Wieso ist eigentlich 0*x=0?

Beitrag von **seeker** » 26. Jun 2014, 08:09

OK, macht Sinn.
Auch wenn man die Kurve plottet, sieht man wohin die Reise geht, wenn es von rechts Richtung Null geht.
Linksseitig wird es dann eh wieder schwierig.

Wobei: Muss man dann bei komlizierteren Kurven der Art $f(x)^{g(x)}$ mit $\lim_{x\to 0+} f(x)=\lim_{x\to 0+} g(x)=0$ dann wieder aufpassen und in jedem Einzelfall prüfen ob $\lim_{x\to 0+} f(x)^{g(x)}$ Eins ergibt oder nicht - oder wie ist das?
(siehe auch Wiki: Potenz, ich verstehe diesen Punkt noch nicht ganz)

Grüße
seeker

Beitrag von **breaker** » 26. Jun 2014, 13:08

Ja, das muss man selbstverständlich. Beispiel:

$f(x)=e^{-\frac{1}{x}},\quad g(x)=x.$

Dann gilt $\lim_{\small{x\to 0}} f(x)=\lim_{\small{x\to 0}} g(x)=0$ , aber

$f(x)^{\small{g(x)}}=\big(e^{-\frac{1}{x}}\big)^x=e^{-\frac{1}{x}\cdot x}=e^{-1}\;\stackrel{\small{x\to 0}}{\longrightarrow}\;e^{-1}\,\neq 1.$

Wenn man als Basis nicht e, sondern irgendeine andere positive reelle Zahl wählt, kann man damit sogar jede beliebige positive Zahl als Limes erhalten!

Beitrag von **seeker** » 27. Jun 2014, 01:16

Das habe ich befürchtet. Unangenehm, nicht?
Wobei ich vermute, dass man diese Spezialfälle schon dann erkennen kann, wenn man sich nur den Exponenten anschaut.
Im Beispiel hier ist es ja (-1/x)*x. Da muss man ja auch schon ohne Potenzen, bei der normalen Multiplikation aufpassen, bevor man da das x wegkürzt: Man untersucht auch dort schon den Fall x=0 gesondert - und der ist im Fall hier unbestimmt, denn lim x->0 von -1/x läuft gegen -unendlich während lim x->0 von x gegen Null läuft, was salopp "-unendlich x Null" ergibt.

Daher meine Vermutung: Kann man unser Potenzproblem in jedem Fall auf so eine unbestimmte Multiplikation reduzieren (also: "Wenn Multiplikation des Exponenten unbestimmt, dann f(x) hoch g(x) nicht 1 für lim x->0: f(x)=g(x)=0") oder gibt es noch weitere Ausnahmen von der Regel 0[up]0[/up]=1, die damit nichts zu tun haben? Was meint ihr?

Grüße
seeker

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