Ziehen beide Nummern (Folgen) zu sehen, also P (1,2 oder 2,1), wäre 0.5. Das kann man noch schön mit einem Baumdiagramm lösen. :)

Gleicher Fall, wie oben, nur mit 90 Kugeln und 400mal Ziehen. Keine Chance für ein Baumdiagramm, aber theoretisch wie im Fall oben. Riecht irgendwie nach Binomialverteilung und dann aufsummieren?!?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 27. Okt 2017, 10:33

Der Fall mit 2 Folgen ist trivial. Nach zweimaliger Ziehung ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich 1/2 alle Folgen zu erwischen, zieht man dreimal ist die Wahrscheinlichkeit schon 3/4, bei viermaliger Ziehung 7/8. Bei k-maliger Ziehung gilt, vorausgesetzt k größer gleich 2, für die Wahrscheinlichkeit alle zu erwischen .

Wenn n, die Zahl der Folgen, größer als 2 wird, dann gibt es keine einfache Lösung mehr, nur für den Fall n größer gleich k. Wenn die Zahl der Folgen größer als die Zahl der Ziehungen ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit natürlich 0 alle zu erwischen, denn man muss ja mindestens n-mal ziehen, um alle Folgen erwischen zu können. Im Fall von n=k ist die Wahrscheinlichkeit .

Die Binomialverteilung ist im allgemeinen Fall nicht anwendbar, siehe mein obiges Beispiel mit 3 Folgen.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 27. Okt 2017, 13:43

Ja, so oder so dürfte bei 90 Folgen, die man sich 400mal nach zufälliger Auswahl anschaut, die Wahrscheinlichkeit, dabei alle 90 Folgen zu erwischen ziemlich nahe bei Eins sein. Ich hatte ursprünglich gedacht, man könnte ausgehend vom Erwartungswert und Standardabweichung irgendwas machen. Schon komisch, dass so einfache Aufgabe nicht präzise berechenbar ist.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 27. Okt 2017, 16:57

Interessant wäre zu wissen wie nahe die Wahrscheinlichkeit bei 1 ist, wenn man aus 90 Folgen zufällig 400mal eine auswählt und man dann alle erwischt hat.

Zumindest wären Näherungsverfahren denkbar, um das zu berechnen.

Ich habe bei 3 Folgen systematisch weiter gemacht und die Wahrscheinlichkeiten bestimmt, wenn man 5mal eine Folge auswählt und wenn man 6mal eine auswählt.

Wenn k=5, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit alle zu erwischen 150/343=50/81 und bei k=6 ergibt sich 540/729=20/27, was etwa 74,07% entspricht.

Einfache Fragestellungen können erheblichen Rechenaufwand bedeuten. Wie es aussieht, ist schon für n=3 und beliebige k keine geschlossene Formel mehr möglich, aber es deutet daraufhin, dass man mit Rekursion weiterkommt. Ich werde dranbleiben.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 29. Okt 2017, 12:26

Neue Frage, auch wieder ein Spontaneinfall: A und B werden unabhängig zu einem Mordfall befragt. Sie sagen beide aus, den X am Tatort gesehen zu haben. Ein Gutachter bescheinigt beiden Aussagen jeweils eine Wahrheits-Wahrscheinlichkeit von 50%. Nach der W-Theorie betrüge damit die Wahrheitswahrscheinlichkeit beider Aussagen 25%, man könnte also als Kommissar nicht davon ausgehen, dass beide den X am Tatort sahen. Auf der anderen Seite betrüge die Falschheits-Wahrscheinlichkeit ja auch 50%, somit für beide Aussagen 25%, d.h. man könnte als Kommissar davon aussgehen, dass beide Aussagen zusammen 75%ig wahrscheinlich wahr sind, so dass man davon ausgehen kann, dass beide X am Tatort sahen. Ist das nicht paradox?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 29. Okt 2017, 14:51

Ich habe den Fall mit 3 Folgen nochmal weiterfolgt und eine geschlossene Formel für beliebige k größer gleich 1 gefunden.

Sie lautet:



Bei k=1 und bei k=2 kommt natürlich 0 heraus, bei k von 3 bis 6 die vorher berechneten Werte und bei sehr großen k nähert sich die Wahrscheinlichkeit 1 an.

Nun zur nächsten Frage. Ich sehe da nichts besonders Ungewöhnliches. Dass beide die Wahrheit sagen hat eine Wahrscheinlichkeit von 25%, dass beide die Unwahrheit sagen auch 25 % und dass einer die Wahrheit sagt und der andere lügt 50%. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer die Wahrheit sagt beträgt 75% und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer lügt beträgt auch 75 %. Das ist kein Widerspruch, denn bei Wahrscheinlichkeiten haben eine Schnittmenge und sind nicht disjunkt.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 29. Okt 2017, 15:17

Analytiker hat geschrieben:
29. Okt 2017, 14:51
Nun zur nächsten Frage. Ich sehe da nichts besonders Ungewöhnliches. Dass beide die Wahrheit sagen hat eine Wahrscheinlichkeit von 25%, dass beide die Unwahrheit sagen auch 25 % und dass einer die Wahrheit sagt und der andere lügt 50%. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer die Wahrheit sagt beträgt 75% und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer lügt beträgt auch 75 %. Das ist kein Widerspruch, denn bei Wahrscheinlichkeiten haben eine Schnittmenge und sind nicht disjunkt.
Ja, stimmt, formal ist das nicht widerprüchlich, aber du kennst vllt. auch die Aussage, dass zwei unabhängige Zeugen, die etwas aussagen, das Ausgesagte wahrscheinlicher machen als nur eine Zeugenaussage. Doch nach der W-Theorie gilt: Je mehr unabhängige Zeugen aussagen, desto unglaubwürdiger wird deren Gesamtaussage und damit das Ausgesagte, oder nicht?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 29. Okt 2017, 15:25

Pippen hat geschrieben:
29. Okt 2017, 15:17
Ja, stimmt, formal ist das nicht widerprüchlich, aber du kennst vllt. auch die Aussage, dass zwei unabhängige Zeugen, die etwas aussagen, das Ausgesagte wahrscheinlicher machen als nur eine Zeugenaussage. Doch nach der W-Theorie gilt: Je mehr unabhängige Zeugen aussagen, desto unglaubwürdiger wird deren Gesamtaussage und damit das Ausgesagte, oder nicht?
Es hängt vom Fall ab. Wie glaubwürdig sind die Zeugen und wie viele Zeugen stimmen in ihrer Aussage überein. Sind die Zeugen alle mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit glaubwürdig und sagen alle das Gleiche aus, dann ist davon auszugehen, dass die Aussage ziemlich glaubwürdig ist. Ist ein Zeuge hundertprozentig glaubwürdig, ist seine Aussage natürlich richtig.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 29. Okt 2017, 16:48

Analytiker hat geschrieben:
29. Okt 2017, 14:51
Ich habe den Fall mit 3 Folgen nochmal weiterfolgt und eine geschlossene Formel für beliebige k größer gleich 1 gefunden.

Sie lautet:



Bei k=1 und bei k=2 kommt natürlich 0 heraus, bei k von 3 bis 6 die vorher berechneten Werte und bei sehr großen k nähert sich die Wahrscheinlichkeit 1 an.
Für den Fall mit n Folgen gibt es eine Summenformel, die ich auf

http://brefeld.homepage.t-online.de/sto ... rmeln.html

gefunden habe.

Sie lautet



Setzt man für n 3 ein, kommt man auf die von mir in einem vorigen Beitrag aufgeführte Formel.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 29. Okt 2017, 21:59

Ja, das passt, siehe hier, wo ich danach mal angefragt habe: http://www.matheboard.de/thread.php?thr ... bdf1062db9

Komisch und zweifelhaft ist aber das doch geringe Ergebnis: Danach wäre die Chance bei 400mal "Ziehen" einer Folge alle 90 Folgen zu erwischen nur 34 %. :shock: Bei einem Erwartungswert von 4.4mal pro Folge (400 * 1/90) bei 400 Ziehungen von insgesamt 90 Folgen kann das irgendwie nicht sein.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 29. Okt 2017, 22:18

Das ist in der Tat erstaunlich. So eine geringe Wahrscheinlichkeit habe ich nicht erwartet. Ich werde es nachprüfen.

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 31. Okt 2017, 16:16

Es stimmt tatsächlich. Wenn man dann 500 mal ziehen sollte, kommt man man schon auf eine Wahrscheinlichkeit von etwa 71,07%, bei 600 mal auf etwa 89,5% und bei 700 mal auf etwa 96,45%.

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 31. Okt 2017, 19:04

Hier ist ein noch praktischeres Beispiel: Ich habe einen Garten mit einer Grasfläche von 20m² und dann so einen von diesen Rasemmäherrobotern, die nach Zufall umherfahren und mähen. Wir gehen mal davon aus, der Roboter kann nur nach vorn fahren, weil er rund ist und dadurch irgendwie alles immer vorn ist. Wie oft muss der Roboter nach vorn fahren, um mit 99%iger Sicherheit die ganze Fläche zu mähen. Würdest du hier noch klassisch modellieren mit Formeln und so oder bereits Monte Carlo anwenden, d.h. einfach eine große Anzahl solcher Roboter in der Simulation umherfahren und das dann auswerten lassen?

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 31. Okt 2017, 19:46

Da fehlen mir einfach Informationen. Ist die Rasenfläche ein Quadrat oder ein Rechteck oder von anderer geometrischer Form? Wo fängt der Rasenmäher an zu mähen? Wie groß ist die Schnittbreite? Wie sieht es mit Richtungswechseln aus, in welchem Winkel und aus welchem Anlass, spontan oder bei Erreichen des Randes oder nach einer gewissen Strecke?

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Re: Counting

Beitrag von Pippen » 1. Nov 2017, 00:03

Sagen wir es ist ein Quadrat von 10mx10m, die Schnittbreite sei 50cm, der Rasenmäher fängt irgendwo im Mittelpunkt des Quadrats an und kann immer nur vorwärts fahren. Erreicht er eine Grenze, stoppt er, dreht sich um 45° und fährt weiter bis zur nächsten Grenze usw. Obwohl: Jetzt ist es gar keine Wahrscheinlichkeitsfrage, jetzt kann man es mE direkt ausrechnen (wenn ich auch nicht genau wüßte, wie).

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Re: Counting

Beitrag von Analytiker » 1. Nov 2017, 17:12

Pippen hat geschrieben:
1. Nov 2017, 00:03
Sagen wir es ist ein Quadrat von 10mx10m, die Schnittbreite sei 50cm, der Rasenmäher fängt irgendwo im Mittelpunkt des Quadrats an und kann immer nur vorwärts fahren. Erreicht er eine Grenze, stoppt er, dreht sich um 45° und fährt weiter bis zur nächsten Grenze usw. Obwohl: Jetzt ist es gar keine Wahrscheinlichkeitsfrage, jetzt kann man es mE direkt ausrechnen (wenn ich auch nicht genau wüßte, wie).
Wenn der Rasenmäher irgendwo startet, spielt die Richtung in die er fährt natürlich eine Rolle. Würde er orthogonal zur Rasenkante starten, käme er mit einer 45°Drehung nicht weiter und müsste sich weiter drehen. Wenn man genügend Informationen hat, ist es natürlich keine Wahrscheinlichkeitsfrage mehr und man kann ausrechnen, ob er die ganze Fläche schafft. Wenn der Rasenmäher jedoch bei jeder fälligen Richtungsänderung einen Zufallsgenerator bestimmen ließe, dann wird es stochastisch.

Wenn Du nicht weiter weißt, fertige doch eine Skizze an und simuliere einige einfache Fälle.

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