Definition der Ungleichheit zwischen zwei Zahlen

[tomS]

Ich denke, die ursprüngliche Frage ist im Sinne des Axiomensystems der reellen Zahlen als total geordnetem Körper trivial, da das Axiom der Totalordnung besagt, dass für beliebige reellen Zahlen a, b, c immer genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a gilt.

[Pippen]

Ich denke, die ursprüngliche Frage ist im Sinne des Axiomensystems der reellen Zahlen als total geordnetem Körper trivial, da das Axiom der Totalordnung besagt, dass für beliebige reellen Zahlen a, b, c immer genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a gilt.

Und wie wird festgestellt, ob zB a < b? Kannst du das an einem Bsp. mal erklären, sagen wir 1,34 < 1,341?

[tomS]

a = 1,34
b = 1,341

b - a = 1.341 - 1.34 = 0.001 > 0

b - a > 0 => b > a

[Skeltek]

Das Problem ist hier auch, dass die allermeisten Zahlen in R nicht darstellbar sind!

Ich denke, darstellbar sind grundsätzlich alle reellen Zahlen (z.B. mittels Intervallschchtelung oder Dedekindscher Schnitte). Allerdings sind reelle Zahlen nicht aufzählbar, und damit sind 'fast alle' reellen Zahlen auch nicht konstruierbar (wenn man unter Konstruktion eine algorithmische Konstruktion versteht, da die Menge aller Algorithmen, Programme sowie allgemein Turingmaschinen inkl. deren Inputs abzählbar und somit kleiner als die Menge der reellen Zahlen ist).

Das ist nicht richtig. Die Menge aller durch endliche Ziffern-/Symbolfolgen darstellbaren und in unendlichen Schritten durch endlich lange Berechnungsvorschrift berechenbaren Zahlen ist abzählbar.
Du kannst keine Zahl benennen, wenn du sie nicht zumindest gedanklich vorstellen, konstruieren oder "auswählen" kannst.
Du kannst jetzt zum Beispiel sagen "Zurvil" - wenn ich dich aber frage, welche Zahl du damit meinst und ob du sie in egal welcher Weise beschreiben kannst bekommst du Schwierigkeiten.

Ich denke, die ursprüngliche Frage ist im Sinne des Axiomensystems der reellen Zahlen als total geordnetem Körper trivial, da das Axiom der Totalordnung besagt, dass für beliebige reellen Zahlen a, b, c immer genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a gilt.

Ja, aber welche der drei vorliegt musst du zeigen.
Du wählst mit
a = 1,34
b = 1,341
ein triviales Beispiel.
Falls nur zwei unterschiedliche Berechnungsvorschriften für dieselbe Zahl vorliegen, musst du auch zeigen können, dass diese dieselbe Zahl darstellen.
Wir haben hier zwei Fälle, A und B.
A - zwei mal dieselbe Zahl.
B- zwei unterschiedliche Zahlen.
Du beweist ja nur B->B an einem völlig trivialen Fall.

b - a > 0 => b > a

Du musst erstmal zeigen, dass b-a >0. Dein Spezialfall 0.001>0 ist nicht gerade repräsentativ.

Mir fällt dazu mal ein Beispiel ein, wo man eine lange Zeit gebraucht hatte um zu beweisen, dass zwei Zahlen gleich sind. Es war offensichtlich wegen der Gleichheit der ersten 1000 Stellen, aber man konnte es zunächst nicht zeigen.

[tomS]

Das Problem ist hier auch, dass die allermeisten Zahlen in R nicht darstellbar sind!

Ich denke, darstellbar sind grundsätzlich alle reellen Zahlen (z.B. mittels Intervallschchtelung oder Dedekindscher Schnitte). Allerdings sind reelle Zahlen nicht aufzählbar, und damit sind 'fast alle' reellen Zahlen auch nicht konstruierbar (wenn man unter Konstruktion eine algorithmische Konstruktion versteht, da die Menge aller Algorithmen, Programme sowie allgemein Turingmaschinen inkl. deren Inputs abzählbar und somit kleiner als die Menge der reellen Zahlen ist).

Das ist nicht richtig. Die Menge aller durch endliche Ziffern-/Symbolfolgen darstellbaren und in unendlichen Schritten durch endlich lange Berechnungsvorschrift berechenbaren Zahlen ist abzählbar.

Das stimmt, aber das habe ich auch nicht bezweifelt (s.u.)

Ich habe geschrieben, dass zunächst mal alle reellen Zahlen z.B. durch Intervallschachtelung oder Dedekindscher Schnitte darstellbar sind. Das bedeutet nicht, dass sie konkret in einer endlich langend Berechnungsvorschrift berechenbar wären.

Gegenfrage: welche reelle Zahl ist nicht in der von mir genannten Form darstellbar? (beachte: reelle Zahlen sind gerade mittels dieser Darstellungen definierbar, d.h. wenn eine Zahl nicht so darstellbar wäre, dann wäre es keine reelle Zahl).

Du kannst keine Zahl benennen, wenn du sie nicht zumindest gedanklich vorstellen, konstruieren oder "auswählen" kannst.

Das bezieht sich auf eine konkrete Zahl. Hier geht es aber zunächst darum, ob die Darstellbarkeit aus irgendeinem prinzipiellen Grund scheitert, und das tut sie m.E. nicht.

Du musst erstmal zeigen, dass b-a >0. Dein Spezialfall 0.001>0 ist nicht gerade repräsentativ.

Aber gerade danach war gefragt.

Mir fällt dazu mal ein Beispiel ein, wo man eine lange Zeit gebraucht hatte um zu beweisen, dass zwei Zahlen gleich sind. Es war offensichtlich wegen der Gleichheit der ersten 1000 Stellen, aber man konnte es zunächst nicht zeigen.

Wenn eine konkrete Darstellung gegeben ist, dann wird wohl auch ein konkreter Beweis existieren. Wenn eine konkrete Darstellung nicht bekannt ist, fehlen die benötigten Eigenschaften für einen Beweis. Aber dann würde ich mal behaupten, ist gar keine Zahl im eigentlichen Sinne gegeben, und damit ist die Frage sinnlos (gegeben seien a, b, ohne weiter Angaben; damit ist die Frage a > b nicht beantwortbar)

[Skeltek]

Gegenfrage: welche reelle Zahl ist nicht in der von mir genannten Form darstellbar? (beachte: reelle Zahlen sind gerade mittels dieser Darstellungen definierbar, d.h. wenn eine Zahl nicht so darstellbar wäre, dann wäre es keine reelle Zahl).

Du willst, dass ich die eine Zahl nenne welche nicht benennbar ist?
Man kann zum Beispiel Cantors Diagonalzahl nicht darstellen, die letzte Ziffer steht schließlich am Ende in der letzten Zeile - das ist gleichwertig damit, wie wenn die gesammte Zahl dort stehen würde.

Ich sehe mich als Konstruktivist. Habe ohnehin Probleme die gängige Gelehrtenmeinung bezüglich des Themas zu teilen, da ich sie nur logisch nachvollziehen kann aber selbst nicht vertrete.
Meine Meinung ist, dass es diese Zahlen gibt, sie aber nicht existieren (Ich weiss, dass diese Differenzierung erstmal schwer nachzuvollziehen ist). Aber meine eigene Meinung lassen wir mal außer Acht.
Wir sprechen hier über die Elemente der Potenzmenge der Konstruktionsvorschriften. Ich kann dir kein Element der Potenzmenge nennen, welches nicht in der Menge selbst ist.

[seeker]

Das Problem ist hier auch, dass die allermeisten Zahlen in R nicht darstellbar sind!

Ich denke, darstellbar sind grundsätzlich alle reellen Zahlen (z.B. mittels Intervallschchtelung oder Dedekindscher Schnitte). Allerdings sind reelle Zahlen nicht aufzählbar, und damit sind 'fast alle' reellen Zahlen auch nicht konstruierbar (wenn man unter Konstruktion eine algorithmische Konstruktion versteht, da die Menge aller Algorithmen, Programme sowie allgemein Turingmaschinen inkl. deren Inputs abzählbar und somit kleiner als die Menge der reellen Zahlen ist).

Danke für die Präzisierung.

Die reellen Zahlen sind per Axiomatisierung eh schonmal "da" und man kann sie auch prinzipiell alle auf Basis der rationalen Zahlen per Dedekindschem Schnitt darstellen, ok.

Dennoch haben wir es bei R mit dem Problem der Nicht-Anzählbarkeit zu tun, klar - und das macht einen Unterschied:
So kann ich z.B. alle natürlichen Zahlen durch eine einzige Vorschrift erfassen: "Beginne bei der 1 und zähle dann unaufhörlich 1 hinzu!"
Man erhält: 1, 2, 3, 4, ...
Man findet so also alle Zahlen aus N. Bei Q geht das auch.
Bei R eben nicht und das bedeutet, dass ich hier vor dem Problem stehe: Wie finde ich alle Zahlen in R?
Das geht nicht und deshalb sind sozusagen die allermeisten Zahlen in R notorisch unbekannt (*) und doch "existent" zu nennen.

Unser Unwissen ist hier sozusagen der Preis, der notwendig für eine dichte Zahlenmenge gezahlt werden muss.
Diesen Punkt finde ich interessant.

*:
Zusätzlich zu deiner Argumentation stehen wir hier auch noch vor einem Problem, wenn wir eine bestimmte Zahl noch gar nicht in Voraus kennen:
Die 1658678 in N z.B. finde ich mit obiger Vorschrift, die Wurzel aus 2 in R finde ich per Intervallschachtelung, aber wie finde ich eine transzendente Zahl, die weder eine Wurzel ist noch irgendetwas mit π, e, etc. zu tun hat, von der ich vielleicht nur weiß, dass sie zwischen 1 und 2 liegen soll?
Da ich hier gar nichts in der Hand habe, mithife dessen ich eine Konstruktionsvorschrift bauen kann, kann ich sie auch nicht finden - jedenfalls nicht gezielt. Und ungezielt per Zufall geht es ja auch nicht, da ich nur abzählbar oft zufällige Algorithmen zufällig "suchen" lassen kann.

Gruß
seeker

[tomS]

Gegenfrage: welche reelle Zahl ist nicht in der von mir genannten Form darstellbar? (beachte: reelle Zahlen sind gerade mittels dieser Darstellungen definierbar, d.h. wenn eine Zahl nicht so darstellbar wäre, dann wäre es keine reelle Zahl).

Du willst, dass ich die eine Zahl nenne welche nicht benennbar ist?

Nein, ich will nicht, dass du diese Zahl benennst.

Ich will, dass du eine reelle Zahl charakterisierst, die nicht darstellbar ist (genauer: für die keine Daratellung existiert). Und das geht nicht, da die reellen Zahlen gerade mittels derartiger Darstellungen definiert werden (nicht: benannt, konstruiert, berechnet - das ist etwas anderes).

Man kann zum Beispiel Cantors Diagonalzahl nicht darstellen, die letzte Ziffer steht schließlich am Ende in der letzten Zeile - das ist gleichwertig damit, wie wenn die gesammte Zahl dort stehen würde.

Das ist etwas anderes.

Für jede existierende (und damit abzählbare) Liste ist die Diagonalzahlzahl eindeutig bestimmt. Sie existiert trivialerweise nicht für die (gedachte) vollständige, abzählbare Liste aller reellen Zahlen, einfach weil diese Liste nich existiert.

[Pippen]

b - a > 0 => b > a

Woraus ergibt sich diese Regel? In den IR-Axiomen findet sich nur die Regel, dass entweder a<b, a=b oder a>b, aber es findet sich keine Entscheidungsregel, was nun wann vorliegt. Das macht mich stutzig.

Des Weiteren kommt man mit deiner Regel in meinem Fall nicht weiter, denn es ist ja gerade die Frage, ob 1 - 0,999... = 0 oder doch nicht. Hier finde ich die ganze IR-Axiomatik unterbestimmt. Denn ich beweise ja recht leicht, dass 0,999... an beliebiger 9er-Stelle kleiner als 1 ist und kann dann eigentlich universell generalisieren und somit beweisen, dass 0,999... an jeder Stelle kleiner als 1 ist - und damit kleiner als 1 ist. Der Beweis funktioniert nicht - wie seeker mE richtig ausführte - weil den reellen Zahlen eine ungeschriebene Voraussetzung der aktualen Unendlichkeit zugrundeliegt. Aber ist das nicht Matheologie? Ich meine, ich beweise, dass 0,999... an jeder einzelnen ihrer Stellen kleiner als 1 ist und dann kommt ein Mathematiker und erzählt was von aktualer Unendlichkeit, die nirgends präzise axiomatisiert oder definiert ist und die dafür sorgen soll, dass mein Beweis nicht klappt, obwohl er für alle 9er-Stellen der Zahl/Folge 0,999... beweist, dass sie kleiner als 1 ist. Das klingt schon eher esoterisch als wissenschaftlich, oder?

[Skeltek]

@Pippen:
Versuche es doch einmal über die Relation:
Bei der Multiplikation ist die Inverse eindeutig festgelegt.
1= 3 * 1/3
<-> (a/b)^-1=(b/a)
1/3 ist nicht weiter kürzbar.
Die Darstellung 0,3~ ist eine nicht abbrechende Kette an Ziffern, welche sich aus dem nicht-enden des Divisionsalgorithmus ergibt.
0,3~ representiert nicht die Zahl selbst, sondern das Resultat des Algorithmus ihres dezimalen schriftlichen Darstellungsversuches welche unzulänglich ist, weil im Dezimalsystem nicht abschließbar möglich.
Trotzdem ist die Representation von 1/3 durch 0,3~ eindeutig, weil der Algorithmus eindeutig ist und man ja hinterher nur alles aufsummiert, was man vorher in Stücke gespalten hat.
Letztlich kann keiner erzählen, dass wenn man etwas teilt und später wieder zusammenfügt, hinterher nicht wieder das am Anfang herauskommt.
Zahlen sind Representanten von Größen.
Ziffern sind die mit Representanten von 1-9 bijektiv zu assoziierenden Symbole.
Eine Folge oder Kette von Ziffern ist eine Darstellungsmethode, eines auf dem Dezimalsystem basierenden Notationsalgorithmus.
Die Symbole auf dem Papier sind nicht die Größen selbst, sondern nur ihre schrifliche Darstellung.

Die Umkehrung des Niederschreibens einer Zahlendarstellung um sie mit der Bedeutung gedanklich zu verbinden ist kein Element der Mathematik selbst, sondern eher ein Problem der Schrift.
Das Dezimalsystem ist ungeeignet um viele Dinge akkurat niederzuschreiben.
Das Aussummieren der vorher in "9er-Ziffern" aufgespaltenen Teile ist glaube ich eher der triviale Teil des Ganzen...

[Pippen]

@skeltek: Natürlich ist "0,999..." nur eine Schreibweise für eine Zahl x und auch "1" ist nur eine Schreibweise für die Zahl y - doch die Frage ist nunmal, ob x = y? Und nochmal: Ich kann da beweisen, dass der Algorithmus, der hinter der Zahldarstellung "0,999..." bzw. "0,9+0,09+0,009+..." steckt an keiner Stelle etwas produziert, was gleich Eins ist und damit kann ich eigentlich schließen, dass dieses Etwas ungleich Eins sein muss. Wieso soll das nicht klappen, nur weil auf einmal der kryptische und undefinierte Begriff "aktuale Unendlichkeit" eingeführt wird, bei dem noch nichtmal klar ist, wie er funktioniert? Was meint denn der Mathematiker damit? Wenn er damit meint, sich etwas aktual Unendliches vorzustellen (alle natürlichen Zahlen, alle 9er-Stellen des o.g. Algorithmus), dann ist das ein Widerspruch in sich und damit ziemlich sicher falsch.

[tomS]

Der Algorithmus für x= 0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... produziert nach endlich vielen Schritten tatsächlich nicht das gesuchte y = 1. Das behauptet auch niemand.

Was die Mathematik lediglich behauptet ist, dass im Grenzfall beliebig vieler Schritte der Unterschied zwischen x und y beliebig klein wird. Oder andersherum: du kannst dem y = 1 beliebig nahe kommen, indem du den Algorithmus geeignet lange laufen lässt.

Das ist gerade ein Anwendungsfall für eine Grenzwertbetrachtung: im Grenzfall unendlich vieler Schritte n konvergiert x_n gegen y = 1

[Pippen]

Der Algorithmus für x= 0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... produziert nach endlich vielen Schritten tatsächlich nicht das gesuchte y = 1. Das behauptet auch niemand.

Was die Mathematik lediglich behauptet ist, dass im Grenzfall beliebig vieler Schritte der Unterschied zwischen x und y beliebig klein wird. Oder andersherum: du kannst dem y = 1 beliebig nahe kommen, indem du den Algorithmus geeignet lange laufen lässt.

Genau. Aber dafür braucht man das Konzept der aktualen Unendlichkeit, mit deinen Worten: Was die Mathematik lediglich behauptet ist, dass im Fall (aktual) unendlich vieler Schritte der Unterschied zwischen x und y beliebig klein wird. Wie wird nun dieses "(aktual) unendlich viele Schritte" definiert? Denn ich könnte genauso sagen: unendlich = ohne Ende = nie, also: nie wird der Unterschied zwischen x und y beliebig klein.

Das ist eben der Vorteil potentieller Unendlichkeit, die man ganz seriös durch beliebige Endlichkeiten definieren kann.

[tomS]

Der Algorithmus für x= 0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... produziert nach endlich vielen Schritten tatsächlich nicht das gesuchte y = 1. Das behauptet auch niemand.

Was die Mathematik lediglich behauptet ist, dass im Grenzfall beliebig vieler Schritte der Unterschied zwischen x und y beliebig klein wird. Oder andersherum: du kannst dem y = 1 beliebig nahe kommen, indem du den Algorithmus geeignet lange laufen lässt.

Genau. Aber dafür braucht man das Konzept der aktualen Unendlichkeit, mit deinen Worten: Was die Mathematik lediglich behauptet ist, dass im Fall (aktual) unendlich vieler Schritte der Unterschied zwischen x und y beliebig klein wird.

Nein, man benötigt dieses Konzept der aktualen Unendlichkeit gerade nicht!

Was die Mathematik lediglich behauptet ist, dass im Grenzfall beliebig vieler Schritte der Unterschied zwischen x und y beliebig klein wird. Oder andersherum: du kannst dem y = 1 beliebig nahe kommen, indem du den Algorithmus geeignet lange laufen lässt.

Da wir das gerade in dem anderen Thread diskutieren:

Du wählst ein ε > 0 beliebig klein und berechnest N(ε) so, dass der Unterschied zwischen x_N = 0.9 + 0.09 + ... + 9 * 10^-N und y = 1 kleiner als ε ist.
Es gilt zunächst d_N = 1 - x_N = 10^-N.
Es soll gelten d_N < ε.
Gleichheit gilt für n(ε) = - log₁₀ε
D.h. die Schranke ε wird sicher unterschritten für N(ε) = ⌈n(ε)⌉ + 1.
Damit benötigst du für jedes beliebige ε > 0 nur endlich viele Schritte N(ε) < ∞.

Das ist die exakte Definition eines Grenzwertes bzw. der Konvergenz der Folge x_N gegen y = 1. Diese Konvergenz wird definiert, ohne jemals auf unendliche Größen zurückgreifen zu müssen. Da du ε beliebig klein, jedoch immer größer Null wählst, bleibt auch dein davon abhängiges N(ε) immer endlich. Mehr wird nicht benötigt und mehr tut die Mathematik in den meisten Fällen auch nicht. Es ist nicht so, dass da ständig mit unendlichen Größen hantiert würde.

[Skeltek]

Wenn dir die beiden Schreibweisen für 1/1 und zwar
1,0 und 0,9~ nicht gefallen,
dann schreibe mir doch mal die beiden Schreibweisen für 1/3 analog auf.
Wo ist nun der Unterschied zwischen (0,9~ / 3) und (1 / 3) ?

[Pippen]

Das ist die exakte Definition eines Grenzwertes bzw. der Konvergenz der Folge x_N gegen y = 1. Diese Konvergenz wird definiert, ohne jemals auf unendliche Größen zurückgreifen zu müssen. Da du ε beliebig klein, jedoch immer größer Null wählst,

...bleibt die betreffende Folge für jedes Folgenglied immer kleiner als Eins. So wie Grenzwerte mit der Epsilontik definiert werden, nähert sich eine Folge nur beliebig dem Grenzwert ohne ihn je zu erreichen (dann wäre nämlich ε = 0, was aber gerade ausgeschlossen wird). MaW: Wer mit Grenzwerten argumentiert, der darf eigentlich NIE sagen x = y, es sei denn wir haben eine Folge wie 5, 5, 5, 5, .... So eine Folge ist gleich der Zahl 5, weil da wirklich gilt, dass jedes Folgeglied gleich der Zahl 5 wäre.

@skeltek: Wie wäre es damit: 0,999... = z. In Dezimalschreibweise scheint z tatsächlich kleiner als 1. Aber wir können z ja auch mit einem anderen Stellenwertsystem hinschreiben. Soweit ich weiß gibt es jeweils mind. ein solches System, wo z als endliche Zahl dargestellt werden kann. Dann können wir zB in einem solchen System S die Zahl z hernehmen und ins Dezimalsystem umrechnen und kämen auf 1? So würde es schön aufgehen.

[tomS]

... du du ε beliebig klein, jedoch immer größer Null wählst,

...bleibt die betreffende Folge für jedes Folgenglied immer kleiner als Eins. So wie Grenzwerte mit der Epsilontik definiert werden, nähert sich eine Folge nur beliebig dem Grenzwert ohne ihn je zu erreichen (dann wäre nämlich ε = 0, was aber gerade ausgeschlossen wird). MaW: Wer mit Grenzwerten argumentiert, der darf eigentlich NIE sagen x = y, es sei denn wir haben eine Folge wie 5, 5, 5, 5, .... So eine Folge ist gleich der Zahl 5, weil da wirklich gilt, dass jedes Folgeglied gleich der Zahl 5 wäre.

Zunächst mal wurden Grenzwerte nicht eingeführt, "um etwas sagen zu können", sondern um bestimmte Probleme in der Mathematik formal konsistent betrachten zu können.

Dann hast du recht, für jedes Folgenglied x_N mit endlichem N ist d_N > 0.

Man kann nun aber mittels der Zahl y argumentieren, gegen die die Folge (x_N) als Grenzwert strebt. Dabei muss man diesen Grenzwert nicht als x_∞ auffassen, sondern als ganz normale Zahl y = 1. D.h. man rechnet statt mit x_∞ direkt mit y; gerechtfertigt wird dies durch Grenzwertbetrachtungen, die man aber tatsächlich für jede Rechnung durchführen muss.

Nochmal zusammenfassend: ich behaupte nicht x_∞ = 1, sondern ich behaupte

lim_N→∞ x_N = y ∧ y = 1.

Ich behaupte nicht, dass ein Folgenglied x_∞ = 1 existiert, sondern dass die Folgenglieder der Folge (x_N) mit wachsendem N gegen den Grenzwert y = 1 konvergieren.

Und überhaupt: Wo ist das Problem? Wenn man sich auf einen rein praktischen Standpunkt stellt, dann kann man ja für jede Rechnung den Fehler beliebig klein machen (es sei denn, als liegt keine Konvergenz vor, aber dann hat man ein verlässliches Werkzeug, dies zu prüfen).

[seeker]

Es kommt eben darauf an, was jeweils gemeint ist.

Wenn ich schreibe "1/3 = 0,33333..." (und damit meine, dass "0,333..." n, also beliebig aber endlich viele Nachkommastellen haben soll), dann ist das genaugenommen falsch, dann darf ich das eigentlich nicht, bzw. ist diese Dezimal-Darstellung von 1/3 nicht ganz genau korrekt, nur eine Näherung.

Ich kann das nun genauso bei der 0,9999... machen:
Wenn ich jetzt frage, ob 0,999... = 1 ?, dann frage ich, ob eine unkorrekte Darstellung der Eins ("0,999...") gleich einer korrekten Darstellung der Eins ("1") sei.
So eine Frage ist natürlich sinnlos.

D.h., wie schon gesagt, dass deine Beweisführung eben dies auch bei "0,999..." beweist: "0,999.. ist eine nicht ganz korrekte Darstellung der Eins!"
Nicht mehr und nicht weniger sagt dein Beweis aus!!

Damit ist eigentlich schon alles gesagt.

Wenn du jetzt aber sagst "Ich will aber z.B. 1/3 in Dezimalschreibweise völlig korrekt darstellen!", dann muss man eigentlich sagen: "Siehe oben! Es geht nicht!"
Wenn du es aber unbedingt wolltest, dann ginge es dann, wenn du "0,3333..." als eine Ziffernfolge mit aktual unendlich vielen Nachkomma-3ern verstehen würdest.
Das würde dir bei den Brüchen helfen, aber schon wenn du nun als nächsten logischen Schritt auch noch Zahlen wie Pi in Dezimalschreibweise ganz korrekt darstellen wolltest, müsste man sagen: "Ende der Fahnenstange! Das geht in Dezimal nun wirklich nicht!"
Eine ganz korrekte Darstellung von Pi kannst du nur auf anderen Wegen bekommen, als geometrische Darstellung, als Berechnungsvorschrift, als Intervallschachtelung, etc.

Nun kannst du noch fragen, ob gilt:

0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 1 ?

Und das gilt eben nicht. Da sind wir uns alle einig. "1" ist hier der Grenzwert der Reihe "0,9 + 0,09 + 0,009 + ...", nicht mehr und nicht weniger!

Gruß
seeker

[tomS]

Es ist eigtl. ganz einfach, wenn man annimmt, dass eine Zahl unabhängig von ihrer Darstellung oder einem Grenzprozess "existiert". So existiert z.B. 1/3, unabhängig davon, dass man 1/3 als 0.333... darstellen kann. Und genauso existiert 1 unabhängig von 0.999...

[Skeltek]

Hatte einen langen tollen Beitrag geschrieben, aber irgendwie ist der nicht mehr hier...
nun die Ultrakurzversion:
Man muss beim Aufsummieren der 9er-Ziffern ganz rechts anfangen, wegen dem Übertrag.

Ein Frosch hüpft 1/2 Meter, danach 1/4 Meter, dann 1/8 Meter usw... wir teilen den Meter vorher auf und sagen dem Frosch wie er springen soll.
Er wird den vollen Meter nie erreichen, ändert aber nichts daran, dass es ein Meter ist.
Binär betrachtet springt der Frosch 0,1~ Meter nach unendlich langer Zeit.
Binär ist ebenso 0,1~ = 1
Keine Lust die Lange Erklärung nochmal zu schreiben...

[Marcel]

Wenn du es so rum haben willst, zwei Zahlen sind genau dann ungleich, wenn eine reelle Zahl existiert, die zwischen diesen beiden liegt.
Ich finde diese äquivalenz ist da dann doch die einfachste definition oder ?

[tomS]

Wenn ich jetzt frage, ob 0,999... = 1 ?, dann frage ich, ob eine unkorrekte Darstellung der Eins ("0,999...") gleich einer korrekten Darstellung der Eins ("1") sei.
So eine Frage ist natürlich sinnlos.

Im Sinne eines Grenzprozesses ist diese "0.999...-Darstellung" der "1" korrekt.

Wenn du jetzt aber sagst "Ich will aber z.B. 1/3 in Dezimalschreibweise völlig korrekt darstellen!", dann muss man eigentlich sagen: "Siehe oben! Es geht nicht!"
Wenn du es aber unbedingt wolltest, dann ginge es dann, wenn du "0,3333..." als eine Ziffernfolge mit aktual unendlich vielen Nachkomma-3ern verstehen würdest.

Man muss eben gerade nicht aktual unendlich viele Ziffern benutzen; es genügt, die Darstellung im Sinne eines Grenzprozesses.

Eine ganz korrekte Darstellung von Pi kannst du nur auf anderen Wegen bekommen, als geometrische Darstellung, als Berechnungsvorschrift, als Intervallschachtelung, etc.

Jein.

Zunächst mal ja, eine triviale Dezimaldarstellung als

3.141592... 3 + 1/10 * (1 + 1/10 * (4 + 1/10 * (1 + ...)))

funktioniert nicht, da kein Verfahren ersichtlich ist, die jeweils nächste Stelle anzugeben. Aber die Dezimaldarstellung ist ja lediglich eine Schreibweise, die wiederum einen Grenzprozess zulässt.

Richtig ist, dass für π Berechnungsvorschriften wie Kettenbruchdarstellungen oder die Leibnitzsche Reihe verwendet werden können:

π = 4 [1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ± ...]

Man kennt inzwischen jedoch Methoden, einzelne Ziffern der Zahl π bzgl. verallgemeinerter Basissysteme direkt zu berechnen. Benutzt man statt der Dezimalbasis [1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...] die gemischt-gebrochene Basis [1, 1/3, 2/5, 3/7, ...], so erhält man

π = 2.222... = 2 + 1/3 * (2 + 2/5 * (2 + 3/7 * (2 + ...)))

Man erkennt die selbe Struktur wie bei der Dezimaldarstellung.

Jedenfalls ist es möglich, die Zahl π mit dem Grenzwert dieser Darstellung zu identifizieren

lim_N→∞ x_N = y ∧ y = π

und in diesem Sinne sind auch die o.g. Gleicheitszeichen zu lesen.

[tomS]

Wenn du es so rum haben willst, zwei Zahlen sind genau dann ungleich, wenn eine reelle Zahl existiert, die zwischen diesen beiden liegt.

Ja.

D.h. für x,y ∈ R gilt:

x ≠ y ⇔ ∃ z ∈ R: x < z < y ∨ y < z < x

Das sagt aber zunächst mal nicht mehr aus als die Trivialität

x ≠ y ⇔ x < y ∨ y < x

Oder wie würdest du aus der Existenz von z einen praktischen Nutzen ziehen? Gibt es z.B. einen Fall, bei dem "x < y ∨ y < x" schwierig, "∃ z ∈ R: x < z < y ∨ y < z < x" jedoch einfach zu beweisen ist?

[seeker]

Wenn du es so rum haben willst, zwei Zahlen sind genau dann ungleich, wenn eine reelle Zahl existiert, die zwischen diesen beiden liegt.
Ich finde diese äquivalenz ist da dann doch die einfachste definition oder ?

Ja, ich glaube sie ist in R zwingend notwendig.

Interessant finde ich, dass diese Definition bei R funktioniert, nicht aber z.B. bei N, denn dort angewendet käme ansonsten heraus:

Zwischen der 1 und der 2 existiert keine weitere Zahl in N -> 1 = 2, zwischen der 2 und der 3 existiert keine weitere Zahl in N -> 2 = 3, usw.
--> 1 = 2 = 3 = 4 = .....


Gruß
seeker

[seeker]

Im Sinne eines Grenzprozesses ist diese "0.999...-Darstellung" der "1" korrekt.

Ja, wegen der Epsilon-Geschichte, schon klar. Aber nur dann. Es muss halt wie gesagt klar sein, was mit "0,9999..." gemeint sein soll.
Allein aus dem Hinschreiben von "0,9999..." ist das eben noch nicht klar. Deshalb ist das Hinschreiben von "0,999... = 1" für sich allein nicht eindeutig-korrekt.

Man muss eben gerade nicht aktual unendlich viele Ziffern benutzen; es genügt, die Darstellung im Sinne eines Grenzprozesses.

Klar. Man muss allerdings auch hier auf eine ganz bestimmte Weise schlussfolgern.

Der Befund ist ja:
Für jedes beliebige, zuerst gewählte ε>0, ε=1-xN findet sich in der Folge xN = 0,9 + 0,09 + ... + 9 * 10^-N ein N, das dazu führt, dass die Differenz zwischen 1 und xN kleiner als ε ist.

Umgekehrt findet sich aber auch für jedes zuerst gewählte N ein ε, das kleiner als die Differenz zwischen 1 und xN ist.

Warum soll ε zuerst gewählt werden dürfen?
Das muss man so festlegen, damit das herauskommt, was herauskommen soll: Damit man auf das aktual Unendliche schließen kann.

Es bleibt dabei, dass die Folge 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... die 1 erst im Unendlichen (also erst bei aktual unendlich vielen 9er-Ziffern) erreicht.

DASS das so ist zeigt der obige Beweis, eleganterweise zwar schon im Endlichen, tatsächlich beweist er aber dennoch etwas, das erst im Unendlichen geschieht. D.h. der Beweis schlussfolgert aus dem Endlichen heraus auf die Sachlage im Unendlichen.

Insofern gilt daher eben nicht "0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 1", wenn wir es hier nur mit beliebig vielen Nachkomma-9ern zu tun haben.

Man kennt inzwischen jedoch Methoden, einzelne Ziffern der Zahl π bzgl. verallgemeinerter Basissysteme direkt zu berechnen. Benutzt man statt der Dezimalbasis [1, 1/10, 1/100, 1/1000, ...] die gemischt-gebrochene Basis [1, 1/3, 2/5, 3/7, ...], so erhält man

π = 2.222... = 2 + 1/3 * (2 + 2/5 * (2 + 3/7 * (2 + ...)))

Man erkennt die selbe Struktur wie bei der Dezimaldarstellung.

Jedenfalls ist es möglich, die Zahl π mit dem Grenzwert dieser Darstellung zu identifizieren

limN→∞ xN = y ∧ y = π

und in diesem Sinne sind auch die o.g. Gleicheitszeichen zu lesen.

Interessant!

Gruß
seeker